哈163中学2023-2024学年度（下）期中学情质量监测
七年级数学学科（满分：120分时间：120分钟）
出题人：WD 审题人：初二数学组
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列四个图形中，线段是的高的是( )
A. B.
C.
D.
4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，已知D为边延长线上一点，于F交于E，，则的度数为（）
A. B. C. D.
6. 如图所示，若，且，则的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 2.5
7. 买钢笔和铅笔共30支，其中钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支．若设买钢笔x支，铅笔y支，根据题意，可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
8. 给出下列命题：①三角形的一个外角等于两个内角和；②若，则是直角三角形；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外．正确的命题有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（每小题3分，共30分）
9. 由方程可得到用x表示y的式子是_________．
10. 若一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，主要运用的几何原理是_________．
11. x2倍与3的差不大于9，用不等式表示为_________．
12. 一个多边形每一个内角都等于，这个多边形共有___________条边．
13. 如果不等式组无解，那么m的取值范围是____．
14. 某次知识竞赛共有20题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对_____道．
15. 如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝______°．
16. 一个等腰三角形两边是6cm、7cm，则这个等腰三角形的周长为____________cm．
17. 把一批书分给小朋友，每人4本，则余9本；每人6本，则最后一个小朋友得到书且不足3本，这批书有______本．
18. 如图,在△ABC中,∠B=∠C, ∠CDE=∠BAD,∠CAD=70°则∠AED=____° .
三、解答题（19-23每题6分，24-25每题8分，26、27每题10分，共66分）
19. 解方程组
（1）
（2）
20. 解不等式．
（1）
（2）
21. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
（1）
（2）
22. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上，请在正方形网格中按要求画图．
（1）请在图1中画出边上的高，垂足为点D；
（2）请在图2中过点A画一条直线，该直线将分割成面积相等的两部分．
（3）直接写出面积是___________
23. 已知：满足不等式的最小正整数解是关于x的方程的解，求式子的值．
24. 某物流公司，要将310吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知4辆A型车和2辆B型车可装110吨物资，3辆A型车和4辆B型车可装120吨物资．
（1）A、B两种型号的车每辆可装物资各多少吨
（2）在每辆车不超载条件下，把310吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆
25. 请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程：
因为|x|＜3，从如图1所示的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集是-3＜x＜3；
因为|x|＞3，从如图2所示的数轴上看：小大于-3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集是x＜-3或x＞3．
解答下面的问题：
（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为______；不等式|x|＞a（a＞0）的解集为______．
（2）解不等式|x-5|＜3；
（3）解不等式|x-3|＞5．
26. 一副三角板直角顶点重合于点，，，．
（1）如图（1），若，求证：；
（2）如图（2），若,,则 度；
（3）如图（3），在（1）的条件下，与相交于点，连接，，若，，，求的面积．
27. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，其中m、n是二元一次方程组的解，且．
（1）求A、C两点坐标；
（2）动点P从点C出发以2个单位长度/秒的速度沿向终点B运动，连接，点D是线段的中点，连接，设点P的运动时间为t秒，的面积为，求S与t之间的关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）条件下，当时，求点P的坐标；此时若在边上存在一点Q，连接，使，试判断与的数量关系，并说明理由．哈163中学2023-2024学年度（下）期中学情质量监测
七年级数学学科（满分：120分时间：120分钟）
出题人：WD 审题人：初二数学组
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且含有的未知数的项的次数为，逐一进行判断即可．
【详解】解：、方程组中含有两个未知数，的次数为，不符合题意；
、方程组中含有三个未知数，不符合题意；
、方程组中含有两个未知数，每个未知数的次数为，符合题意；
、方程组中含有两个未知数，中未知数的次数为，不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握含有两个未知数，且含有的未知数的项的次数为的方程是解题的关键．
2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A、 ∵， ∴，不一定有，不符合题意；
B、∵，∴，不符合题意；
C、∵，∴ ，不符合题意；
D、∵，∴，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3. 下列四个图形中，线段是的高的是( )
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断．
【详解】解：线段是的高的图是；
故选：C．
4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答．
【详解】解：不等式中包含等于号，
必须用实心圆点，
可排除A、B，
不等式中是大于等于，
折线应向右折，
可排除D．
故选：C．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式解集的方法，即“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．
5. 如图，已知D为边延长线上一点，于F交于E，，则的度数为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和为是解题关键．由垂直可得，从而可求得，由对顶角相等得，即可求的度数．
【详解】
故选：C．
6. 如图所示，若，且，则的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 2.5
【答案】A
【解析】
【分析】已知，根据全等三角形的对应边相等，可得，即可得到的长．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：A
【点睛】本题考查了全等三角形的性质的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等．
7. 买钢笔和铅笔共30支，其中钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支．若设买钢笔x支，铅笔y支，根据题意，可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设买钢笔x支，铅笔y支，根据：钢笔和铅笔共30支，其中钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支；即可列出方程组．
【详解】解：设买钢笔x支，铅笔y支，根据题意，可列方程组为；
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
8. 给出下列命题：①三角形的一个外角等于两个内角和；②若，则是直角三角形；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外．正确的命题有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质、三角形内角和和直角三角形的定义、三角形角平分线的定义、直角三角形的高的交点在直角顶点处对各项进行判断即可．
【详解】①三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和，故命题①错误，不符合题意；
②若，则是直角三角形，故命题②正确，符合题意；
③三角形的角平分线是线段，故命题③错误，不符合题意；
④三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或三角形外或在三角形一个顶点处，故命题④错误，不符合题意；
故正确的命题有1个．
故答案为：A．
【点睛】本题考查了三角形的相关概念，掌握三角形外角的性质、三角形内角和和直角三角形的定义、三角形角平分线的定义、直角三角形的高的交点在直角顶点处是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共30分）
9. 由方程可得到用x表示y的式子是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质对方程进行变形是解题的关键．根据等式的性质，通过移项得．
【详解】解：
移项，得．
故答案为．
10. 若一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，主要运用的几何原理是_________．
【答案】三角形的稳定性
【解析】
【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性.
11. x的2倍与3的差不大于9，用不等式表示为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列不等式，正确的翻译句子，列出不等式即可．
【详解】解：由题意，可列不等式：；
故答案为：．
12. 一个多边形的每一个内角都等于，这个多边形共有___________条边．
【答案】十二
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，解题的关键根据外角和定理求出多边形的边数．先求出多边形一个外角的度数，然后根据多边形的外角和为，求出边数即可．
【详解】解：多边形的每一个内角都等于，
多边形的每一个外角都等于，
边数．
故答案为：十二．
13. 如果不等式组无解，那么m的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】由不等式组无解可得m与8的大小关系，进而可得答案．
【详解】解：∵不等式组无解，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了已知一元一次不等式组的解集求未知字母的范围，属于常考题型，熟练掌握求解的方法是关键．
14. 某次知识竞赛共有20题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对_____道．
【答案】13
【解析】
【分析】根据小明得分要超过90分，就可以得到不等关系：小明的得分＞90分，设应答对x道，则根据不等关系就可以列出不等式求解．
【详解】设应答对x道，则10x﹣5（20﹣x）＞90
解得x＞12
∴x＝13
故答案为：13
【点睛】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，正确表示出小明的得分是解决本题的关键．
15 如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝______°．
【答案】30
【解析】
【分析】本题实际上是全等三角形的性质以及根据三角形内角和等于180°来求角的度数．
【详解】∵△ABC≌△A1B1C1，
∴∠C1=∠C，
又∵∠C=180°-∠A-∠B=180°-110°-40°=30°，
∴∠C1=∠C=30°．
故答案30．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质；解答时，除必备的知识外，还应将条件和所求联系起来，即将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．
16. 一个等腰三角形两边是6cm、7cm，则这个等腰三角形的周长为____________cm．
【答案】19cm或20
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的定义，分腰长为6和腰长为7两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当6cm为腰长时，等腰三角形的周长为；
当7cm为腰长时，等腰三角形的周长为；
故答案为：19cm或20．
17. 把一批书分给小朋友，每人4本，则余9本；每人6本，则最后一个小朋友得到书且不足3本，这批书有______本．
【答案】
【解析】
【分析】设小朋友的人数为根据“每人分4本，还剩下9本”可知书的总数为本，再根据“若每人分6本，那么最后一个小朋友分得的书少于3本”，列出不等式组，求出解集，再根据为整数，即可得出答案．
【详解】解：设小朋友的人数为人，则书的总数为本，
由题意，有，
解得，
∵为整数，
∴，
当时，（本）．
∴这批书有本．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是根据“若每人分6本，那么最后一个小朋友分得的书少于3本”，列出不等式组，注意为整数．
18. 如图,在△ABC中,∠B=∠C, ∠CDE=∠BAD,∠CAD=70°则∠AED=____° .
【答案】55°
【解析】
【分析】设∠CDE=x，则∠BAD=2x，再由三角形内角和定理得出x+∠B的值，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】设∠CDE=x，则∠BAD=2x，
∵∠B=∠C,∠CAD=70°，
∴∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°,即2x+70°+2∠C=180 ,解得x+∠C=55°.
∵∠AED=∠C+∠CDE，
∴∠AED=x+∠C=55°.
故答案55°.
【点睛】本题考查三角形外角的性质，解题关键在于熟练掌握三角形内角和定理.
三、解答题（19-23每题6分，24-25每题8分，26、27每题10分，共66分）
19. 解方程组
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法和二元一次方程组的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤和代入消元法、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．
（3）运用代入消元法解二元一次方程组；
（4）运用加减消元法解二元一次方程组；
【小问1详解】
，
把①代入②，得，
解得，，
把代入②得，，
方程组的解为；
【小问2详解】
，
①②得，，
把代入①得，，
方程组的解为；
20. 解不等式．
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查求不等式的解集：
（1）去括号，移项，合并同类项，系数化1，解不等式即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解不等式即可．
【小问1详解】
解：，
去括号，得：，
移项，合并得：；
【小问2详解】
，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
21. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
（1）
（2）
【答案】（1），图见解析
（2），图见解析
【解析】
【分析】本题考查求不等式组的解集，并用数轴表示解集：
（1）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，然后在数轴上表示出解集即可；
（2）先求出每一个不等式解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，然后在数轴上表示出解集即可．
【小问1详解】
解：，
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：；
数轴表示如图：
【小问2详解】
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：；
数轴表示如图：
【点睛】
22. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上，请在正方形网格中按要求画图．
（1）请在图1中画出边上的高，垂足为点D；
（2）请在图2中过点A画一条直线，该直线将分割成面积相等的两部分．
（3）直接写出的面积是___________
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）10
【解析】
【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，三角形的面积，三角形的中线和高，解决本题的关键是准确利用网格作图．
（1）根据网格图画出边上的高即可；
（2）根据网格找到的中点E，作直线即可；
（3）根据三角形面积计算公式计算即可．
【小问1详解】
如图，即为所作，
【小问2详解】
如图，直线即为所作，
【小问3详解】
的面积是．
故答案为：10
23. 已知：满足不等式的最小正整数解是关于x的方程的解，求式子的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次方程及求立方根，关键是根据题意求得不等式中的最小整数解．解不等式求得不等式的解集，然后把最小的整数代入方程，解方程，再代入代数式即可求得．
【详解】解：解不等式，得，
所以不等式的最小整数解是2．
把代入方程得，
，
解得．
所以
24. 某物流公司，要将310吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知4辆A型车和2辆B型车可装110吨物资，3辆A型车和4辆B型车可装120吨物资．
（1）A、B两种型号的车每辆可装物资各多少吨
（2）在每辆车不超载的条件下，把310吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆
【答案】（1）每辆型车能装20吨，每辆型车能装15吨；
（2）若确定调用5辆型车，则至少还需调用型车14辆．
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式．
（1）根据4辆A型车和2辆B型车可装110吨物资，3辆A型车和4辆B型车可装120吨物资，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后求出不等式的解集，再根据车辆数为整数，即可得到至少还需调用型车多少辆．
【小问1详解】
设每辆型车能装吨，每辆型车能装吨，
由题意可得：，
解得，
答：每辆型车能装20吨，每辆型车能装15吨；
【小问2详解】
设需要调用型车辆，
由题意可得：，
解得，
又为整数，
的最小值为14，
答：若确定调用5辆型车，则至少还需调用型车14辆．
25. 请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程：
因为|x|＜3，从如图1所示的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集是-3＜x＜3；
因为|x|＞3，从如图2所示的数轴上看：小大于-3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集是x＜-3或x＞3．
解答下面的问题：
（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为______；不等式|x|＞a（a＞0）的解集为______．
（2）解不等式|x-5|＜3；
（3）解不等式|x-3|＞5．
【答案】（1）-a＜x＜a；x＞a或x＜-a；（2）2＜x＜8；（3）x＞8或x＜-2．
【解析】
【分析】(1)根据题中所给出的例子进行解答即可；
(2)根据题中所给的实例列出关于x的不等式组,求出其解集即可；
(3)根据题中所给的实例列出关于x的不等式组,求出其解集即可．
【详解】解： (1)不等式|x|＜a(a＞0)的解集为－a＜x＜a；
不等式|x|＞a(a＞0)的解集为x＞a或x＜－a；
(2)|x－5|＜3，
由(1)可知－3＜x－5＜3，
∴2＜x＜8；
(3)|x－3|＞5，
由(1)可知x－3＞5或x－3＜－5，
∴x＞8或x＜－2.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意利用数形结合求一元一次不等式的解集是解答此题的关键．
26. 一副三角板直角顶点重合于点，，，．
（1）如图（1），若，求证：；
（2）如图（2），若,,则 度；
（3）如图（3），在（1）的条件下，与相交于点，连接，，若，，，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）165；（3）24
【解析】
【分析】（1）如图（1），证明∠E=∠ABE=30°，可得结论；
（2）如图（2），根据三角形的外角的性质可得∠AFE=∠A+∠ABE=α①，∠BGD=∠E+∠CBF=β②，①+②可得结论；
（3）如图（3），先根据三角形面积公式得：CG=BG，计算CG=2，BG=8，最后由三角形面积公式可得结论．
【详解】解：（1）证明：如图（1），∵∠AFE=75°，∠A=45°，
∴∠ABE=75°-45°=30°，
∵∠E=30°，
∴∠E=∠ABE，
∴AB∥DE；
（2）如图（2），△ABF中，∠AFE=∠A+∠ABE=α①，
△BGE中，∠BGD=∠E+∠CBF=β②，
①+②得：α+β=∠A+∠E+∠CBF+∠ABE=45°+30°+90°=165°；
故答案为：165；
（3）解：∵DE∥AB，
∴∠CGH=∠ABC=90°，
∵S△CEH=S△BEH，
∴EH CG＝EH BG ，
∴CG=BG，
∵BC=10，
∴CG=2，BG=8，
∵DG=2CG=2GH，
∴DG=4，GH=2，
∴△BDH的面积=×DH×BG=×(2+4)×8=24．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角板的知识，平行线的判定与性质，难度适中，第三问根据三角形的面积确定CG=BG是关键．
27. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，其中m、n是二元一次方程组的解，且．
（1）求A、C两点坐标；
（2）动点P从点C出发以2个单位长度/秒的速度沿向终点B运动，连接，点D是线段的中点，连接，设点P的运动时间为t秒，的面积为，求S与t之间的关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当时，求点P的坐标；此时若在边上存在一点Q，连接，使，试判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）12 （2）
（3）．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查三角形综合题、三角形的面积、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）解方程组求出，，得到、、 的长，根据三角形的面积公式计算即可；点是线段上的一个动点，连接，点是线段的中点，连接，若点的横坐标为，设的面积为，求与之间的关系式，并直接写出的取值范围；
（2）利用三角形的面积公式求出的面积，根据三角形的中线的性质求出与之间的关系式；
（3）根据已知条件得到，求得，于是得到，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解方程组，
解得，
则的三个顶点的坐标为，，，
，，
，
的面积；
【小问2详解】
如图，
，
，
的面积，
点是线段的中点，
的面积为的面积，
则；
【小问3详解】
如图2中，结论：．理由如下：
，
，
，
，
，，
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