24.3三角形一边的平行线
一、选择题．
1．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中，不能判定DE∥AC的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AC＝8，AE＝6，AB＝12，则BD等于（ ）
A．3 B．9 C．6 D．8
4．三角形的重心是（ ）
A．三角形三边的高所在直线的交点
B．三角形的三条中线的交点
C．三角形的三条内角平分线的交点
D．三角形三边中垂线的交点
5．如图，AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么下列结论正确的是（ ）
A．DF B．EF C．CD D．BF
6．如图，已知△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝4，点G是△ABC的重心．将△ABC平移，使得顶点A与点G重合．那么平移后的三角形与原三角形重叠部分的周长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4.5
7．如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（ ）
A． B． C． D．
10．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，已知AC∥EF∥BD．如果AE：EB＝2：3，CF＝6．那么CD的长等于 ．
12．如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，那么BF的长是 ．
13．如果点G是△ABC的重心，且AG＝6，那么BC边上的中线长为 ．
14．在△ABC中，点G是重心，∠BGC＝90°，BC＝8，那么AG的长为 ．
15．直角三角形的重心到斜边中点的距离为2，那么该直角三角形的斜边长为 ．
16．如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝4，AC＝6，DF＝10，则DE＝ ．
17．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为 ．
18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC．点E、F、G在边AB上，点H、I、J在边CD上，且AE＝EF＝FG＝GB，DH＝HI＝IJ＝JC．如果AD＝2，GJ＝5，那么BC＝ ．
三、解答题
19．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB＝6，BC＝8．
（1）求的值；
（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．
20．已知，如图l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝5，DF＝16，求DE和EF的长．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
（1）求线段DE的长；
（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．
22．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；
（2）求AB的长．
23．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；
（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．
24．如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；
（2）当AB时，求证：DE∥BC．
答案
一、选择题．
1．
【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【解析】A、∵，不能判定DE∥AC，选项符合题意；
B、∵，∴DE∥AC，选项不符合题意；
C、∵，∴，∴DE∥AC，选项不符合题意；
D、∵，∴，∴DE∥AC，选项不符合题意；
故选：A．
2．
【分析】若使DE∥BC，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥BC．
【解析】如图，若使线段DE∥BC，则其对应边必成比例，
即，，，
故B选项答案错误；
故选：B．
3．
【分析】利用平行线分线段成比例得到，则可根据比例的性质求出AD，然后计算AB﹣AD即可．
【解析】∵DE∥BC，
∴，即，解得AD＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣9＝3．
故选：A．
4．
【分析】根据重心是三角形三边中线的交点，三角形三条高的交点是垂心，三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，等知识点作出判断．
【解析】∵三角形的重心是三角形三条边中线的交点，
∴选项B正确．
故选：B．
5．
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【解析】∵AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，
∴，
即，
解得：DF，
∴BF＝BD+DF，
故选：D．
6．
【分析】先根据平移和平行线的性质得到∠GMN＝∠B，∠GNM＝∠C，则可判断△GMN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到，接着利用三角形重心性质得AG＝2GD，然后根据三角形周长定义计算即可．
【解析】∵将△ABC平移得到△GEF，
∴GE∥AB，GF∥AC，
∴∠GMN＝∠B，∠GNM＝∠C，
∴△GMN∽△ABC，
∴，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG＝2GD，
∴，
∴△GMN的周长（2+3+4）＝3．
故选：B．
7．
【分析】过G作GM∥CD，交AB于M，根据平行线分线段成比例定理得出M为BD的中点，D为AM的中点，根据三角形的中位线性质得出，，求出CD＝2MG，MG＝2DE，求出CD＝4DE，即可求出答案．
【解析】过G作GM∥CD，交AB于M，
∵G是BC中点，E是AG中点，
∴M为BD的中点，D为AM的中点，
∴，，
∴CD＝2MG，MG＝2DE，
∴CD＝4DE，
∴CE＝4DE﹣DE＝3DE，
∴3，
故选：B．
8．
【分析】由平行线分线段成比例可以得到，则根据等量代换可以推知，进而得出EF∥CD．
【解析】∵DE∥BC，
∴，
∴当时，，
∴EF∥CD，故C选项符合题意；
而A，B，D选项不能得出EF∥CD，
故选：C．
9．
【分析】延长AG交BC于D，如图，利用三角形重心的性质得到CD＝BD＝4，AG＝2GD，再证明GE∥CD，则可判断△AEG∽△ACD，然后利用相似比可求出EG的长．
【解析】延长AG交BC于D，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴CD＝BDBC＝4，AG＝2GD，
∵GE⊥AC，
∴∠AEG＝90°，
而∠C＝90°，
∴GE∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴，
∴EGCD4．
故选：C．
10．
【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【解析】当，
则DE∥BC，故选项A不符合题意；
当，
则DE∥BC，故选项B符合题意；
当，
则DE∥BC，故选项C不符合题意；
由于，DE∥BC不一定成立，选项D不符合题意．
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，这样可求出FD的长，然后计算CF+FD即可．
【解析】∵AC∥EF∥BD，
∴，
∴FDCF6＝9，
∴CD＝CF+FD＝6+9＝15．
故答案为15．
12．
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解析】∵AB∥CD∥EF，AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，
∴，
即，
解得：BF，
故答案为：．
13．
【分析】延长AG交BC于D，如图，利用三角形重心的性质得DGAG＝3，AD为BC边上的中线，然后AG+DG即可．
【解析】延长AG交BC于D，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴DGAG6＝3，AD为BC边上的中线，
∵AD＝AG+DG＝6+3＝9，
∴BC边上的中线长为9．
故答案为9．
14．
【分析】根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 进而可得AG的长．
【解析】如图所示：
∵点G是△ABC重心，
∴点D是BC的中点，AG：DG＝2：1，
∵∠BGC＝90°，BC＝8，
∴DGBC＝4，
∴AG＝8，
答：AG的长为8．
故答案为：8．
15．
【分析】根据重心是三角形三边中线的交点、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1解答．
【解析】∵点O是△ABC的重心，OM＝2，
∴OA＝2OM＝4，
∴AM＝OA+OM＝6，
在Rt△CAB中，∠CAB＝90°，AM是△ABC的中线，
∴BC＝2AM＝2×6＝12，
故答案为：12．
16．
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质可计算出DE的长．
【解析】∵l1∥l2∥l3，
∴，即，
∴DE．
故答案为．
17．
【分析】根据平行线分线段成比例定理和已知条件得出AD：DF：FB＝AE：EG：GC＝3：2：1，设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，根据AG＝15得出方程3x+2x＝15，求出x，再求出答案即可．
【解析】∵DE∥FG∥BC，
∴AD：DF：FB＝AE：EG：GC，
∵AD：DF：FB＝3：2：1，
∴AE：EG：GC＝3：2：1，
设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，
∵AG＝15，
∴3x+2x＝15，
解得：x＝3，
即AE＝9，EG＝6，GC＝3，
∴EC＝EG+GC＝6+3＝9，
故答案为：9．
18．
【分析】过D点作DM∥AB交BC于M，交GJ于N，如图，易得四边形ADNG，四边形ADMB为平行四边形的性质，则GN＝BM＝AD＝2，再利用NJ∥MC，根据平行线分线段成比例定理得到，所以MC＝4，
从而得到BC的长．
【解析】过D点作DM∥AB交BC于M，交GJ于N，如图，
∵AE＝EF＝FG＝GB，DH＝HI＝IJ＝JC．
∴AE：EF：FG：GB＝DH：HI：IJ：JC，
∴GN∥AD∥BM，
∴四边形ADNG，四边形ADMB为平行四边形的性质，
∴GN＝BM＝AD＝2，
∴NJ＝3，
∵NJ∥MC，
∴，
∴MC＝4，
∴BC＝BM+MC＝2+4＝6．
故答案为6．
三、解答题
19．（1）∵AD∥BE∥CF，
∴；
（2）过D点作DM∥AC交CF于M，交BE于N，如图，
∵AD∥BN∥CM，AC∥DM，
∴四边形ABND和四边形ACMD都是平行四边形，
∴BN＝AD＝5，CM＝AD＝5，
∴MF＝CF﹣CM＝19﹣5＝14，
∵NE∥MF，
∴，
∴NEMF14＝6，
∴BE＝BN+NE＝5+6＝11．
20．∵l1∥l2∥l3，
∴AB：BC＝DE：EF，
∵AB＝3，BC＝5，DF＝16，
∴3：5＝DE：（16﹣DE），
∴DE＝6，
∴EF＝16﹣6＝10．
21．（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，
∴CD＝2，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，
∴BC＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∵DE∥CA，
∴，
∴DE＝4；
（2）如图，
∵点M是线段AD的中点，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
∴，
∴DF＝AG，
∵DE∥CA，
∴，
∴，
∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，
∴．
22．（1）∵FE∥CD，
∴，即，
解得，AC，
则CE＝AC﹣AE4；
（2）∵DE∥BC，
∴，即，
解得，AB．
23．（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB＝6，BC＝8，DF＝21，
∴，
∴DE＝9．
（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，
则CG＝BH＝AD＝9，
∴GF＝14﹣9＝5，
∵HE∥GF，
∴，
∵DE：DF＝2：5，GF＝5，
∴，
∴HE＝2，
∴BE＝9+2＝11．
24．（1）∵EF∥CD，
∴，
∵AF＝3，AD＝5，AE＝4，
∴，
解得：AC，
∵AE＝4，
∴CE＝AC﹣AE4；
（2）∵AB，AD＝5，AE＝4，AC，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC．
