期末复习攻略：相交线与平行线
5个概念
【考点题型一】相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
【例1】（2023春 澄迈县期末）平面上画三条直线，交点的个数最多有
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【变式1-1】（2023秋 路北区期末）根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点．”画出的图形是
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023春 攸县期末）同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为
A．0个或1个 B．1个或2个
C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
【变式1-3】（2023春 秦都区期末）如图，直线与交于点，平分，若，求的度数．
【考点题型二】“三线八角”
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
【例2】（2023春 黄石港区期末）如图，图中与是同位角的是
A．（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）
【变式2-1】．（2023秋 同安区期末）如图，和的位置关系是
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
【变式2-2】（2023秋 思明区校级期末）如图所示，与是一对
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
【变式2-3】（2023春 清远期末）如图，已知直线，被直线所截，下列属于同旁内角是
A．和 B．和 C．和 D．和
【考点题型三】平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
【例3】（2023春 敦化市期末）在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和 两种位置关系．
【变式3-1】（2023春 青龙县期末）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对
【变式3-2】（2023春 东昌府区校级月考）下列语句正确的有 个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线，外一点，画直线，使，且
④若直线，，则．
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式3-3】（2023春 双牌县期末）下列说法正确的有（填序号） ．
①同位角相等；
②一条直线有无数条平行线；
③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
④在同一平面内，如果，，则；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【考点题型四】平移
概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形图形的这种移动,叫做平移
要素：一是平移的方向,二是平移的距离
性质：平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同对应边平行(或在同一条直线上)且相等,对应角相等连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)相等
注意：“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别:前者是由原图形上的点与平移后图形上的对应点连接而成的;而后者本身就存在于原来的图形与平移后的图形之中，是图形的一条边
【例4】．（2023春 南山区期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为
A．4 B．6 C．8 D．12
【变式4-1】．（2023春 鼎城区期末）如图，在三角形中，，将三角形沿方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是
A．15 B．18 C．21 D．不确定
【变式4-2】．（2022秋 临淄区期末）如图，，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 ．
【变式4-3】．（2023春 重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，，经平移后对应点为，，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，．
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）①画出三角形；
②写出三角形的面积；
（3）过点作轴，交于点，则点的坐标为 ．
【考点题型五】命题
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【例5】（2023春 大竹县校级期末）下列说法正确的是
A．同位角相等
B．对顶角相等
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等
【变式5-1】（2023春 汝南县期末）发现：如图，内有一点：过点画交于点，画交于点；根据所画图形试说明：与的数量关系；
验证：完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：
探究：某数学兴趣小组通过以上练习发现了命题“两边分别平行的两个角相等”，甲同学认为该命题是真命题并画了图1进行验证，乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断此时与的数量关系，并说明理由．
归纳：综合甲乙两同学的证明得到结论：两边分别平行的两个角 ．
【变式5-2】．（2023春 盐山县期末）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．
（1）如图，，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得，并给出证明过程．
小丽添加的条件：．
请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．
证明：（已知）
（已知）
（等量代换）
（2）拓展：如图，请你从三个选项①，②平分，③中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
①条件： ，结论： （填序号）．
②证明： ．
【变式5-3】．（2023春 清江浦区期末）探究问题：已知，画一个角，使，，且交于点．与有怎样的数量关系？
（1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中与数量关系为 ；图2中与数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述） ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，请直接写出这两个角的度数．
2个判定
【考查题型六】垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
【例6】（2023春 澄迈县期末）过点向边作垂线段，下列画法中正确的是
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2023春 孟村县期末）已知，如图所示，，垂足为，为过点的一条直线，则与的关系一定成立的是
A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角
【变式6-2】．（2022秋 太仓市期末）如图，直线与相交于点，，．
（1）如图中与互补的角是 ；（把符合条件的角都写出来）
（2）若，求的度数．
【变式6-3】．（2023春 红山区期末）如图，直线与相交于点，于点，平分，且，求的度数．
【考查题型七】平行线判定
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
【例7】（2023春 西乡塘区期末）如图，下列条件中，能判断的是
A． B．
C． D．
【变式7-1】．（2023春 高新区校级期末）如图，，，分别是，的角平分线，，求证：．
【变式7-2】．（2023春 武胜县校级期末）完成下面的证明
如图，平分，平分，且，求证：．
完成推理过程
平分（已知），
．
平分（已知），
（已知），
．
．
【变式7-3】．（2023春 岳池县校级期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，．
（1）求证：；
（2）试判断与之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，，求的度数．
2个性质
【考查题型八】垂线段的性质
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
【例8】（2023秋 婺城区期末）如图，某污水处理厂要从处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．过一点可以作无数条直线 D．垂线段最短
【变式8-1】（2023春 清远期末）春节过后，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点，以便对农田的小麦进行灌溉，现设计了四条路段，，，，如图所示，其中最短的一条路线是
A． B． C． D．
【变式8-2】．（2023春 信都区期末）已知：点是直线外一点，点、、是直线上三点，分别连接、、．
（1）通过测量的方法，比较、、的大小，直接用“”连接；
（2）在直线上能否找到一点，使的长度最短？如果有，请在图中作出线段，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．
【变式8-3】．（2023秋 姑苏区校级期末）如图，平原上有，，，四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠最短并说明根据．
【考查题型九】平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
【例9】（2023春 浦东新区校级期末）如图，已知，、、分别平分、、，则图中与互余的角共有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式9-1】．（2023春 嘉定区期末）如图，，，垂足为点，如果，那么
．
【变式9-2】．（2023秋 大埔县期末）【探究】如图①，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．
（1）若，，则 度， 度．
（2）若，求的度数．
【拓展】如图②，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
【变式9-3】．（2023秋 修水县期末）综合与探究
问题情境
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，．
探索发现
“快乐小组”经过探索后发现：
（1）当时，．请说明理由．
（2）不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，用含的式子表示为 ．
操作探究
（3）“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
（4）点继续在射线上运动，当运动到使时，请直接写出的结果．
2种方法
【考查题型十】作辅助线构造“三线八角”
【例10】．（2021春 徐汇区校级期末）如图，已知，，，则 度．
【变式10-1】（2023秋 辉县市期末）如图，，设，那么、和的关系是
A． B． C． D．
【变式10-2】（2023秋 黔江区期末）已知：和平面内一点．
（1）如图1，点在边上，过点作交于点，作交于点，判断与的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，点在的延长线上，，，请你判断与的位置关系．并说明理由．
（3）如图3，点在的外部，若作，，请直接写出与数量关系．
【变式10-3】．（2023春 平桥区期末）综合与实践：综合与实践活动课上，孙老师让同学们以“奇妙的平行线”为主题开展数学活动．如图1，，点、分别在射线和上，．
（1）若，则 ；探究中小聪同学发现，过点作即可得到的度数，请直接写出的度数；
（2）小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作，交于，请你根据小明同学提供的辅助线，先确定该定值，并说明理由；
（3）如图3，把“”改为“” ，其它条件保持不变，猜想与的数量关系，并说明理由．
【考查题型十一】作辅助线构造“三线平行”
【例11】．（2023春 威县校级期末）如图1，，被直线所截，，过点作，是线段上的点，过点作交于点．
（1）求的度数；
（2）将线段沿线段方向平移得到线段，连接．
①如图2，当时，求的度数；
②如图3，当时，求的度数；
③在整个平移过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的度数，若不存在，请说明理由．
【变式11-1】．（2023秋 衡阳期末）已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．
（1）如图，若，，则 ；
（2）若的平分线交边于点，
①如图，当，且时，试说明：；
②如图，当保持不变时，试求出与之间的数量关系．
【变式11-2】．（2023春 广宁县期末）如图1，，点位于，之间，为钝角，，垂足为点．
（1）若，则 ；
（2）如图2，过点作，交的延长线于点，求证：；
（3）如图3，在（2）问的条件下，平分交于点，若，求的度数．
【变式11-3】．（2023春 连城县期末）如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”．
（1）如图1，形中，若，，则 ；
（2）如图2，连接形中，两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当点在线段的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系．
2种思想
【考查题型十二】方程思想
【例12】．（2023春 清江浦区期末）探究问题：已知，画一个角，使，，且交于点．与有怎样的数量关系？
（1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中与数量关系为 ；图2中与数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述） ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，请直接写出这两个角的度数．
【变式12-1】．（2023春 东至县期末）【阅读学习】阅读下面的解题过程：
（1）如图①，，过点作，由平行线的传递性可得，利用平行线的性质，我们不难发现：与、之间的数量关系是 ；与、之间的数量关系是 ．
【知识运用】利用上面的结论解决下列问题：
（2）如图②，，点是和的平分线的交点，，则的度数是 ．
（3）如图③，，平分，，平分，若比大，求的度数．
【变式12-2】．（2023春 望奎县期末）三角形中，是上一点，交于点，点是线段延长线上一点，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，若，，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点是线段延长线上一点，若，平分，求的度数．
【变式12-3】．（2023春 荆门期末）如图1，已知，连接和交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，点，分别在线段，上，且，，且．
①若，求的度数；
②当 2 时，为定值，此时定值为 ．
【考查题型十三】分类讨论思想
【例13】．（2022秋 二道区校级期末）【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？
【解决问题】分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系．
（1）如图1，，，试证：；
（2）如图2，，，试证：；
【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为 ；
【拓展应用】
（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少，求这两个角的度数．
（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为 ．
【变式13-1】（2023春 东城区期末）已知，直线，点为直线上一定点，射线交于点，平分，．
（1）如图1，当时， ；
（2）点为线段上一定点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点．
①如图2，当点在点右侧时，求与的数量关系；
②当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）．
【变式13-2】．（2023春 武汉期末）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；
（3）如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转（旋转角度，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．
【变式13-3】．（2023春 海曙区期末）如图1，已知，点、在直线上，点、在直线上，且于．
（1）求证：；
（2）如图2，平分交于点，平分交于点，求的度数；
（3）如图3，为线段上一点，为线段上一点，连接，为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是 ．
()
期末复习攻略：相交线与平行线
5个概念
【考点题型一】相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
【例1】（2023春 澄迈县期末）平面上画三条直线，交点的个数最多有
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据相交线的性质可得答案．
【解答】解：平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，
故选：．
【点评】本题考查相交线，理解平面内两条直线相交只有一个交点，三条直线两两相交最多有3个交点是正确判断的前提．
【变式1-1】（2023秋 路北区期末）根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点．”画出的图形是
A． B．
C． D．
【分析】根据直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点进行判断，即可得出结论．
【解答】解：．直线不经过点，故本选项不合题意；
．点在直线上，故本选项不合题意；
．点在直线上，故本选项不合题意；
．直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．
【变式1-2】（2023春 攸县期末）同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为
A．0个或1个 B．1个或2个
C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
【分析】分三条直线互相平行、有两条平行和三条直线都不平行三种情况讨论．
【解答】解：因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论：
①三条直线互相平行，有0个交点；
②一条直线与两平行线相交，有2个交点；
③三条直线都不平行，有1个或3个交点；
所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个．
故选：．
【点评】考查了相交线，本题要注意列举出所有可能的情况．
【变式1-3】（2023春 秦都区期末）如图，直线与交于点，平分，若，求的度数．
【分析】先根据平角定义可得，从而利用角平分线的定义可得，然后利用对顶角相等可得，即可解答．
【解答】解：，
，
平分，
，
，
的度数为．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【考点题型二】“三线八角”
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
【例2】（2023春 黄石港区期末）如图，图中与是同位角的是
A．（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）
【分析】根据同位角的定义作答．
【解答】解：（1）（2）（4）中，与是同位角；图（3）中，与不是同位角，因为这两个角的边所在的直线没有一条公共边．
故选：．
【点评】两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在两条被截直线的同旁的两个角是同位角．如果两个角是同位角，那么它们一定有一条边在同一条直线上．
【变式2-1】．（2023秋 同安区期末）如图，和的位置关系是
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【解答】解：和的位置关系是同位角．
故选：．
【点评】本题考查同位角，关键是掌握同位角的定义．
【变式2-2】（2023秋 思明区校级期末）如图所示，与是一对
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
【分析】根据“同位角、内错角、同旁内角”的意义进行判断即可．
【解答】解：与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角，
故选：．
【点评】本题考查“同位角、内错角、同旁内角”的意义，理解和掌握“同位角、内错角、同旁内角”的特征是正确判断的前提．
【变式2-3】（2023春 清远期末）如图，已知直线，被直线所截，下列属于同旁内角是
A．和 B．和 C．和 D．和
【分析】根据对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：、与属于同位角，故不符合题意；
、与属于对顶角，故不符合题意；
、与属于内错角，故不符合题意；
、与属于同旁内角，故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
【考点题型三】平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
【例3】（2023春 敦化市期末）在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和 两种位置关系．
【分析】根据两直线的位置关系解答即可．
【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交，
故答案为：平行．
【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
【变式3-1】（2023春 青龙县期末）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对
【分析】根据直线的位置关系解答．
【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，
所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．
故选：．
【点评】本题考查了两直线的位置关系，需要特别注意，垂直是相交特殊形式，在同一平面内，不重合的两条直线只有平行或相交两种位置关系．
【变式3-2】（2023春 东昌府区校级月考）下列语句正确的有 个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线，外一点，画直线，使，且
④若直线，，则．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．
【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过两条直线，外一点，画直线，使，且，只有时才能画出，故说法错误；
④若直线，，则，说法正确；
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【变式3-3】（2023春 双牌县期末）下列说法正确的有（填序号） ．
①同位角相等；
②一条直线有无数条平行线；
③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
④在同一平面内，如果，，则；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【分析】根据平行线的性质，平行公理以及平行线与线段的区别对各小题分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①应是两直线平行，同位角相等，故本小题错误；
②一条直线有无数条平行线，正确；
③因为线段有端点，所以有长短，不相交也不一定平行，故在同一平面内，两条不相交的线段不一定是平行线，故本小题错误；
④在同一平面内，如果，，则，符合平行公理，正确；
⑤应为过直线外一点可以而且只可以画一条直线与已知直线平行，故本小题错误，
故答案为：②④．
【点评】本题主要考查了平行线的性质及平行公理，都是基础知识，需要熟练记忆．
【考点题型四】平移
概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形图形的这种移动,叫做平移
要素：一是平移的方向,二是平移的距离
性质：平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同对应边平行(或在同一条直线上)且相等,对应角相等连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)相等
注意：“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别:前者是由原图形上的点与平移后图形上的对应点连接而成的;而后者本身就存在于原来的图形与平移后的图形之中，是图形的一条边
【例4】．（2023春 南山区期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据平移的性质得到，，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：由平移的性质可知，，，
则，即，
，
，
故选：．
【点评】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
【变式4-1】．（2023春 鼎城区期末）如图，在三角形中，，将三角形沿方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是
A．15 B．18 C．21 D．不确定
【分析】根据平移的性质得出，再根据进行计算即可．
【解答】解：如图，连接，由平移的性质可知，，
，
故选：．
【点评】本题考查平移的性质，掌握平移前后对应线段平行且相等是正确解答的前提．
【变式4-2】．（2022秋 临淄区期末）如图，，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 ．
【分析】根据平移的性质得到，，根据周长公式计算，得到答案．
【解答】解：由平移的性质可知：，，
，
阴影部分的周长，
故答案为：11．
【点评】本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
【变式4-3】．（2023春 重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，，经平移后对应点为，，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，．
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）①画出三角形；
②写出三角形的面积；
（3）过点作轴，交于点，则点的坐标为 ．
【分析】（1）由点的对应点坐标知，需将三角形向左平移6个单位、向上平移2个单位，据此可得；
（2）①根据平移规律求出点的坐标，根据，，点的坐标即可画出三角形；
②利用割补法求解可得答案；
（3）设，利用面积法求解．
【解答】解：（1）点的坐标为，点的坐标为，即，；
故答案为：，；
（2）①如图，△即为所求；
②△的面积；
（3）设，则有，
解得，
，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平移作图，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．
【考点题型五】命题
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【例5】（2023春 大竹县校级期末）下列说法正确的是
A．同位角相等
B．对顶角相等
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等
【分析】根据平行线的性质对、、进行判断；根据对顶角的性质对进行判断．
【解答】解：、两直线平行，同位角相等，所以选项错误；
、对顶角相等，所以选项正确；
、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以选项错误；
、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
【变式5-1】（2023春 汝南县期末）发现：如图，内有一点：过点画交于点，画交于点；根据所画图形试说明：与的数量关系；
验证：完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：
探究：某数学兴趣小组通过以上练习发现了命题“两边分别平行的两个角相等”，甲同学认为该命题是真命题并画了图1进行验证，乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断此时与的数量关系，并说明理由．
归纳：综合甲乙两同学的证明得到结论：两边分别平行的两个角 ．
【分析】验证：利用平行线的性质和等量代换进行填空即可；
探究：结合图1和图2，利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：验证：如图，
，
（两直线平行，同位角相等），
，
（两直线平行，内错角相等），
．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；
探究：两边分别平行的两个角相等或互补，理由：
如图1，
，
．
，
，
．
两边分别平行的两个角相等；
如图2，
，
．
，
，
．
两边分别平行的两个角互补，
综上，两边分别平行的两个角相等或互补．
故答案为：相等或互补．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，分类讨论是思想方法，等量代换，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式5-2】．（2023春 盐山县期末）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．
（1）如图，，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得，并给出证明过程．
小丽添加的条件：．
请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．
证明：（已知）
（已知）
（等量代换）
（2）拓展：如图，请你从三个选项①，②平分，③中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
①条件： ，结论： （填序号）．
②证明： ．
【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理解答；
（2）根据真命题的概念写出命题的条件和结论，根据平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义解答．
【解答】（1）证明：（已知），
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（等量代换）；
（2）①条件：，（答案不唯一），
结论：平分，
②证明：，
，，
，
，即平分．
故答案为：（1）；两直线平行，同位角相等；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；
（2）①、①③；②，
，
，，
，
，即平分．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式5-3】．（2023春 清江浦区期末）探究问题：已知，画一个角，使，，且交于点．与有怎样的数量关系？
（1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中与数量关系为 ；图2中与数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述） ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，请直接写出这两个角的度数．
【分析】（1）①利用平行线的性质即可判断；②根据平行线的性质解决问题即可．
（2）设两个角分别为和，由题意或，解方程即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1中，．如图2中，，
故答案为：，．
理由：如图1中，
，
，
，
，
．
如图2中，，
，
，
，
．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
（2）设两个角分别为和，
由题意或，
解得或，
这两个角的度数为，或和．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2个判定
【考查题型六】垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
【例6】（2023春 澄迈县期末）过点向边作垂线段，下列画法中正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据垂线段的定义及题意逐个图进行判断即可得出正确结论．
【解答】解：．此选项是过点作边的垂线段，故错误；
．此选项是过点作边的垂线段，故错误；
．此选项是过点作边的垂线段，故此项正确；
．此选项是过点作边的垂线段，故错误．
故选：．
【点评】本题考查了垂线段的定义及作法，是一道基础题，解题时要善于观察，准确理解垂线段的定义是解题的关键．
【变式6-1】（2023春 孟村县期末）已知，如图所示，，垂足为，为过点的一条直线，则与的关系一定成立的是
A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角
【分析】根据图形可看出，的对顶角与互余，那么与就互余．
【解答】解：图中，（对顶角相等），
又，
，
，
两角互余．
故选：．
【点评】本题考查了余角和垂线的定义以及对顶角相等的性质．
【变式6-2】．（2022秋 太仓市期末）如图，直线与相交于点，，．
（1）如图中与互补的角是 ；（把符合条件的角都写出来）
（2）若，求的度数．
【分析】（1）根据互补的两个角的和等于，结合图形找出与的和等于的角即可；
（2）设，可以得到，然后列式求解即可．
【解答】解：（1），
与互补；
，，
，
，
，
与互补；
综上：和与互补．
故答案为：，．
（2）设，则，，
（对顶角相等），
，
即，
解得：．
．
【点评】本题考查了补角的和等于的性质，以及对顶角相等，周角等于的性质，结合图形找出各角的关系是解题的关键．
【变式6-3】．（2023春 红山区期末）如图，直线与相交于点，于点，平分，且，求的度数．
【分析】依据垂线以及邻补角，即可得到的度数，再根据角平分线即可得出的度数，进而得出的度数．
【解答】解：，，
．
，．
又平分，
．
．
【点评】本题考查角平分线的定义、角的和差关系的运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【考查题型七】平行线判定
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
【例7】（2023春 西乡塘区期末）如图，下列条件中，能判断的是
A． B．
C． D．
【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论．
【解答】解：，
，
故①选项符合题意；
，
，
故②选项不符合题意；
，
，
故③选项不符合题意；
，不能判定，
故④选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键．
【变式7-1】．（2023春 高新区校级期末）如图，，，分别是，的角平分线，，求证：．
【分析】先利用角平分线定义得到，，而，则，加上，则，于是可根据平行线的判定得到．
【解答】证明：，分别是，的角平分线，
，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【变式7-2】．（2023春 武胜县校级期末）完成下面的证明
如图，平分，平分，且，求证：．
完成推理过程
平分（已知），
．
平分（已知），
（已知），
．
．
【分析】首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．
【解答】证明：平分（已知），
（角平分线的定义）．
平分（已知），
（角平分线的定义）
（等量代换）
（已知），
（等量代换）．
（同旁内角互补两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．
【变式7-3】．（2023春 岳池县校级期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，．
（1）求证：；
（2）试判断与之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，，求的度数．
【分析】（1）根据同位角相等两直线平行，可证；
（2）根据平行线的性质可得，根据等量关系可得，根据内错角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得与之间的数量关系；
（3）根据对顶角相等可求，根据三角形外角的性质可求，根据平行线的性质可得，，再根据平角的定义可求的度数．
【解答】（1）证明：，
；
（2）解：，
，
，
，
，
；
（3），，
，
，
，
，
，
．
【点评】考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义，平行线的性质有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
2个性质
【考查题型八】垂线段的性质
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
【例8】（2023秋 婺城区期末）如图，某污水处理厂要从处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．过一点可以作无数条直线 D．垂线段最短
【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即可选择．
【解答】解：根据题意可知这种铺设方法蕴含的数学原理是垂线段最短．
故选：．
【点评】本题考查垂线段最短．理解直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解题关键．
【变式8-1】（2023春 清远期末）春节过后，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点，以便对农田的小麦进行灌溉，现设计了四条路段，，，，如图所示，其中最短的一条路线是
A． B． C． D．
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．
【解答】解：由垂线段最短，得
四条路段，，，，如图所示，其中最短的一条路线是，
故选：．
【点评】本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键．
【变式8-2】．（2023春 信都区期末）已知：点是直线外一点，点、、是直线上三点，分别连接、、．
（1）通过测量的方法，比较、、的大小，直接用“”连接；
（2）在直线上能否找到一点，使的长度最短？如果有，请在图中作出线段，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）根据测量可直接得出结论；
（2）过点作，根据点到直线距离的定义可得出结论．
【解答】解：（1）通过测量可知，；
（2）过点作，则最短（垂线段最短）．
【点评】本题考查的是垂线段最短，熟知从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短是解答此题的关键．
【变式8-3】．（2023秋 姑苏区校级期末）如图，平原上有，，，四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠最短并说明根据．
【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接、交于，则为蓄水池位置；
（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直的线段．
【解答】解：（1）两点之间线段最短，
连接，交于，则为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．
（2）过作，垂足为．
“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池中开渠最短的根据．
【点评】本题考查了线段和垂线的性质在实际生活中的运用．
【考查题型九】平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
【例9】（2023春 浦东新区校级期末）如图，已知，、、分别平分、、，则图中与互余的角共有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】先根据补角的定义得出，再由是的平分线，是的平分线，故可得出，，故可得出，，即，与互余；再由平行线的性质可知，故与互余；根据可知，再根据角平分线的性质即可得出结论．
【解答】解：，是的平分线，是的平分线，
，，
，，即，与互余；
，
，
与互余；
，
，
是的平分线，是的平分线，
，，
，与互余，
与互余的角有5个．
故选：．
【点评】本题考查的是平行线的性质，余角和补角，熟知两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
【变式9-1】．（2023春 嘉定区期末）如图，，，垂足为点，如果，那么
．
【分析】延长交于，由平行线的性质得到，求出，由邻补角的性质得到．
【解答】解：延长交于，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：135．
【点评】本题考查平行线的性质，垂线，关键是由平行线的性质得到．
【变式9-2】．（2023秋 大埔县期末）【探究】如图①，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．
（1）若，，则 度， 度．
（2）若，求的度数．
【拓展】如图②，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
【分析】【探究】（1）依据角平分线以及平行线的性质，即可得到的度数，依据三角形内角和定理，即可得到的度数；
（2）依据角平分线以及平行线的性质、三角形内角和定理，即可得到的度数；
【拓展】根据和的平分线交于点，可得，，再根据进行计算，即可得到的度数．
【解答】解：【探究】（1），平分，
，
又，
；
，平分，
，
中，；
故答案为：30，125；
（2）平分，平分，
，．
，
．
，
，．
．
，
．
【拓展】和的平分线交于点，
，，
．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．
【变式9-3】．（2023秋 修水县期末）综合与探究
问题情境
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，．
探索发现
“快乐小组”经过探索后发现：
（1）当时，．请说明理由．
（2）不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，用含的式子表示为 ．
操作探究
（3）“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
（4）点继续在射线上运动，当运动到使时，请直接写出的结果．
【分析】（1）由平行线的性质及角平分线的定义可得结论．
（2）证明方法同（1）问．
（3）由平行线的性质及角平分线的定义可得结论．
（4）由平行线的性质可得，结合条件，可得，再由角平分线的定义、平行线的性质及三角形的内角和定理等可求得答案．
【解答】解：（1），
，
又，
．
，分别平分和，
，，
，
．
（2），分别平分和，
，，
，
，
，
，
．
（3）理由如下：
分别平分，
，
，
，，
．
（4），
，
当时，有，
，
，
，分别平分和，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
2种方法
【考查题型十】作辅助线构造“三线八角”
【例10】．（2021春 徐汇区校级期末）如图，已知，，，则 度．
【分析】过作，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【解答】解：过作，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：120．
【点评】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质是解题的关键．
【变式10-1】（2023秋 辉县市期末）如图，，设，那么、和的关系是
A． B． C． D．
【分析】过作，延长交于，根据三角形外角性质求出，根据平行线性质得出，，代入求出即可．
【解答】解：过作，延长交于，
则，
即
，，
，
，，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适中．
【变式10-2】（2023秋 黔江区期末）已知：和平面内一点．
（1）如图1，点在边上，过点作交于点，作交于点，判断与的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，点在的延长线上，，，请你判断与的位置关系．并说明理由．
（3）如图3，点在的外部，若作，，请直接写出与数量关系．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到；
（2）根据平行线的性质得到，根据平行线的判定定理证明；
（3）依题意画出图形，根据平行线的性质定理解答．
【解答】解：（1）．
理由：，，
，，
；
（2）．
证明：如图，延长交于．
，
．
又，
．
．
（3）或．
理由：①如图，，，
，，
；
②如图，，，
，，
．
综上，或．
【点评】本题考查的是平行线的判定和性质、对顶角相等，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式10-3】．（2023春 平桥区期末）综合与实践：综合与实践活动课上，孙老师让同学们以“奇妙的平行线”为主题开展数学活动．如图1，，点、分别在射线和上，．
（1）若，则 ；探究中小聪同学发现，过点作即可得到的度数，请直接写出的度数；
（2）小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作，交于，请你根据小明同学提供的辅助线，先确定该定值，并说明理由；
（3）如图3，把“”改为“” ，其它条件保持不变，猜想与的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）过点做，由两直线平行同旁内角互补，，由两直线平行同位角相等，，进而作答．（2）过点做，由两直线平行同旁内角互补，，由两直线平行同位角相等，，进而作答．（3）过作，由两直线平行同旁内角互补，，由两直线平行同位角相等，，进而作答．
【解答】解：（1）如图1，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：60；
（2）如图2，
，
，
，
，
，
，
，
，
无论如何变化，的值始终为定值，该定值为；
（3）如图4，
过作，
交于，
，，
，
，
，
，
，
，
无论如何变化，的值始终为定值，该定值为；
【点评】本题考查平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，同位角相等．解题的关键拐角作辅助线．
【考查题型十一】作辅助线构造“三线平行”
【例11】．（2023春 威县校级期末）如图1，，被直线所截，，过点作，是线段上的点，过点作交于点．
（1）求的度数；
（2）将线段沿线段方向平移得到线段，连接．
①如图2，当时，求的度数；
②如图3，当时，求的度数；
③在整个平移过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的度数，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用平行线的性质得，，根据同角的补角相等可得答案；
（2）①如图1中，过点作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案；
②如图3中，过点作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案即可求解；
③分两种情形：图2，图（3分）别求解即可．
【解答】解：（1），
．
，
，
；
（2）①如图2，过点作，
，
．
，，
，
；
②如图3，过点作，
，
．
，
，
；
③存在，或．
如图2，当时，
由①知，，，
；
如图3，当时，
由②知，，，
【点评】本题考查了平移性质、平行线的性质，角的和差等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，并学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式11-1】．（2023秋 衡阳期末）已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．
（1）如图，若，，则 ；
（2）若的平分线交边于点，
①如图，当，且时，试说明：；
②如图，当保持不变时，试求出与之间的数量关系．
【分析】（1）过点作，根据，可得，根据平行线的性质可得；
（2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明；
②当保持不变时，总有，在直角三角形中，，可得，根据和角平分线定义，即可求出与之间的数量关系．
【解答】解：（1）如图，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
则，
故答案为：45；
（2）①，
，
，
，
平分，
，
在直角三角形中，，
，
，
，
；
②当保持不变时，总有，
在直角三角形中，，
，
，
，且，
平分，
，
．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
【变式11-2】．（2023春 广宁县期末）如图1，，点位于，之间，为钝角，，垂足为点．
（1）若，则 ；
（2）如图2，过点作，交的延长线于点，求证：；
（3）如图3，在（2）问的条件下，平分交于点，若，求的度数．
【分析】（1）过点作，则，再由平行线的性质即可得出结论；
（2）过点作，则，再由，可得出，再由平行线的性质即可得出结论；
（3）设，由（2）可得，由可得出，过点作，根据平行线的性质可得出．再由平分可知，据此可得出的值．
【解答】（1）解：过点作，则，
，，
．
，
，
．
，
，
．
故答案为：；
（2）证明：如图2，过点作，则．
，
．
，．
又，
．
．
，
，
．
．
（3）解：设，由（2）可得，
，
．
过点作，如图3，
，．
．
．
平分，
，即，解得．
的度数为．
【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线，利用平行线的性质求解是解答此题的关键．
【变式11-3】．（2023春 连城县期末）如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”．
（1）如图1，形中，若，，则 ；
（2）如图2，连接形中，两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当点在线段的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系．
【分析】（1）过作，利用平行线的性质计算可求求解；
（2）过点作交于点，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得，结合（1）的结论可求解；
（3）可分两种情况：当，位于两侧时，当，位于同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解．
【解答】解：（1）过作，
，
，
，，
，
故答案为：；
（2）．
理由：过点作交于点，
，
，，
，
由（1）可得，
，
，
；
（3）如图，当，位于两侧时，
，，
，
，，，
，
即；
当，，三点共线时，，
；
当，位于同侧时，
，，
，
，，，
，
即．
综上，或．
【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
2种思想
【考查题型十二】方程思想
【例12】．（2023春 清江浦区期末）探究问题：已知，画一个角，使，，且交于点．与有怎样的数量关系？
（1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中与数量关系为 ；图2中与数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述） ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，请直接写出这两个角的度数．
【分析】（1）①利用平行线的性质即可判断；②根据平行线的性质解决问题即可．
（2）设两个角分别为和，由题意或，解方程即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1中，．如图2中，，
故答案为：，．
理由：如图1中，
，
，
，
，
．
如图2中，，
，
，
，
．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
（2）设两个角分别为和，
由题意或，
解得或，
这两个角的度数为，或和．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式12-1】．（2023春 东至县期末）【阅读学习】阅读下面的解题过程：
（1）如图①，，过点作，由平行线的传递性可得，利用平行线的性质，我们不难发现：与、之间的数量关系是 ；与、之间的数量关系是 ．
【知识运用】利用上面的结论解决下列问题：
（2）如图②，，点是和的平分线的交点，，则的度数是 ．
（3）如图③，，平分，，平分，若比大，求的度数．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，可得，，所以，即；根据两直线平行，同旁内角互补，可得，，所以；
（2）由（1）得，，因为，所以，因为，分别平分和，所以；
（3）设，则，由（1）得，所以，根据平角定义，因为平分，所以，由（1）得，根据比大，列出方程得，解得，即可求的度数．
【解答】解：（1）如图①，作，
，
，
，，
，
即；
，
，，
，
即．
故答案为：，；
（2）如图②，，
由（1）得，
，
，
由（1）得，
，分别平分和，
．
故答案为：；
（3）如图③，，
由（1）得，
设，则，
，
，
，
平分，
，
由（1）得，
，
，
比大，
，
解得，
．
【点评】本题考查了平行线的性质，平行线的传递性，角平分线的定义等，熟练掌握这些性质以及（1）的结论是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．
【变式12-2】．（2023春 望奎县期末）三角形中，是上一点，交于点，点是线段延长线上一点，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，若，，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点是线段延长线上一点，若，平分，求的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成证明；
（2）如图2，过点作，可得，再根据平行线的性质即可得结论；
（3）根据，可以设，则，然后根据，，求出的值，进而可得结果．
【解答】（1）证明：，
，
．
．
；
（2）解：如图2，过点作，
，
，
，
，
；
（3）平分，
，
，
设，则，
，
，，
，
，
解得，
，
，
．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
【变式12-3】．（2023春 荆门期末）如图1，已知，连接和交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，点，分别在线段，上，且，，且．
①若，求的度数；
②当 2 时，为定值，此时定值为 ．
【分析】（1）根据猪脚模型，即可解答；
（2）①设，，则，，从而可得，，再利用（1）的结论可得，从而可得，然后利用三角形的性质可得，从而可得，最后解方程组即可解答；
②由①可得：，，，从而可得，，然后可求出，再根据题意可得，从而可得，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：过点作，
，
，
，
，
，
；
（2）①解：设，，
，，
，，
，，
由（1）可得：，
，
，
，
是的一个外角，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
的度数为；
②由①可得：，
，
由①可得：，，
，，
，
为定值，
，
，
，
当时，为定值，此时定值为，
故答案为：2；．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．
【考查题型十三】分类讨论思想
【例13】．（2022秋 二道区校级期末）【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？
【解决问题】分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系．
（1）如图1，，，试证：；
（2）如图2，，，试证：；
【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为 ；
【拓展应用】
（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少，求这两个角的度数．
（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为 ．
【分析】【提出问题】（1）根据平行线的性质即可得解；
（2）根据平行线的性质即可得解；
【得出结论】结合（1）（2）得出结论；
【拓展应用】（3）根据“若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系是相等或互补”求解即可；
（4）根据题意画出图形，可直接得出结论．
【解答】【提出问题】（1）证明：如图1，
，
，
又，
，
；
（2）证明：如图2，
，
，
又，
，
；
【得出结论】解：由（1）（2）我们可以得到的结论是：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系是相等或互补，
故答案为：相等或互补；
【拓展应用】（3）解：设其中一个角为，则另一角为，
当时，
解得，
此时两个角为，；
当，
解得，
则，
此时两个角为，；
这两个角分别是，或，．
（4）解：如图，这两个角之间的数量关系是：相等或互补．
故答案为：相等或互补．
【点评】此题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．
【变式13-1】（2023春 东城区期末）已知，直线，点为直线上一定点，射线交于点，平分，．
（1）如图1，当时， ；
（2）点为线段上一定点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点．
①如图2，当点在点右侧时，求与的数量关系；
②当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）．
【分析】（1）由得，根据平角的定义及角平分线的性质可得出，然后将代入即可；
（2）①延长交于点，由得，由得可得出结论；
②由于的一边恰好与射线平行，因此有以下两种情况，
（ⅰ）当与射线平行时，设，延长于点，由得，，再由及（1）的结论得，然后由三角形的内角和定理得，据此可得出答案；
（ⅱ）当与射线平行时，由得由得，进而得，据此可得，最后再由三角形的外角定理可得出答案．
【解答】解：（1），
，
，
，
平分，
，
．
（2）①与的数量关系是：．
理由如下：
延长交于点，
，
，
，
，
，
，
，
．
②的度数为：或．
理由如下：
的一边恰好与射线平行，
有以下两种情况，
（ⅰ）当与射线平行时，设，
延长于点，
，
，，
，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
，
（ⅱ）当与射线平行时，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，难点是分类讨思想在解题中的应用，这也是解答此题的易错点之一．
【变式13-2】．（2023春 武汉期末）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；
（3）如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转（旋转角度，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．
【分析】（1）过点作，根据已知条件证明，然后根据平行线的性质证明，，通过等量代换即可；
（2）先根据已知条件证明，然后根据三角形内角和与外角的性质，把和用和表示出来，再代入，进行代换即可；
（3）分三种情况进行解答，①，②，③，求出旋转的角度就能算出答案．
【解答】解：（1）如图所示：过点作，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图所示：
平分，平分，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图所示：
分三种情况：
①如图1所示：当旋转到时，，
，
，
，，
，
，，
，
，
平分，绕点旋转的速度每秒，
，绕点旋转的速度为每秒，
秒；
②如图2所示：当旋转到时，，
，
，
，
，
，，，
，
平分，
，
，
秒；
③如图3所示：当旋转到时，，
，
①已证，平分，
，
秒；
当射线与的一边互相平行时，的值为10或26或34秒．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是正确的识别图形，熟练掌握平行线的性质．
【变式13-3】．（2023春 海曙区期末）如图1，已知，点、在直线上，点、在直线上，且于．
（1）求证：；
（2）如图2，平分交于点，平分交于点，求的度数；
（3）如图3，为线段上一点，为线段上一点，连接，为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是 ．
【分析】（1）如图1中，过作．利用平行线的性质即可解决问题．
（2）如图2中，作，，设，，可得，证明，，推出即可解决问题．
（3）分两种情形分别画出图形求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，过作．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图2中，作，，
设，，
由（1）知：，，
，
，
，
同理：，
，
．
（3）如图，设交于．
当点在内部时，，
，
平分，
，
，
，，
，
．
当点在直线的下方时，同法可知：，
综上所述：或．
故答案为：或．
【点评】本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
()
