2023—2024学年度第二学期期中考试七年级数学科试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列工具中，有对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． B．
C． D．
3．在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定
4．下列四个点中，在第二象限的点是（ ）．
A． B． C． D．
5．下列是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列4组数值中，二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．互补的两个角是邻补角
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．对顶角相等
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
8．满足的x，y的值分别为（ ）
A．，1 B．1，1 C．1， D．无法确定
9．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，平行于y轴，且，则点B的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，，…按这样的规律，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．在二元一次方程中，当时，的值是 ．
12．已知点，则点P到y轴的距离为 ．
13．如图，，则 ．
14．我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1 000里，逆风返回时4分钟走了600里，则风速是 里/分．
15．“友谊宾馆”在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米50元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需 元.
16．如果方程组的解与方程组的解相同，则 ．
三、解答题（共72分）
17．已知下列9个数．①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（两个2之间依次增加1个0）．请把这些数对应的编号，填入合适的集合中．
(1)有理数集合：（ ……）
(2)无理数集合：（ ……）
(3)负实数集合：（ ……）
18．计算：．
19．解方程组：．
20．如图，将向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到．
(1)请画出平移后的图形；
(2)并写出各顶点的坐标；
(3)求出的面积．
21．已知：的立方根是3，25的算术平方根是，求：
(1)x，y的值；
(2)的平方根．
22．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
琮琮 莲莲
进价（元/个） 60 70
售价（元/个） 80 100
(1)该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？
(2)周老师有幸能参加本次亚运会，然后想买20个琮琮，30个莲莲送给他的学生，现在有两个玩具店在做活动，甲商店打“八折”销售，乙商店总价“满4000元减700元”，请问周老师会选择到哪个商店买更优惠？
23．如图，点分别在的三条边上，．
(1)试说明：；
(2)若平分，求的度数．
24．先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组：，
由①，得．③
把③代入②，得，解得．
把代入③，得．
原方程组的解为；
这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：．
25．问题情境：
在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动．
探究发现：
如图1，小明把三角尺中角的顶点放在上，边与分别交于点．
（1）若，求的度数．
（2）如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由．
延伸拓展：
（3）如图3，当的延长线与交于点时，，求的度数．
答案与解析
1．C
【分析】本题考查了对顶角，关键是熟练掌握对顶角的定义．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解．
【解答】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，有对顶角的是选项C．
故选：C．
2．A
【分析】根据直线的性质，线段的性质对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故本选项合题意．
B、木板弹出一条墨迹是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；
C、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；
D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了线段的性质，直线的性质，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
3．C
【分析】本题主要考查对平行线和相交线的理解和掌握，根据在同一平面内两条不重合的直线的位置关系得出即可，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
【解答】解：在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是平行和相交．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了坐标，点在第二象限的条件是∶横坐标是负数，纵坐标是正数，以此进行判断即可．
【解答】解：A、横坐标是正数，不是第二象限的点，不符合题意；
B、横坐标是正数，纵坐标是正数，不是第二象限的点，不符合题意；
C、横坐标是负数，纵坐标是正数，是第二象限的点，符合题意；
D、横坐标是负数，纵坐标是负数，不是第二象限的点，不符合题意；
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，只含有两个未知数且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，由两个这样的二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可．
【解答】解；A、，方程组中有方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意；
B、，是二元一次方程组，符合题意；
C、，含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意；
D、，含有未知数的项的次数有不是1的项，不是二元一次方程组，不符合题意；
故选：B．
6．C
【分析】二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【解答】A选项：将代入方程，左边右边，所以不是方程的解；
B选项：将代入方程，左边右边，所以不是方程的解；
C选项：将代入方程，左边右边，所以是方程的解；
D选项：将代入方程，左边右边，所以不是方程的解．
故选：C
【点拨】本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是本题的关键．
7．C
【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相关等知识，难度不大．利用邻补角的定义、垂直的判定方法、对顶角的性质、平行线的性质，逐项分析判断后即可．
【解答】解：A. 互补的两个角不一定是邻补角，故原命题是假命题，不符合题意；
B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是假命题，不符合题意；
C. 对顶角相等，该命题是真命题，符合题意；
D. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题，不符合题意．
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据非负数的性质建立二元一次方程组，再求出x、y的值即可．掌握非负数的性质是解题的关键．
【解答】解：∵，，，
，
解得：，
故选：C．
9．D
【分析】本题主要考查了坐标与图形，先根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同得到点B的横坐标为，再由得到，解之即可得到答案．
【解答】解；∵点A的坐标为，平行于y轴，
∴点B的横坐标为，
∵，
∴，
解得或，
∴点B的坐标为或，
故选：D．
10．A
【分析】本题考查坐标的规律，找出规律是解题的关键，先得出点（n为正整数）的横坐标为，纵坐标每6个一循环，再求解即可．
【解答】解：点（n为正整数）的横坐标为，纵坐标每6个一循环，
∴点的横坐标为，
∵，
∴点的纵坐标与的纵坐标相同， 为4，
∴点的坐标为，
故选：A．
11．2
【分析】此题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的概念是解本题的关键．
把代入方程计算即可求出y的值．
【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：2．
12．4
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值进行求解即可．
【解答】解；∵，
∴点P到y轴的距离为，
故答案为：4．
13．60
【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角；先根据，得到，再根据邻补角互补即可求解．
【解答】解：
∵
∴
∵
∴，
故答案为：60．
14．50
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据速度×时间=路程列方程组即可．
【解答】解：设孙悟空的速度是x里/分，风速是y里/分，
依题意，得，解得，
故风速是50里/分，
故答案为：50．
15．800
【分析】本题考查了平移的性质，根据平移性质，得出红色地毯的长度为，运用长方形面积公式列式计算，即可作答．
【解答】解：根据图中的性质，且结合平移性质，得
故红色地毯的面积为
∵这种红色地毯的售价为每平方米50元，
∴（元）
故答案为：800
16．1
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及加减消元法解方程组．一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．注意两个方程组有相同的解时，往往需要将两个方程组进行重组解题．
根据题意，把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出的值．
【解答】解：根据题意把代入方程组，得
，
，得：，
则，
故答案为：1．
17．(1)①③④⑤⑥
(2)②⑦⑧⑨
(3)②⑤⑦⑧
【分析】本题考查了有理数，无理数和实数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数的无理数，有理数和无理数统称为实数．
（1）根据有理数的定义，即可解答；
（2）根据无理数的定义，即可解答；
（3）根据实数和负数的定义，即可解答．
【解答】（1）解：，，
有理数集合：①③④⑤⑥，
故答案为： ①③④⑤⑥；
（2）解：无理数集合：②⑦⑧⑨，
故答案为：②⑦⑧⑨；
（3）解：负实数集合：②⑤⑦⑧，
故答案为：②⑤⑦⑧．
18．
【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根，再去绝对值，最后计算加减法即可．
【解答】解：
．
19．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为．
20．(1)见解析
(2)，，
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形：
（1）先根据平移的分式确定的位置，再将其两两连线，即可；
（2）根据（1）的图形即可求解；
（3）利用割补法求解即可．
【解答】（1）解：如图：即为所求
（2）解：由（1）中的图形，可得，，；
（3）解：．
21．(1)，
(2)
【分析】（1）根据立方根的定义求得x的值，再根据算术平方根的定义求得y值；
（2）先计算的值，再根据平方根的定义求解即可．
【解答】（1）∵的立方根是3，
∴，
解得：，
∵25的算术平方根是，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴的平方根为．
【点拨】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握立方根、算术平方根、平方根的定义是解决本题的关键．
22．(1)该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个
(2)选甲商店更优惠
【分析】本题考查二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的列出方程组，是解题的关键．
（1）设该玩具店购进“琮琮”个，“莲莲”个，根据玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，列出方程组进行求解即可；
（2）根据两种优惠方案，列式计算出各个方案所需的费用，，进行比较即可．
【解答】（1）解：设该玩具店购进“琮琮”个，“莲莲”个，
根据题意得：，解得：．
答：该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个．
（2）甲：（元）
乙：（元）
因为，
所以选甲商店更优惠．
23．(1)详见解析
(2)，详见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
（1）根据平行线的判定与性质即可证明结论；
（2）根据角平分线定义和平行线的判定与性质即可求出结果；
【解答】（1）∵，
∴
∵，
∴，
∴；
（2）∵，．
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
24．．
【分析】本题考查了解二元一次方程组．根据材料的方法，利用整体代入法求解即可．
【解答】解：由①，得．③
把③代入②，得，解得．
把代入③，得．
原方程组的解为．
25．（1）（2）（3）
【分析】（1）过点C作，得到，推出，根据，，即可得到，即可求解；
（2）过点C作，同（1）可证，根据邻补角的定义即可求解；
（3）过点A作，得到，推出，进而推出，由平行线的性质，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点C作，
，
，
，
，，
；
（2）如图2，过点C作，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3，过点A作，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，平行线的性质是几何中角度转化的重要依据，对于两平行线间有折线的问题，一般在“拐点”处作平行线转化角．
