2023-2024学年广东省深圳市明德实验学校（集团）八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 笛卡尔爱心曲线 B. 蝴蝶曲线
C. 费马螺线曲线 D. 科赫曲线
2.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
3.下列叙述正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.如图，已知，的坐标分别为，，将沿轴正方向平移，使平移到点，得到，若，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
5.小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线”他这样做的依据是( )
A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形的三条高交于一点
D. 三角形三边的垂直平分线交于一点
6.已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
7.下列命题中，是真命题的是( )
A. 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行
B. 三角形的三条角平分线的交点到三角形三边距离相等
C. 三角形的高线将三角形分成面积相等的两部分
D. 点到线段两个端点的距离相等，则过点的直线是线段的垂直平分线
8.在中，，尺规作图的痕迹如图所示若，，则线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
9.若关于的不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.如图，中，，垂直的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若分式有意义，则的取值范围是______．
12.等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长是______．
13.如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是______．
14.如图，已知等边的边长为，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，则的最小值是______．
15.如图，在中，，点在上，点在上，连接、、，若，，则的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.化简式子，并在，，，，中选取一个合适的数作为的值代入求值．
四、解答题：本题共6小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
因式分解：；
解分式方程：．
18.本小题分
解不等式组并求出它的整数解．
19.本小题分
如图在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
将先向右平移个单位再向下平移个单位得到图形，画出图形，并直接写出的坐标______；
画出绕点按顺时针旋转后的图形，并计算出在旋转过程中，点运动到的运动轨迹长度______；
若可以看作是由绕某点旋转得到的，则旋转中心的坐标为______．
20.本小题分
某企业购买了一批、型国产芯片，其中型芯片的单价比型芯片的单价少元，已知该企业用元购买型芯片的数量与用元购买型芯片的数量相等．
求该企业购买的、型芯片的单价各是多少元？
若两种芯片共购买了枚，且购买型芯片的数量不超过型芯片数量的，不小于型芯片数量的，求如何购买，才能使购买总费用最低？最低费用是多少元？
21.本小题分
阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
因式分解：；
已知，，求的值；
的三边，，满足，判断的形状并说明理由．
22.本小题分
在等腰直角中，，，将直角边绕点顺时针旋转得到，旋转角为，连接，．
如图，当时，求的长；
如图，若，且为中点，连接，猜想和的数量关系，并说明理由；
在旋转过程中，当时，求旋转角的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2.【答案】
【解析】解：、不是几个整式的积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；
B、不是几个整式的积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；
C、等式右边是几个整式的积的形式，故是因式分解，故本选项正确；
D、等式右边是分式的积的形式，故不是因式分解，故本选项错误．
故选：．
根据因式分解的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查了分解因式的定义．解题的关键是掌握分解因式的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
3.【答案】
【解析】解：若，当时，，故本选项不符合题意；
B.若，则，故本选项不符合题意；
C.若，则，故本选项符合题意；
D.若，则，故本选项不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质判断即可．
此题主要考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
将沿轴正方向平移个单位得到，
点是将向右平移个单位得到的，
点是的坐标是，即．
故选：．
由可得，进而得到，即将沿轴正方向平移个单位得到，然后将向右平移个单位得到，最后根据平移法则即可解答．
本题主要考查了坐标与图形变换平移，根据题意得到将沿轴正方向平移个单位得到是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知，点到射线的距离是直尺的宽度，点到射线的距离也是直尺的宽度，
点到射线，的距离相等，
点在的平分线上在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
故选：．
由题意可知，点到射线，的距离相等，则点在的平分线上，即可得出答案．
本题考查角平分线的性质，理解题意，掌握角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，得：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
在数轴上表示为：，
该不等式组的解集为：
故选：．
根据点在坐标系中位置得关于的不等式组，解不等式组求得的范围，即可判断．
本题考查的是解一元一次不等式组，根据题意准确列出不等式组，求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行或在一条直线上，故A是假命题，不符合题意；
B、三角形三个内角的平分线相交于一点，这个点到三角形三边的距离相等，故B是真命题，符合题意；
C、三角形的高线将三角形分成的两部分面积不一一定相等，故C是假命题，不符合题意；
D、点到线段的两端点距离相等，过点的直线不一定是线段的垂直平分线，故D是假命题，不符合题意；
故选：．
根据等图形的平移、三角形面积公式、垂直平分线定义逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握等边三角形判定、三角形内心定义、三角形面积公式、垂直平分线定义等知识．
8.【答案】
【解析】解：由作法得：平分，，
，即，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
即．
故选：．
由作法得：平分，，根据角平分线的性质定理可得，可证明，从而得到，，再由勾股定理求出的长，设，则，在中，利用勾股定理求出，即可求解．
本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为：，
不等式组恰有两个整数解，
，
解得：．
故选：．
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：延长交延长线于点设交于点．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
当时，的面积最大，最大面积为，
图中两个阴影部分面积之差的最大值为．
故选：．
首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大．
本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】
【解析】解：由题可知，
，
解得．
故答案为：．
根据分母不为零的条件进行解题即可．
本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：等腰三角形的两边分别是和，
应分为两种情况：为底，为腰，则；不可以构成三角形；
为底，为腰，则；
它的周长是．
故答案为：．
本题应分为两种情况：为底，为腰，为底，为腰，可求三角形的周长．注意还要考虑三角形的三边关系．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：函数与的图象相交于点，
关于的不等式的解集是：．
故答案为：．
利用函数图象得出不等式的解集．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是结合图形得出答案．
14.【答案】
【解析】解：由等边的边长为，绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，
得为定角，
故当时取最小值．
故答案为：．
由等边的边长为，绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，得为定角，故当时取最小值．
本题主要考查了图形的旋转，解题关键是应用旋转的性质．
15.【答案】
【解析】解：如图所示，过作于，过作于，则，
又，
，，
，
，
，即，
又，
≌，
，
，，
，
，
在中，，
故答案为：．
过作于，过作于，通过判定≌，即可得到，再根据等腰直角三角形的性质，用勾股定理进行计算即可得到的长．
本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
16.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从，，，，中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
17.【答案】解：
；
，
方程两边都乘以，得，
解得，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解为．
【解析】根据提公因式法和平方差公式因式分解即可；
先去分母将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可．
本题考查了因式分解以及解分式方程．熟练掌握相关定义与解分式方程的基本步骤是解题的关键．
18.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为，
解不等式组的整数解为、、．
【解析】先解出每个不等式的解集，然后即可求出该不等式组的解集，从而可以得到该不等式组的正整数解．
本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
19.【答案】
【解析】解：如图，即为所求．
点的坐标为．
故答案为：．
如图，即为所求．
由勾股定理得，，
在旋转过程中，点运动到的运动轨迹长度为
故答案为：；
如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点，
则可以看作是由绕点逆时针旋转得到的，
点的坐标为．
旋转中心的坐标为．
故答案为：．
根据平移的性质作图，即可得出答案；
根据旋转的性质作图，利用勾股定理求出的长，再根据弧长公式计算即可．；
连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点，则点即为旋转中心，即可得出答案．
本题考查作图旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：设该企业购买的型芯片的单价为元，则型芯片的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
．
答：该企业购买的型芯片的单价为元，型芯片的单价为元．
设购买枚型芯片，则购买枚型芯片，
依题意得：，
解得：，
设总费用为元，
则，
，
随的增大而减小，
当时，的最小值元，
此时．
答：当购买型芯片枚，型芯片枚时，总费用最低，最低为元．
【解析】设该企业购买的型芯片的单价为元，则型芯片的单价为元，由题意：该企业用元购买型芯片的数量与用元购买型芯片的数量相等．列出分式方程，解方程即可；
设购买枚型芯片，则购买枚型芯片，由题意：购买型芯片的数量不超过型芯片数量的，不小于型芯片数量的，列出一元一次不等式，求出，再设总费用为元，则，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】解：
．
将，，代入．
是等腰三角形，理由如下：
，即，
，
且，
，
是等边三角形．
【解析】将前两项组合和后两项组合提取公因式，再提取公因式即可．
将前两项组合利用公式法分解因式，将后两项组合提取公因式，再利用提公因式法分解因式，再将其值代入即可．
由整理得，进而可得或，由此可判断．
本题考查了分组分解法分解因式及等腰三角形的判定，熟练掌握分组分解法分解因式是解题的关键．
22.【答案】解：时，点落在上，
在等腰直角中，，
，
．
如图，延长到点，使得，连接，
，，
≌，
，，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
．
分两种情况：当点在内部，如图，过点作，交于点，过点作，垂足为，
，
，
在中，，
，
由知，
，
又，
≌，
，
又，
在中，，
；
当点在外部，如图，延长，交于点，过点作，垂足为点，
，
，，
，，，
≌，
，
又，
，
，
，
，
即，
综上，或．
【解析】点落在上，解等腰直角，，所以．
如图，延长到点，使得，连接，可证≌，于是，，结合三角形内和定理，可求证，于是≌，得，所以；
分两种情况：当点在内部，如图，过点作，交于点，过点作，垂足为，求证，于是≌，所以，在中，，于是；当点在外部，如图，延长，交于点，过点作，垂足为点，求证≌，于是，进一步证得，，而，所以，即．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，注意动态问题的分类讨论，添加辅助线构造全等三角形，寻求线段之间的关系是解题的关键．
第1页，共1页
