2024年中考数学模拟卷金华专用
【本试卷共24小题，满分120分。考试用时120分钟】
注意事项:
1．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
3．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上。
1．（3分）在数﹣3，﹣2，﹣0.5，3中，大小在﹣1和2之间的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣0.5 D．3
2．（3分）如图所示的几何体是由一个圆锥体和一个圆柱体组成的，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886000人，数据886000用科学记数法可以表示为（ ）
A．8.86×105 B．8.86×106 C．88.6×105 D．88.6×106
4．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5
5．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x≥﹣2 C．x≤2 D．x≥2
6．（3分）一组数据：3、2、4、2、5、3、2，这组数据的众数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（3分）如图，一束太阳光线照射直角三角板ABC（∠BAC＝30°）后投射在地面上得到线段BD，若∠1＝32°，∠2＝50°，则∠ABD＝（ ）
A．12° B．15° C．18° D．20°
8．（3分）在平面直角坐标系中，若A，B两点的坐标分别是（4，﹣4），（1，3），将点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C，则关于点A，C的位置关系描述正确的是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
9．（3分）如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数y2的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的有（ ）
①A和点B关于原点对称；②当x＜1时，y1＞y2；③S△AOC＝S△BOD；④当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图以Rt△ABC的斜边BC为边在△ABC的同侧作正方形BCEF．设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，BC＝4，则AO的值为（ ）
A．5 B．6 C． D．8
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答
题卡相应位置上）
11．（4分）分解因式：9abc﹣3ac2＝ ．
12．（4分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，DF，若BC＝12cm，AC＝10cm，则四边形DECF的周长是 ．
13．（4分）在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数为 ．
14．（4分）点（2，3）绕原点逆时针旋转90°对应点的坐标是 ．
15．（4分）如图，AB是半圆O的直径，且AB＝4，点C，D，E将半圆O四等分，连接AD，AE，CE，其中AD交CE于点F，则图中阴影部分的周长为 ．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为6，正方形EFGC的边长为a（点B、C、G在一条直线上），则△AEG的面积是 ．
解答题：本大题共8小题，共60分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。
（6分）计算．
（6分）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）+（2x﹣3）2，其中x．
19．（6分）为了解市民对“垃圾分类知识”的知晓程度．某数学学习兴趣小组对市民进行随机抽样的问卷调查．调查结果分为“A．非常了解”“B．了解”“C．基本了解”，“D不太了解”四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图（图1，图2）．请根据图中的信息解答下列问题．
（1）这次调查的市民人数为 人，图2中，n＝ ；
（2）补全图1中的条形统计图；
（3）在图2中的扇形统计图中，求“C．基本了解”所在扇形的圆心角度数；
（4）据统计，2019年该市约有市民800万人，那么根据抽样调查的结果，可估计对“垃圾分类知识”的知晓程度为“D．不太了解”的市民约有多少万人？
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，过D作DE⊥CA，垂足为E，且DE与⊙O相切，DO的延长线与BC交于点F．
（1）求证：四边形CEDF是矩形；
（2）若AC＝OA＝2，求弦长BC与所围成的图形（阴影部分）的面积．
21．（8分）如图，图1为4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1．
（1）图1中正方形ABCD的面积为 ，边长为 ；
（2）①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求：
Ⅰ．所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上；
Ⅱ．所作的正方形的边长为．
②请在图2中的数轴上标出表示实数的点，保留作图痕迹．
22．（10分）某商场销售A、B两种型号的电风扇，进价及售价如表：
品牌 A B
进价（元/台） 120 180
售价（元/台） 150 240
（1）该商场4月份用21000元购进A、B两种型号的电风扇，全部售完后获利6000元，求商场4月份购进A、B两种型号电风扇的数量；
（2）该商场5月份计划用不超过42000元购进A、B两种型号电风扇共300台，且B种型号的电风扇不少于50台；销售时准备A种型号的电风扇价格不变，B种型号的电风扇打9折销售．那么商场如何进货才能使利润最大？
23．（10分）在△ABC与△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，且AB＝AC，DE＝DF．
（1）如图1，若点D与A重合，且∠CAE＝30°，CE，求ED的长；
（2）如图2，若点D与C重合，EF与BC交于点M，且BM＝CM，连接AE，且∠CAE＝∠MCE，求证：AE+MF＝CE；
（3）如图3，若点D与A重合，连接BE，且∠ABE∠ABC，连接BF，CE，当BF+CE最小时，直接写出的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2 x（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）设直线yx+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．
第22页（共22页）2024年中考数学模拟卷金华专用
【本试卷共24小题，满分120分。考试用时120分钟】
注意事项:
1．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
3．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上。
1．（3分）在数﹣3，﹣2，﹣0.5，3中，大小在﹣1和2之间的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣0.5 D．3
解：∵|﹣3|＝3，|﹣2|＝2，|﹣0.5|＝0.5，3＞2＞0.5，
∴﹣3＜﹣1＜﹣0.5＜2＜3，
∴在数﹣3，﹣2，﹣0.5，3中，大小在﹣1和2之间的数是﹣0.5，
故选：C．
2．（3分）如图所示的几何体是由一个圆锥体和一个圆柱体组成的，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
解：从左面看，底层是几个矩形，上层是一个等腰三角形，
故选：C．
3．（3分）据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886000人，数据886000用科学记数法可以表示为（ ）
A．8.86×105 B．8.86×106 C．88.6×105 D．88.6×106
解：886000＝8.86×105．
故选：A．
4．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5
解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，1+1＝2，不能组成三角形；
B中，1+2＝3＜4，不能够组成三角形；
C中，2+3＝5＞4，能组成三角形；
D中，2+3＝5，不能组成三角形．
故选：C．
5．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x≥﹣2 C．x≤2 D．x≥2
解：根据题意得：x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：D．
6．（3分）一组数据：3、2、4、2、5、3、2，这组数据的众数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：在这组数据中2出现了3次，出现的次数最多，则这组数据的众数是2；
故选：A．
7．（3分）如图，一束太阳光线照射直角三角板ABC（∠BAC＝30°）后投射在地面上得到线段BD，若∠1＝32°，∠2＝50°，则∠ABD＝（ ）
A．12° B．15° C．18° D．20°
解：∵一束太阳光线照射直角三角板ABC，
∴∠ADB＝∠2＝50°，
∵∠1＝32°，∠BAC＝30°，
∴∠1+∠BAC＝32°+30°＝62°，
∵∠1+∠BAC＝∠ADB+∠ABD，
∴∠ABD＝∠1+∠BAC﹣∠ADB＝62°﹣50°°＝12°，
故选：A．
8．（3分）在平面直角坐标系中，若A，B两点的坐标分别是（4，﹣4），（1，3），将点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C，则关于点A，C的位置关系描述正确的是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
解：∵将点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C，
∴C的坐标为（4，4），
∵A点的坐标是（4，﹣4），
∴A与C关于x轴对称．
故选：A．
9．（3分）如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数y2的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的有（ ）
①A和点B关于原点对称；②当x＜1时，y1＞y2；③S△AOC＝S△BOD；④当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①，
消去y得x+1，
解得：x2+x﹣2＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
x1＝﹣2，x2＝1，
代入y＝x+1得：y1＝﹣1，y2＝2，
∴B（﹣2，﹣1），A（1，2），
∴A、B不关于原点对称，故本选项错误；
②当﹣2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误；
③∵S△AOC1×2＝1，S△BOD|﹣2|×|﹣1|＝1，
∴S△BOD＝S△AOC，故本选项正确；
④当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误；
故选：A．
10．（3分）如图以Rt△ABC的斜边BC为边在△ABC的同侧作正方形BCEF．设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，BC＝4，则AO的值为（ ）
A．5 B．6 C． D．8
解：∵∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝4，
∴AC16，
在AC上截取CG＝AB＝4，连接OG，
∵四边形BCEF是正方形，∠BAC＝90°，
∴OB＝OC，∠BAC＝∠BOC＝90°，
∵∠AHB＝∠OHC，
∴∠ABO＝∠ACO，
在△BAO和△CGO中
，
∴△BAO≌△CGO（SAS），
∴OA＝OG，CG＝AB＝4，∠AOB＝∠COG，
∴AG＝AC﹣CG＝12，
∵∠BOC＝∠COG+∠BOG＝90°，
∴∠AOG＝∠AOB+∠BOG＝90°，
即△AOG是等腰直角三角形，
∴AOAG＝6．
故选：C．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答
题卡相应位置上）
11．（4分）分解因式：9abc﹣3ac2＝ 3ac（3b﹣c） ．
解：原式＝3ac（3b﹣c）．
故答案为：3ac（3b﹣c）．
12．（4分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，DF，若BC＝12cm，AC＝10cm，则四边形DECF的周长是 22cm ．
解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，CFAC＝5，
∴DEAC＝5，
同理可得，ECBC＝6，DF＝BC＝6，
∴四边形DECF的周长＝DF+DE+EC+CF＝22（cm），
故答案为：22cm．
13．（4分）在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数为 10 ．
解：设白色棋子的个数为x个，根据题意得：
，
解得：x＝10，
经检验x＝10是原方程的解，
答：白色棋子的个数为10个；
故答案为：10．
14．（4分）点（2，3）绕原点逆时针旋转90°对应点的坐标是 （﹣3，2） ．
解：如图，线段OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标为（﹣3，2），点A′在第二象限．
故答案为（﹣3，2）．
15．（4分）如图，AB是半圆O的直径，且AB＝4，点C，D，E将半圆O四等分，连接AD，AE，CE，其中AD交CE于点F，则图中阴影部分的周长为 2 ．
解：如图，连接OE、OD、OC．
∵点C，D，E将半圆O四等分，
∴，∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOB＝45°，
∴，∠AOD＝∠COE＝90°，
∴AD＝CE，△COE为等腰直角三角形．
∵OE＝OC＝2，
∴CE＝2，
∵∠AEC＝∠DAE，
∴AF＝EF，
∴CF＝DF，
∴DF+EF＝CF+EF＝CE＝2，
∴图中阴影部分的周长为22．
故答案为：2．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为6，正方形EFGC的边长为a（点B、C、G在一条直线上），则△AEG的面积是 a2 ．
解：△AEG的面积S＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG﹣S△EFG﹣S△ADE
＝62+a26×（6﹣a）a2，
故答案为：a2．
解答题：本大题共8小题，共60分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。
17．（6分）计算．
解：原式＝﹣1+1﹣（1）+2
＝﹣1+11
＝1．
18．（6分）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）+（2x﹣3）2，其中x．
解：原式＝4x2﹣1+4x2﹣12x+9
＝8x2﹣12x+8，
当时，原式＝8×（）2﹣12×（）+8
＝84+8
．
19．（6分）为了解市民对“垃圾分类知识”的知晓程度．某数学学习兴趣小组对市民进行随机抽样的问卷调查．调查结果分为“A．非常了解”“B．了解”“C．基本了解”，“D不太了解”四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图（图1，图2）．请根据图中的信息解答下列问题．
（1）这次调查的市民人数为 1000 人，图2中，n＝ 35 ；
（2）补全图1中的条形统计图；
（3）在图2中的扇形统计图中，求“C．基本了解”所在扇形的圆心角度数；
（4）据统计，2019年该市约有市民800万人，那么根据抽样调查的结果，可估计对“垃圾分类知识”的知晓程度为“D．不太了解”的市民约有多少万人？
解：（1）200÷20%＝1000（人），280÷1000＝28%，1﹣28%﹣20%﹣17%＝35%，
故答案为：1000，35，
（2）1000×35%＝350人，补全条形统计图如图所示：
（3）360°×20%＝72°，
答：“C．基本了解”所在扇形的圆心角度数为72°；
（4）800×17%＝136（万人），
答：知晓程度为“D．不太了解”的市民约有136万人．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，过D作DE⊥CA，垂足为E，且DE与⊙O相切，DO的延长线与BC交于点F．
（1）求证：四边形CEDF是矩形；
（2）若AC＝OA＝2，求弦长BC与所围成的图形（阴影部分）的面积．
（1）证明：∵DE与⊙O相切，
∴OD⊥DE，
∴∠FDE＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACF＝90°，
∵DE⊥CA，
∴∠E＝90°，
∴四边形CEDF是矩形．
（2）解：连接OC，
∵AC＝OA＝OC＝2，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠COA＝∠ACO＝60°，
∴∠COB＝120°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCF＝30°，
∵四边形CEDF为矩形，
∴∠OFC＝90°，
Rt△OCF中，OC＝2，∠OCF＝30°，
∴OF＝1，CF，
∴BC＝2，
∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC1．
21．（8分）如图，图1为4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1．
（1）图1中正方形ABCD的面积为 10 ，边长为 ；
（2）①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求：
Ⅰ．所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上；
Ⅱ．所作的正方形的边长为．
②请在图2中的数轴上标出表示实数的点，保留作图痕迹．
解：（1）正方形的边长为：，面积为：，
故答案为：10，；
（2）①如图所示的正方形即为所作；
②如图2中，正方形EFGH是所画的面积为8的格点正方形，
以点E为圆心、EF为半径画弧，交数轴于点P，则点P的坐标为实数．
22．（10分）某商场销售A、B两种型号的电风扇，进价及售价如表：
品牌 A B
进价（元/台） 120 180
售价（元/台） 150 240
（1）该商场4月份用21000元购进A、B两种型号的电风扇，全部售完后获利6000元，求商场4月份购进A、B两种型号电风扇的数量；
（2）该商场5月份计划用不超过42000元购进A、B两种型号电风扇共300台，且B种型号的电风扇不少于50台；销售时准备A种型号的电风扇价格不变，B种型号的电风扇打9折销售．那么商场如何进货才能使利润最大？
解：（1）设4月份购进A种型号的电风扇x台，B种型号的电风扇y台，
依题意得：，解得：．
答：商场4月份购进A种型号的电风扇100台，B种型号的电风扇50台．
（2）设5月份购进A种型号的电风扇m台，则购进B种型号的电风扇（300﹣m）台，利润为w元．
由题意得，120m+180（300﹣m）≤42000，
解不等式得：m≥200，
又∵300﹣m≥50，即m≤250，
∴200≤m≤250，
w＝（150﹣120）m+（0.9×240﹣180）（300﹣m）＝﹣6m+10800，
∵﹣6＜0，w随m的增大而减小，
∴当m＝200时，w有最大值，此时，300﹣m＝100．
答：A种型号的电风扇购进200台，B种型号的电风扇购进100台时，利润最大．
23．（10分）在△ABC与△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，且AB＝AC，DE＝DF．
（1）如图1，若点D与A重合，且∠CAE＝30°，CE，求ED的长；
（2）如图2，若点D与C重合，EF与BC交于点M，且BM＝CM，连接AE，且∠CAE＝∠MCE，求证：AE+MF＝CE；
（3）如图3，若点D与A重合，连接BE，且∠ABE∠ABC，连接BF，CE，当BF+CE最小时，直接写出的值．
（1）解：过点E作EK⊥AC交于点K，如图：
∵∠BAC＝90°，且AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C＝45°，
∴△CEK是等腰直角三角形，
∵CE，
∴EK＝CK1，
∵∠EAC＝30°，
∴DE＝2EK＝2；
（2）证明：连接AM，过点A作AN⊥AE交EF于N，连接BN，如图：
∵∠BAC＝90°，且AB＝AC，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，∠CAM∠BAC＝45°，
在Rt△CEF中，DE＝DF，
∴∠CEF＝45°＝∠CAM，
∴点A，M，C，E四点共圆，
∵AM⊥BC，
∴∠AMC＝90°，
∴∠AEC＝180°﹣∠AMC＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∵∠CAE＝∠MCE，
∴∠MCE+∠ACE＝90°，
∵∠MCE+∠MCF＝90°，
∴∠ACE＝∠MCF，
∵∠ACB＝45°，∠ECF＝90°，
∴∠ACE＝∠MCF＝22.5°，
∴∠ECM＝∠ACB+∠ACE＝67.5°，
∴∠EMC＝180°﹣∠ECM﹣∠CEF＝67.5°＝∠ECM，
∴ME＝CE，
∵AN⊥AE，
∴∠EAN＝90°，
∵∠AEC＝90°，∠CEF＝45°，
∴∠AEF＝∠AEC﹣∠CEF＝45°，
∴∠ANE＝90°﹣∠AEF＝45°，
∴AN＝AE，
∴ENAE，
在Rt△ACE中，∠ACE＝22.5°，
∴∠CAE＝90°﹣∠ACE＝67.5°，
∴∠CAN＝∠EAN﹣∠CAE＝22.5°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠∠BAN＝∠BAC﹣∠CAN＝67.5°＝∠CAE，
∵AB＝AC，AN＝AE，
∴△ABN≌△ACE（SAS），
∴∠ANB＝∠AEC＝90°，
∴∠BNM＝90°﹣∠ANE＝45°＝∠F，
∵点M是BC的中点，
∴BM＝CM，
∵∠BMN＝∠CMF，
∴△AMN≌△CMF（AAS），
∴MN＝MF，
∴CE＝ME＝MN+EN＝FMAE；
（3）解：延长BA至Q，使AQ＝AC，连接FQ，如图：
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAQ＝90°，
∵∠EAF＝90°，
∴∠CAQ＝∠EAF，
∴∠CAE＝∠FAQ，
∵AE＝AF，
∴△ACE≌△AQF（SAS），
∴CE＝QF，
要BF+CE最小，则BF+QF最小，
∵BF+QF≥BQ，
∴点F在AQ上时，BF+QF最小，此时，点E在AC上，
过点作EK⊥BC于K，如图：
∵∠BAC＝90°，
∴EA⊥AB，
∵BE平分∠ABC，
∴EK＝AE，
设AF＝AE＝EK＝x，
∵∠C＝45°，
∴∠CEH＝90°﹣∠C＝45°＝∠C，
∴CK＝EK＝x，
∴CEEKx，
∴AB＝AC＝AE+CE＝（1）x，
∴BCAC＝（2）x，
∴BK＝BC﹣CK＝（1）x，
在Rt△BKE中，BE2＝BK2+EK2＝[（1）x]2+x2＝2（2）x2，
∵BF＝AB+AF＝AB+AE＝（1）x+x＝（2）x，
∴．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2 x（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）设直线yx+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）∵A的坐标为（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OC＝2OA，
∴OC＝2，
∴C的坐标为（0，2），
将点C代入抛物线yx2 x（m＞0），
得2，即m＝4，
∴抛物线对应的函数表达式为yx2x+2；
（2）如图，过P作PH∥y轴，交BC于H，
由（1）知，抛物线对应的函数表达式为yx2x+2，m＝4，
∴B、C坐标分别为B（4，0）、C（0，2），
设直线BC解析式为y＝kx+n，
则，解得，
∴直线BC的解析式为yx+2，
设点P的坐标为（m，m2m+2）（0＜m＜4），则H（m，m+2），
∴PHm2m+2﹣（m+2）
m2+2m
（m2﹣4m）
（m﹣2）2+2，
∵S△PBC＝S△CPH+S△BPH，
∴S△PBCPH |xB﹣xC|
[（m﹣2）2+2]×4
＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，△PBC的面积最大，此时点P（2，3）；
（3）存在，理由如下：
∵直线yx+b与抛物线交于B（m，0），
∴直线BG的解析式为yxm①，
∵抛物线的表达式为yx2 x②，
联立①②解得，或，
∴G的坐标为（﹣2，m﹣1），
∵抛物线yx2 x的对称轴为直线x，
∴点F的横坐标为，
①若BG为边，
不妨设E在x轴上方，如图，过点E作EH⊥x轴于H，
设E的坐标为（t，t2 t），
∵∠GBE＝90°，
∴∠OBG＝∠BEH，
∴tan∠OBG＝tan∠BEH，
∴，
解得：t＝3或m（舍），
∴E的坐标为（3，2m﹣6），
由平移性质，
得：B的横坐标向左平移m+2个单位得到G的横坐标，
∵EF∥BG且EF＝BG，
∴E横坐标向左平移m+2个单位，
得：到F的横坐标为3﹣（m+2）＝﹣m+1，
∴m+1，
解得m＝1，
∴E（3，﹣4），F（0，），
这说明E不在x轴上方，而在x轴下方；
②若BG为对角线，
设BG的中点为M，
由中点坐标公式得，，
∴M的坐标为（，），
∵矩形对角线BG、EF互相平分，
∴M也是EF的中点，
∴E的横坐标为，
∴E的坐标为（，），
∵∠BEG＝90°，
∴EM，
∴，
整理得：16+（m2+4m+1）2＝20（m+2）2，
变形得：16+[（m+2）2﹣3]2＝20（m+2）2，
换元，令t＝（m+2）2，
得：t2﹣26t+25＝0，
解得：t＝1或25，
∴（m+2）2＝1或25，
∵m＞0，
∴m＝3，
即E的坐标为（0，），
F的坐标为（1，﹣4），
综上，即E的坐标为（0，），F的坐标为（1，﹣4）或E（3，﹣4），F（0，）
第22页（共22页）
