黑龙江省哈尔滨市第一六三中学2023-2024七年级下学期期中数学试题(原卷版+解析版)

哈163中学2023-2024学年度(下)期中学情质量监测
七年级数学学科(满分:120分时间:120分钟)
出题人:WD 审题人:初二数学组
一、选择题(每小题3分,共24分)
1. 下列方程组中,是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
2. 已知,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
3. 下列四个图形中,线段是的高的是( )
A. B.
C.
D.
4. 在数轴上表示不等式的解集,正确的是( )
A. B. C. D.
5. 如图,已知D为边延长线上一点,于F交于E,,则的度数为()
A. B. C. D.
6. 如图所示,若,且,则的长为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 2.5
7. 买钢笔和铅笔共30支,其中钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支.若设买钢笔x支,铅笔y支,根据题意,可列方程组为( )
A. B. C. D.
8. 给出下列命题:①三角形的一个外角等于两个内角和;②若,则是直角三角形;③三角形的角平分线是射线;④三角形的高所在的直线交于一点,这一点不在三角形内就在三角形外.正确的命题有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题(每小题3分,共30分)
9. 由方程可得到用x表示y的式子是_________.
10. 若一扇窗户打开后,用窗钩将其固定,主要运用的几何原理是_________.
11. x2倍与3的差不大于9,用不等式表示为_________.
12. 一个多边形每一个内角都等于,这个多边形共有___________条边.
13. 如果不等式组无解,那么m的取值范围是____.
14. 某次知识竞赛共有20题,每一题答对得10分,答错或不答都扣5分,小明得分要超过90分,他至少答对_____道.
15. 如图,若△ABC≌△A1B1C1,且∠A=110°,∠B=40°,则∠C1=______°.
16. 一个等腰三角形两边是6cm、7cm,则这个等腰三角形的周长为____________cm.
17. 把一批书分给小朋友,每人4本,则余9本;每人6本,则最后一个小朋友得到书且不足3本,这批书有______本.
18. 如图,在△ABC中,∠B=∠C, ∠CDE=∠BAD,∠CAD=70°则∠AED=____° .
三、解答题(19-23每题6分,24-25每题8分,26、27每题10分,共66分)
19. 解方程组
(1)
(2)
20. 解不等式.
(1)
(2)
21. 解不等式组,并把它的解集表示在数轴上.
(1)
(2)
22. 如图,正方形网格中每个小正方形边长都是1,小正方形的顶点称为格点,的三个顶点都在格点上,请在正方形网格中按要求画图.
(1)请在图1中画出边上的高,垂足为点D;
(2)请在图2中过点A画一条直线,该直线将分割成面积相等的两部分.
(3)直接写出面积是___________
23. 已知:满足不等式的最小正整数解是关于x的方程的解,求式子的值.
24. 某物流公司,要将310吨物资运往某地,现有A、B两种型号的车可供调用,已知4辆A型车和2辆B型车可装110吨物资,3辆A型车和4辆B型车可装120吨物资.
(1)A、B两种型号的车每辆可装物资各多少吨
(2)在每辆车不超载条件下,把310吨物资装运完,问:在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆
25. 请阅读求绝对值不等式|x|<3和|x|>3的解集的过程:
因为|x|<3,从如图1所示的数轴上看:大于-3而小于3的数的绝对值是小于3的,所以|x|<3的解集是-3<x<3;
因为|x|>3,从如图2所示的数轴上看:小大于-3的数和大于3的数的绝对值是大于3的,所以|x|>3的解集是x<-3或x>3.
解答下面的问题:
(1)不等式|x|<a(a>0)的解集为______;不等式|x|>a(a>0)的解集为______.
(2)解不等式|x-5|<3;
(3)解不等式|x-3|>5.
26. 一副三角板直角顶点重合于点,,,.
(1)如图(1),若,求证:;
(2)如图(2),若,,则 度;
(3)如图(3),在(1)的条件下,与相交于点,连接,,若,,,求的面积.
27. 如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标为,,,其中m、n是二元一次方程组的解,且.
(1)求A、C两点坐标;
(2)动点P从点C出发以2个单位长度/秒的速度沿向终点B运动,连接,点D是线段的中点,连接,设点P的运动时间为t秒,的面积为,求S与t之间的关系式,并直接写出t的取值范围;
(3)在(2)条件下,当时,求点P的坐标;此时若在边上存在一点Q,连接,使,试判断与的数量关系,并说明理由.哈163中学2023-2024学年度(下)期中学情质量监测
七年级数学学科(满分:120分时间:120分钟)
出题人:WD 审题人:初二数学组
一、选择题(每小题3分,共24分)
1. 下列方程组中,是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二元一次方程组的定义,含有两个未知数,且含有的未知数的项的次数为,逐一进行判断即可.
【详解】解:、方程组中含有两个未知数,的次数为,不符合题意;
、方程组中含有三个未知数,不符合题意;
、方程组中含有两个未知数,每个未知数的次数为,符合题意;
、方程组中含有两个未知数,中未知数的次数为,不符合题意.
故选:.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义,熟练掌握含有两个未知数,且含有的未知数的项的次数为的方程是解题的关键.
2. 已知,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可.
【详解】解:A、 ∵, ∴,不一定有,不符合题意;
B、∵,∴,不符合题意;
C、∵,∴ ,不符合题意;
D、∵,∴,符合题意;
故选D.
【点睛】本题主要考查了不等式的性质,熟知不等式的性质是解题的关键:①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式,不等号的方向不变;②不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;③不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
3. 下列四个图形中,线段是的高的是( )
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的高,三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线,连接顶点与垂足之间的线段.根据三角形高的画法知,过点作边上的高,垂足为,其中线段是的高,再结合图形进行判断.
【详解】解:线段是的高的图是;
故选:C.
4. 在数轴上表示不等式的解集,正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答.
【详解】解:不等式中包含等于号,
必须用实心圆点,
可排除A、B,
不等式中是大于等于,
折线应向右折,
可排除D.
故选:C.
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式解集的方法,即“”空心圆点向右画折线,“”实心圆点向右画折线,“”空心圆点向左画折线,“”实心圆点向左画折线.
5. 如图,已知D为边延长线上一点,于F交于E,,则的度数为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理,熟记三角形内角和为是解题关键.由垂直可得,从而可求得,由对顶角相等得,即可求的度数.
【详解】
故选:C.
6. 如图所示,若,且,则的长为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 2.5
【答案】A
【解析】
【分析】已知,根据全等三角形的对应边相等,可得,即可得到的长.
【详解】解:,,



故选:A
【点睛】本题考查了全等三角形的性质的应用,解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应边相等,对应角相等.
7. 买钢笔和铅笔共30支,其中钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支.若设买钢笔x支,铅笔y支,根据题意,可列方程组为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设买钢笔x支,铅笔y支,根据:钢笔和铅笔共30支,其中钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支;即可列出方程组.
【详解】解:设买钢笔x支,铅笔y支,根据题意,可列方程组为;
故选:D.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,正确理解题意、找准相等关系是解题的关键.
8. 给出下列命题:①三角形的一个外角等于两个内角和;②若,则是直角三角形;③三角形的角平分线是射线;④三角形的高所在的直线交于一点,这一点不在三角形内就在三角形外.正确的命题有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质、三角形内角和和直角三角形的定义、三角形角平分线的定义、直角三角形的高的交点在直角顶点处对各项进行判断即可.
【详解】①三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和,故命题①错误,不符合题意;
②若,则是直角三角形,故命题②正确,符合题意;
③三角形的角平分线是线段,故命题③错误,不符合题意;
④三角形的高所在的直线交于一点,这一点在三角形内或三角形外或在三角形一个顶点处,故命题④错误,不符合题意;
故正确的命题有1个.
故答案为:A.
【点睛】本题考查了三角形的相关概念,掌握三角形外角的性质、三角形内角和和直角三角形的定义、三角形角平分线的定义、直角三角形的高的交点在直角顶点处是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共30分)
9. 由方程可得到用x表示y的式子是_________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查等式的性质,熟练掌握等式的性质对方程进行变形是解题的关键.根据等式的性质,通过移项得.
【详解】解:
移项,得.
故答案为.
10. 若一扇窗户打开后,用窗钩将其固定,主要运用的几何原理是_________.
【答案】三角形的稳定性
【解析】
【详解】解:一扇窗户打开后,用窗钩可将其固定,这里所运用的几何原理是三角形的稳定性.
故答案为:三角形的稳定性.
11. x的2倍与3的差不大于9,用不等式表示为_________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列不等式,正确的翻译句子,列出不等式即可.
【详解】解:由题意,可列不等式:;
故答案为:.
12. 一个多边形的每一个内角都等于,这个多边形共有___________条边.
【答案】十二
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系,解题的关键根据外角和定理求出多边形的边数.先求出多边形一个外角的度数,然后根据多边形的外角和为,求出边数即可.
【详解】解:多边形的每一个内角都等于,
多边形的每一个外角都等于,
边数.
故答案为:十二.
13. 如果不等式组无解,那么m的取值范围是____.
【答案】
【解析】
【分析】由不等式组无解可得m与8的大小关系,进而可得答案.
【详解】解:∵不等式组无解,
∴.
故答案为:.
【点睛】本题考查了已知一元一次不等式组的解集求未知字母的范围,属于常考题型,熟练掌握求解的方法是关键.
14. 某次知识竞赛共有20题,每一题答对得10分,答错或不答都扣5分,小明得分要超过90分,他至少答对_____道.
【答案】13
【解析】
【分析】根据小明得分要超过90分,就可以得到不等关系:小明的得分>90分,设应答对x道,则根据不等关系就可以列出不等式求解.
【详解】设应答对x道,则10x﹣5(20﹣x)>90
解得x>12
∴x=13
故答案为:13
【点睛】解决本题的关键是读懂题意,找到符合题意的不等关系式,正确表示出小明的得分是解决本题的关键.
15 如图,若△ABC≌△A1B1C1,且∠A=110°,∠B=40°,则∠C1=______°.
【答案】30
【解析】
【分析】本题实际上是全等三角形的性质以及根据三角形内角和等于180°来求角的度数.
【详解】∵△ABC≌△A1B1C1,
∴∠C1=∠C,
又∵∠C=180°-∠A-∠B=180°-110°-40°=30°,
∴∠C1=∠C=30°.
故答案30.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质;解答时,除必备的知识外,还应将条件和所求联系起来,即将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来.
16. 一个等腰三角形两边是6cm、7cm,则这个等腰三角形的周长为____________cm.
【答案】19cm或20
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的定义,分腰长为6和腰长为7两种情况进行讨论求解即可.
【详解】解:当6cm为腰长时,等腰三角形的周长为;
当7cm为腰长时,等腰三角形的周长为;
故答案为:19cm或20.
17. 把一批书分给小朋友,每人4本,则余9本;每人6本,则最后一个小朋友得到书且不足3本,这批书有______本.
【答案】
【解析】
【分析】设小朋友的人数为根据“每人分4本,还剩下9本”可知书的总数为本,再根据“若每人分6本,那么最后一个小朋友分得的书少于3本”,列出不等式组,求出解集,再根据为整数,即可得出答案.
【详解】解:设小朋友的人数为人,则书的总数为本,
由题意,有,
解得,
∵为整数,
∴,
当时,(本).
∴这批书有本.
故答案为:.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用,关键是根据“若每人分6本,那么最后一个小朋友分得的书少于3本”,列出不等式组,注意为整数.
18. 如图,在△ABC中,∠B=∠C, ∠CDE=∠BAD,∠CAD=70°则∠AED=____° .
【答案】55°
【解析】
【分析】设∠CDE=x,则∠BAD=2x,再由三角形内角和定理得出x+∠B的值,根据三角形外角的性质即可得出结论.
【详解】设∠CDE=x,则∠BAD=2x,
∵∠B=∠C,∠CAD=70°,
∴∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°,即2x+70°+2∠C=180 ,解得x+∠C=55°.
∵∠AED=∠C+∠CDE,
∴∠AED=x+∠C=55°.
故答案55°.
【点睛】本题考查三角形外角的性质,解题关键在于熟练掌握三角形内角和定理.
三、解答题(19-23每题6分,24-25每题8分,26、27每题10分,共66分)
19. 解方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法和二元一次方程组的解法,掌握解一元一次方程的一般步骤和代入消元法、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键.
(3)运用代入消元法解二元一次方程组;
(4)运用加减消元法解二元一次方程组;
【小问1详解】

把①代入②,得,
解得,,
把代入②得,,
方程组的解为;
【小问2详解】

①②得,,
把代入①得,,
方程组的解为;
20. 解不等式.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题考查求不等式的解集:
(1)去括号,移项,合并同类项,系数化1,解不等式即可;
(2)去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化1,解不等式即可.
【小问1详解】
解:,
去括号,得:,
移项,合并得:;
【小问2详解】

去分母,得:,
去括号,得:,
移项,合并,得:,
系数化1,得:.
21. 解不等式组,并把它的解集表示在数轴上.
(1)
(2)
【答案】(1),图见解析
(2),图见解析
【解析】
【分析】本题考查求不等式组的解集,并用数轴表示解集:
(1)先求出每一个不等式的解集,找到它们的公共部分,即为不等式组的解集,然后在数轴上表示出解集即可;
(2)先求出每一个不等式解集,找到它们的公共部分,即为不等式组的解集,然后在数轴上表示出解集即可.
【小问1详解】
解:,
由①,得:;
由②,得:;
∴不等式组的解集为:;
数轴表示如图:
【小问2详解】
由①,得:;
由②,得:;
∴不等式组的解集为:;
数轴表示如图:
【点睛】
22. 如图,正方形网格中每个小正方形边长都是1,小正方形的顶点称为格点,的三个顶点都在格点上,请在正方形网格中按要求画图.
(1)请在图1中画出边上的高,垂足为点D;
(2)请在图2中过点A画一条直线,该直线将分割成面积相等的两部分.
(3)直接写出的面积是___________
【答案】(1)见解析 (2)见解析
(3)10
【解析】
【分析】本题考查了作图-应用与设计作图,三角形的面积,三角形的中线和高,解决本题的关键是准确利用网格作图.
(1)根据网格图画出边上的高即可;
(2)根据网格找到的中点E,作直线即可;
(3)根据三角形面积计算公式计算即可.
【小问1详解】
如图,即为所作,
【小问2详解】
如图,直线即为所作,
【小问3详解】
的面积是.
故答案为:10
23. 已知:满足不等式的最小正整数解是关于x的方程的解,求式子的值.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解,解一元一次方程及求立方根,关键是根据题意求得不等式中的最小整数解.解不等式求得不等式的解集,然后把最小的整数代入方程,解方程,再代入代数式即可求得.
【详解】解:解不等式,得,
所以不等式的最小整数解是2.
把代入方程得,

解得.
所以
24. 某物流公司,要将310吨物资运往某地,现有A、B两种型号的车可供调用,已知4辆A型车和2辆B型车可装110吨物资,3辆A型车和4辆B型车可装120吨物资.
(1)A、B两种型号的车每辆可装物资各多少吨
(2)在每辆车不超载的条件下,把310吨物资装运完,问:在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆
【答案】(1)每辆型车能装20吨,每辆型车能装15吨;
(2)若确定调用5辆型车,则至少还需调用型车14辆.
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程组和不等式.
(1)根据4辆A型车和2辆B型车可装110吨物资,3辆A型车和4辆B型车可装120吨物资,可以列出相应的方程组,然后求解即可;
(2)根据题意和(1)中的结果,可以列出相应的不等式,然后求出不等式的解集,再根据车辆数为整数,即可得到至少还需调用型车多少辆.
【小问1详解】
设每辆型车能装吨,每辆型车能装吨,
由题意可得:,
解得,
答:每辆型车能装20吨,每辆型车能装15吨;
【小问2详解】
设需要调用型车辆,
由题意可得:,
解得,
又为整数,
的最小值为14,
答:若确定调用5辆型车,则至少还需调用型车14辆.
25. 请阅读求绝对值不等式|x|<3和|x|>3的解集的过程:
因为|x|<3,从如图1所示的数轴上看:大于-3而小于3的数的绝对值是小于3的,所以|x|<3的解集是-3<x<3;
因为|x|>3,从如图2所示的数轴上看:小大于-3的数和大于3的数的绝对值是大于3的,所以|x|>3的解集是x<-3或x>3.
解答下面的问题:
(1)不等式|x|<a(a>0)的解集为______;不等式|x|>a(a>0)的解集为______.
(2)解不等式|x-5|<3;
(3)解不等式|x-3|>5.
【答案】(1)-a<x<a;x>a或x<-a;(2)2<x<8;(3)x>8或x<-2.
【解析】
【分析】(1)根据题中所给出的例子进行解答即可;
(2)根据题中所给的实例列出关于x的不等式组,求出其解集即可;
(3)根据题中所给的实例列出关于x的不等式组,求出其解集即可.
【详解】解: (1)不等式|x|<a(a>0)的解集为-a<x<a;
不等式|x|>a(a>0)的解集为x>a或x<-a; 
(2)|x-5|<3,
由(1)可知-3<x-5<3,
∴2<x<8; 
(3)|x-3|>5,
由(1)可知x-3>5或x-3<-5,
∴x>8或x<-2.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式,根据题意利用数形结合求一元一次不等式的解集是解答此题的关键.
26. 一副三角板直角顶点重合于点,,,.
(1)如图(1),若,求证:;
(2)如图(2),若,,则 度;
(3)如图(3),在(1)的条件下,与相交于点,连接,,若,,,求的面积.
【答案】(1)见解析;(2)165;(3)24
【解析】
【分析】(1)如图(1),证明∠E=∠ABE=30°,可得结论;
(2)如图(2),根据三角形的外角的性质可得∠AFE=∠A+∠ABE=α①,∠BGD=∠E+∠CBF=β②,①+②可得结论;
(3)如图(3),先根据三角形面积公式得:CG=BG,计算CG=2,BG=8,最后由三角形面积公式可得结论.
【详解】解:(1)证明:如图(1),∵∠AFE=75°,∠A=45°,
∴∠ABE=75°-45°=30°,
∵∠E=30°,
∴∠E=∠ABE,
∴AB∥DE;
(2)如图(2),△ABF中,∠AFE=∠A+∠ABE=α①,
△BGE中,∠BGD=∠E+∠CBF=β②,
①+②得:α+β=∠A+∠E+∠CBF+∠ABE=45°+30°+90°=165°;
故答案为:165;
(3)解:∵DE∥AB,
∴∠CGH=∠ABC=90°,
∵S△CEH=S△BEH,
∴EH CG=EH BG ,
∴CG=BG,
∵BC=10,
∴CG=2,BG=8,
∵DG=2CG=2GH,
∴DG=4,GH=2,
∴△BDH的面积=×DH×BG=×(2+4)×8=24.
【点睛】本题考查了直角三角形的性质,三角板的知识,平行线的判定与性质,难度适中,第三问根据三角形的面积确定CG=BG是关键.
27. 如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标为,,,其中m、n是二元一次方程组的解,且.
(1)求A、C两点坐标;
(2)动点P从点C出发以2个单位长度/秒的速度沿向终点B运动,连接,点D是线段的中点,连接,设点P的运动时间为t秒,的面积为,求S与t之间的关系式,并直接写出t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当时,求点P的坐标;此时若在边上存在一点Q,连接,使,试判断与的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)12 (2)
(3).理由见解析
【解析】
【分析】本题考查三角形综合题、三角形的面积、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
(1)解方程组求出,,得到、、 的长,根据三角形的面积公式计算即可;点是线段上的一个动点,连接,点是线段的中点,连接,若点的横坐标为,设的面积为,求与之间的关系式,并直接写出的取值范围;
(2)利用三角形的面积公式求出的面积,根据三角形的中线的性质求出与之间的关系式;
(3)根据已知条件得到,求得,于是得到,根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论.
【小问1详解】
解方程组,
解得,
则的三个顶点的坐标为,,,
,,

的面积;
【小问2详解】
如图,


的面积,
点是线段的中点,
的面积为的面积,
则;
【小问3详解】
如图2中,结论:.理由如下:




,,



,,


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