四川省大数据精准教学联盟 2021级高三第二次统一监测
理科数学参考答案与详细解析
1．【答案】D
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算与元素属性问题，主要考查集合
的交集、并集、补集运算，集合元素与集合的从属关系等基础知识；考查数学抽象、逻辑推理等
数学核心素养。
【解析】由U= -2,-1,0,1,2 ，A∩ B= -1,1 ，A∪ B= -2,-1,1,2 知，-1∈A，-1∈B；2
不同时在集合 A，B中，-2必在集合 A，B之一中，集合 A，B中都不含 0，选项D正确．
2．【答案】A
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计复数运算问题，主要考查复数的概念，复数
的加减运算，两个复数相等的条件等基础知识；考查方程思想，应用意识；考查数学抽象、数学
运算等数学核心素养。
【解析】令复数 z=a+bi，a∈R，b∈R，则 z-2 z= a+ bi- 2 a-bi =-a+ 3bi= 2- 3i，根据
-a=2， a=-2，两个复数相等的条件有 解得 所以 z=-2- i．3b=-3， b=-1，
3．【答案】B
【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查统计图的识别、统计量的意义等基础知识，
考查直观想象、数学建模等数学核心素养。
【解析】根据图表可知，甲、乙命中环数的众数均为 7环，故 Z甲= Z乙；甲运动员命中的环数比
较分散，乙运动员命中的环数比较集中，故 s2甲> s2乙．
4．【答案】C
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计简易逻辑问题，主要考查等比中项的概念、
命题的判断等基础知识；考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。
【解析】当 b2=ac 时，若 a = b = 0，b不是 a，c的等比中项；当 b为a，c的等比中项 时，
b2=ac．所以“b2=ac”是“b为a，c的等比中项”的必要不充分条件．
5．【答案】B
【命题意图】本题考查三视图、立体图形的体积求法等基本知识；考查运算、依据三视图画出
立体图形的能力．
【解析】根据三视图可以观察出该几何体为一个平放的半圆锥体，其中圆锥的高为 4，底面
半径为 2 1 1 8π，根据圆锥的体积公式可以计算出该立体图形的体积为V= 2 × 3 × 4π× 4= 3 ．
6．【答案】A
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计平面向量的几何
运算问题，主要考查三角形法则，平面向量加减的几何意义等基础知识；考查数形结合等数学
思想；考查直观想象、逻 辑推理 、 数学运算等数1 1 1
学核 心素养。1 BE= BD= × BA+BC = -AB+AC-AB =- 1
【解析】由题意有 3 3 2 6 3 AB+
1
6
AC，
所以 AE= AB+ BE= AB- 13 AB+
1 2 1
6 AC= 3 AB+ 6 AC．
7．【答案】D
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角恒等变换问题，主要考查二倍角的余弦，二
倍角的正弦，两角和的余弦，特殊角的三角函数等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能
力，化归与转化等数学思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
【解析】由 cos2β=4sin2α，cos22β= 16sin4α；由 sin2β- 2sin2α= 0，sin22β=16sin2αcos2α．两
式相加，得 1= cos22β+ sin22β= 16sin2α sin2α+cos2α ，所以 sinα= 14 ，从而 cos2β = 4sin
2α=
1 sin( π - 2β) = 1 0< β< π 0<2β<π cos2β=4sin2α> 0 0< 2β< π4 ，即 2 4．由 2 有 ，又 ，所以 2 ，
因为 0<α< π π2 ，所以，α= 2 - 2β．
理科数学 第1页（共8页）
{#{QQABIYIQgggAApBAABhCAwFQCkIQkAECCCoOABAIsAAASANABAA=}#}
8．【答案】C
【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查正态分布、二项分布、数学期望等基础知
识，考查概率与统计思想，考查数学运算、数学建模等数学核心素养。
【解析】柠檬单果的质量m(单位：g)服从正态分布 N(65, σ2)，且 P(m< 50) = 0. 1，所以 P(50
9．【答案】C
【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要考查导数的应用，函数的性质、函数的零点等基
础知识，考查化归与转化、函数与方程、数形结合等数学思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运
算等数学核心素养。
【解析】
y
4
1
-2 O 3 x
2
(x+2)2 -x(x+2)当 x≤ 0时，f (x) = x ，此时 f (x) = x ，则 x<-2时，f (x) < 0，f (x)单调递e e
减；-2< x< 0时，f (x)> 0，f (x)单调递增，则 x=-2是 f (x)的极小值点，作出右图所示的函
数 f (x)的图象，函数 y= [ f (x)]2- a f (x)有 5个不同的零点，则方程 [ f (x)]2- a f (x) = 0即 f (x)
[ f (x) - a] = 0有 5个不相等实数根，也即是 f (x) = 0和 f (x) - a= 0共有 5个不相等实数根，其
中 f (x) = 0有唯一实数根 x=-2；只需 f (x) - a= 0有 4个且均不为- 2的不相等实数根，由图
可知 1< a< 4．
10．【答案】B
【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查双曲线的定义、标准方程以及几何性质；
考查双曲线方程的求法以及直线与双曲线位置关系的应用，考查学生的计算能力；考查数形结
合、化归与转化等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】
y
B
F1 O F2 x
A
如图，由于 ∣ AF1 ∣= 2 ∣ F1B ∣，∣ AB ∣=∣ BF2 ∣，且 ∣ BF2 ∣- ∣ BF1 ∣= 2a，∣ AF2 ∣- ∣ AF1 ∣= 2a，设
∣ BF1 ∣=m，则 ∣ AF1 ∣= 2m，故 ∣ BF2 ∣= 3m，可得m= a，∣ BF1 ∣= a，∣ AF1 ∣= 2a，故 ∣ BF2 ∣= 3a，∣
AF2 ∣= 4a，在 BF1F2 与 BAF2 中分别对 ∠B 使用余弦定理可得到一个关于 a 的等式
a2+9a2-4 9a2 2= +9a -16a
2
2 3 21
2×a×3a 2×3a×3a ，解得 a = 7 ，故 a= 7 ，又根据题意可知 c= 1，故离心率 e=
c
a =
21
3 ．
11．【答案】D
【命题意图】本小题设置探索创新情境，设计三角函数图象问题，主要考查正弦型函数的周
期，相位，对称中心，单调性，图象平移，特殊角的三角函数值等基础知识；考查运算求解能力，
推理论证能力，考查数形结合等数学思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养以及应用
意识。
理科数学 第2页（共8页）
{#{QQABIYIQgggAApBAABhCAwFQCkIQkAECCCoOABAIsAAASANABAA=}#}
【解析】因为函数 f x 的周期为 π ，所以 ω=2 π，又图象对称中心为 6 ,0 ，即
sin 2× π6 +φ = 0
π
，则 3 + φ = kπ
π
，k ∈ Z，有 φ=kπ- 3 ，k ∈ Z，由 0<φ<π，所以 k=1，φ =
2π
3 ，故 f x
2π
= sin 2x+ 3 ，此时 f 0 = sin
2π 3
3 = 2 ，结论①正确；当 0
3 时，3 <
2x+ 2π3 <
4π π
3 ，函数 f x 单调递减，结论②正确；将 y=cos2x的图象向左平移 12 个单位可得
y=cos 2x+ π sin 2x+ 2π = sin 2x+ π π图象对应的函数为 6 ，因为 3 6 + 2 = cos 2x+
π
6 ，所
以结论③正确．
12．【答案】B
【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查圆与抛物线的综合应用，考查抛物线的定
义及其简单几何性质、圆的方程、圆的弦长公式、勾股定理在抛物线中的应用等基本知识；考查
数形结合、化归与转化等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】
y
A M
F E D
O x
由已知，点M 6,y0 在抛物线上，则 6= 2py0即 py0= 3． ①
p p
如图所示，过M作直线 y= 2 的垂线，D为垂足，设圆M与直线 y= 2 相交于点 E．易知，
p p
|DM | = y0- 2 ，由MA= 2AF，可知 MA = 2 AF =
2
3 MF =
2
3 y0+ 2 ．因为圆M被直线
p p
y= 2 截得的弦长为 3 MA
3 3
，所以 |DE| = 2 |MA| = 3 y0+ 2 ．由 MA = ME = r，在
p 2 p 2 p 2
Rt△MDE 1 y + + y - = 4中，3 0 2 0 2 9 y0+ 2 y0= p． ②
p 3
由①②解得：p= 3，抛物线C的准线方程为：y=- 2 =- 2 ，故答案为B．
13．【答案】9
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计线性规划问题，主要考查约束条件表示的可行
域，目标函数在约束条件下的最值等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，方程思想；
考查数学运算、直观想象等数学核心素养以及应用意识。
【解析】约束条件表示的是以三点 A 1，2 ，B 3，-1 ，C 4，1 为顶点的三角形及其内部，
y=- 1目标函数可化为 4 x+
z 1
4 ，平移直线 y=- 4 x可知，当直线经过点 A 1，2 时，在 y轴上
的截距最大，此时 z=1+4×2=9．
14．【答案】-118
【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查二项式定理的应用等基础知识，考查化归
与转化等数学思想，考查数学运算等数学核心素养。
1
【解析】依题意，(x- )2(2x+ 1)5= (x2+ 1x 2 - 2) (1+ 2x)
5，则其展开式中，含 x3的项为
x
x2 C15 (2x) +
1 C5 (2x)5- 2C32 5 5 (2x)
3=-118x3，所以含 x3的项的系数为-118．
x
15 3．【答案】16
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计解三角形问题，主要考查两角和差的余弦公
式，二倍角的正弦，诱导公式，正弦定理，三角形面积与三角形外接圆面积等基础知识；考查运
算求解能力，化归与转换思想；查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
理科数学 第3页（共8页）
{#{QQABIYIQgggAApBAABhCAwFQCkIQkAECCCoOABAIsAAASANABAA=}#}
【解析】依题意，16sinC cos A-B + 8 sin 2C = 16 sinCcos A-B + 16 sinCcosC =
16sinC cos A-B -cos A+B) = 32sinCsinAsinB，即 32sinCsinAsinB=3π，△ ABC 的面积
与△ ABC 外接圆的面积之比为
1
2 absinC = absinC = 2sinAsinBsinC = 3π = 32 ．πR 2π 1 a b π 16π 164 sinA sinB
16．【答案】52π
【命题意图】本小题设置课程学习请进，主要考查与球体相关几何体的运算，考查线面垂
直、线线垂直及其相互转化、三棱锥外接球球心的确定、三棱锥的体积公式、基本不等式等基本
知识；考查数形结合等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素
养。
【解析】因为 PC是三棱锥 P - ABC外接球的直径，所以 PA⊥ AC，PB⊥ BC．又 PA⊥
BC，AC∩ BC= C，所以 PA⊥平面 ABC，所以 BC⊥ PA．又 PB⊥ BC，PA∩ PB= P，所以 BC
⊥面 PAB，故 BC⊥ AB．因此，三棱锥 P- ABC的体积为 V= 13 PA S△ABC= AB BC．又 AB
2
BC≤ BC +AB
2
= AC
2 2
2 2 （当且仅当 AB= BC
AC
时等号成立），所以体积的最大值为 2 = 8，
故 AC= 4．因为 AC⊥ PA，所以 PC2= AC2+ PA2= 52，所以三棱锥 P- ABC的外接球的表面
积 S= 4πr2= 52π．
17．（12分）
【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查统计案例、卡方分布、离散型随机变量分布列
等基础知识；考查统计与概率思想；考查数学运算、数学建模等数学核心素养。
【解析】
250(50×50-50×100)2
（1）依题意，K2= 100×150×150×100 ≈ 6. 94> 6. 635， 3分
所以，有 99%的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系． 4分
（2）由题意知，选取的 4人中，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”的分别有 2人．
所以 ξ的所有可能取值为 400，500，600，700，800． 5分
2 2
则 P(ξ= 400) = 13 ×
1
2 =
1
36， 6分
1 1 2 1 2 1 2 1 1 2P(ξ= 500) =C2× 3 × 3 × 2 + 3 ×C2× =
6
2 36 =
1
6 ； 7分
P(ξ= 600) =C1× 1 × 2 ×C1
2 2 2 2 2
2 3 3 2
1
2 +
2
3 ×
1 + 1 × 1 = 132 3 2 36， 8分
2 2 2
P(ξ= 700) =C1× 1 2 1 22 3 × 3 × 2 + 3 ×C
1× 1 = 12 = 12 2 36 3 ， 9分
2 2
P(ξ= 800) = 23 ×
1
2 =
4 1
36 = 9． 10分
则 ξ的分布列为
ξ 400 500 600 700 800
P 1 6 1 13 12 1 4 136 36 (或填 6 ) 36 36 (或填 3 ) 36 (或填 9 )
11分
所以，数学期望为
E(ξ) = 400× 136 + 500×
6
36 + 600×
13
36 + 700×
12 + 800× 4 = 190036 36 3 ．
12分
18．（12分）
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计递推数列问题，主要考查递推数列与等差数
列的通项公式，裂项相消求和，不等式证明等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化
归与转换思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
理科数学 第4页（共8页）
{#{QQABIYIQgggAApBAABhCAwFQCkIQkAECCCoOABAIsAAASANABAA=}#}
【解析】
（1）由 an- an+1- anan+1= 0知，若 an+1= 0，则 an= 0，若 an= 0，则 an+1= 0．
又 a1 ≠ 0,所以 n ∈N*,an≠ 0． 2分
由 an- an+1- anan+1= 0
1 1
，可得 a -n+1 a
- 1= 0．
n
故 { 1a }是首项为 2，公差为 1的等差数列，n1
所以 a = 2+ (n- 1) = n+ 1． 4分n 1
故 an= n+1． 5分
（2 1）由 b2n- b2n-1= a 得 b2n- b2n-1= n+ 1， ①
1 n
由 b2n+1- b2n= a = n+ 1得 b2n-1- b2n-2= n n≥2 ． ②n
①+②可得 b2n- b2n-2= 2n+ 1 n≥2 ． 7分
当 n=1 1时，b2- b1 = a = 2，则 b2=3．1
所以 b2n- b2= (b4- b2) + (b6- b4) + (b8- b6) + + (b2n- b2n-2) = (2× 2+ 1) + (2× 3+ 1) +
(2+n)(n-1)
(2× 4+ 1) + + (2n+ 1) = 2× (2+ 3+ 4+ +n) + (n- 1) = 2× 2 + (n- 1) =
(n+ 3) (n- 1)，
所以 b2n= b2+ (n+ 3) (n- 1) = n(n+ 2) n≥2 ，
当 n=1时，b2=3也满足上式．
所以 b2n= n(n+ 2)． 10分
1 = 1 1由上可知，b = 2
1
n -
1
n+2 ，n ∈N
*．
2n n(n+2)
1 + 1 + + 1 = 1 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 1 1所以 b2 b4 b2n 2 1 3 2 4 3 5 + + n - n+2
= 1 1+ 1 - 12 2 n+1 -
1 3
n+2 < 4 ，
1 1 1 3
即 b + b + + b < 4． 12分2 4 2n
19．（12分）
【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查立体几何中线面平行的性质定理、线面垂直
的判定定理、面面垂直的判定定理以及空间直角坐标系的运用计算线面角的三角函数值；考查
空间想象、化归转化等思想方法；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素
养。
【解析】
（1）
连接C1B，
因为DE 平面 BCC1B1，DE 平面 ABC1，平面 ABC1∩平面 BCC1B1=C1B，
所以D E ∥C 1B ． 2分
因为 A E = 2E B，
所以 AD= 2DC1，
1
所以 A1C1= 2 AC．………… 4分
A B = 1因此 1 1 2 AB，B C =
1
1 1 2 BC，
S△A1B所以 1C1 = 1S 4．………… 6分△ABC
理科数学 第5页（共8页）
{#{QQABIYIQgggAApBAABhCAwFQCkIQkAECCCoOABAIsAAASANABAA=}#}
（2）由 (1)可知，A1C1=
1
2 AC，
所以 AC= 2 13．
依题意，AC2= AB2+ BC2，
所以 AB⊥ BC，BB1⊥平面 ABC． 7分
因此，可以 B为坐标原点，分别以 BA，BC，BB1的方向为 x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所
示空间直角坐标系 B- xyz．
则 A 6 , 0 ,0 ，C 0,4,0 ，B 1 0,0,2 ，A1 3 ,0, 2 ，C1 0,2,2 ．
所以 B1A1= 3,0,0 ，B1C= 0,4,-2 ，CC1= 0,-2,2 ． 8分
设平面 A 1B 1C的法向量为 n= x,y,z ，
n B 1A 1=3x=0，由 n B1C=4y-2z=0，
取 y= 1，则 x= 0，z= 2，所以 n= 0,1,2 ． 10分
设CC1与平面 A 1 B1C所成角为 θ，
n CC1 2
则 sinθ= = = 10
n CC 5×2 2 10
．
1
即直线CC 101与平面 A1B1C所成角的正弦值为 10 ． 12分
20．（12分）
【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位
置关系等基础知识，考查学生的计算能力，韦达定理的灵活运用能力，考查学生数形结合、函数
与方程、化归转化等思想方法；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养。
【解析】
（1）由已知，2c= 4 2，
所以 c= 2 2． 1分
而 P(3, b2 )在 E上，
b2
9
所以 2 +
4
2 = 1．a b
于是，a2= 12． 2分
则 b2= a2- c2= 4，
E x
2 y2
故椭圆 的方程为 12 + 4 = 1． 4分
2 y2
（2）可知 P(3,1)，将 y= kx+m x代入 12 + 4 = 1，得
1+3k2 x2+ 6kmx+ 3m2- 12= 0． 5分
由Δ= 36k2m2- 4 1+3k2 3m2-12 > 0，
有m2- 12k2- 4< 0．
设M x1,y1 ，N x2,y2 ，易知 x1≠x2．
x +x =- 6km 3m
2-12
则 1 2 2 ，x1x2 = 2 ． 7分1+3k 1+3k
因为直线 PM与直线 PN关于直线 l1对称，
则直线 PM与 PN存在斜率，且斜率互为相反数． 9分
y -1 y -1
所以 k 1PM + kPN= x -3 +
2
1 x2-3
= 0，
即 (y1- 1) (x2- 3) + (y2- 1) (x1- 3) = 0，
即 x1y2+ x2y1- (x1+ x2) - 3(y1+ y2) + 6= 0，
所以 2kx1x2 + (m- 1- 3k) (x1+ x2) + 6- 6m= 0，
理科数学 第6页（共8页）
{#{QQABIYIQgggAApBAABhCAwFQCkIQkAECCCoOABAIsAAASANABAA=}#}
2k 3m
2-12 + (m- 1- 3k) (- 6km则 2 2 ) + 6- 6m= 0，1+3k 1+3k
即 3k2+ (m- 4)k-m+ 1= 0，
所以，k= 1或m= 1- 3k． 11分
当m= 1- 3k时，MN的方程为 y= k(x- 3) + 1，经过 P点，与题意不符，故舍去．
故直线 PM与直线 PN能够关于直线 l1对称，此时直线 l2的斜率为 k= 1，同时应有m ∈
-4，4 ． 12分
21． (12分)
【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要考查导数几何意义、极值，函数与导数、不等式等
知识的综合应用，考查化归与转化、函数与方程、数形结合等数学思想，考查数学抽象、逻辑推
理、数学运算等数学核心素养。
【解析】
（1）由 f (x) = ex- a3 x
3- 1，得 f (x) = ex- ax2，
2
由 f (x)存在极值，则 f (x) = ex- ax2= 0，知 a≠ 0 1 = x，则 a x 有 3个不相等实数根，e
2
g(x) = x g (x) = 2x-x
2 -x(x-2)
令 x ，则e ex
= ，
ex
当 x< 0时，g (x)< 0，g(x)单调递减；当 0< x< 2时，g (x)> 0，g(x)单调递增；当 x> 2时，
g (x)< 0，g(x)单调递减．
则 g(x)在 x= 0时取极小值 g(0) = 0，g(x)在 x= 2 4处取得极大值 g(2) = ，
e2
又 x→-∞时，g(x)→+∞；x→+∞时，g(x)→ 0，又 g(x)> 0．
2
所以，f (x) = 0 3 1 4 e有 个不相等实数根时，0< a < 2 ，即 a> 4 ，e
2
所以，f (x) e有 3个极值点时，a的取值范围是 4 ,+∞ ． 4分
（2）由 f (x)≥ ax2+ x，得 ex- a 33 x - ax
2- x- 1≥ 0，
h(x) = ex- a令 x33 - ax
2- x- 1，得 h (x) = ex- ax2- 2ax- 1，知 h (0) = 0，h(0) = 0，
令 u(x) = h (x) = ex- ax2- 2ax- 1，则 u (x) = ex- 2ax- 2a，
又令 v(x) = u (x) = ex- 2ax- 2a，则 v (x) = ex- 2a，知 v(0) = 1- 2a，v (0) = 1- 2a，
6分
当 v (0) = 1- 2a≥ 0 1时，即 a≤ 2 时，
由于 v (x) = ex- 2a单调递增，则 v (x)≥ v (0)≥ 0，
故当 x≥ 0时，v(x)即 u (x)单调递增，则 u (x)≥ u (0) = 1- 2a≥ 0，
所以，当 x≥ 0时，u(x)即 h (x)单调递增，则 h (x)≥ h (0) = 0，
故当 x≥ 0时，h(x)单调递增，则 h(x)≥ h(0) = 0，
1
所以，当 x≥ 0，h(x)≥ 0恒成立．则 a≤ 2 时满足条件． 9分
1
当 v (0) = 1- 2a< 0时，即 a> 2 时，
由于 v (x) = ex- 2a单调递增，由于 v (ln(1+ 2a)) = eln(1+2a)- 2a= 1> 0，
故 t0∈ (0，ln(1+ 2a))，使得 v (t0) = 0，
当 0< x< t0时，v (x)< 0，则 0< x< t0时，v(x)即 u (x)单调递减，
故 u (x)< u (0) = 1- 2a< 0，
故当 0< x< t0时，u(x)即 h (x)单调递减，
所以 h (x)< h (0) = 0，此时 h(x)单调递减，h(x)< h(0) = 0,不满足条件．
综上所述，当 x≥ 0，f (x)≥ ax2+ x恒成立时，a的取值范围是 (-∞, 12 ]． 12分
理科数学 第7页（共8页）
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22．[选修 4－ 4：坐标系与参数方程]（10分）
【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要考查椭圆的极坐标方程与直角方程的相互转化；
考查解析几何与代数运算求解、数据分析、逻辑推理等能力；考查数形结合、化归转化等思想方
法；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】
（1）由C2的极坐标方程为 ρ2cos2θ+ 4ρ2sin2θ- 4= 0，
可知，其直角方程为 x2+ 4y2- 4= 0，
x2
即 4 + y
2= 1． 2分
（2）易知点 P(1, 3 )在图形C1上，
x2
将其代入 + y2= 1 ，得 13t24 + 52t+ 36= 0． 6分
设 A，B，Q所对应参数分别为 t1，t2，t0，则 t1+ t2=-4，t1t =
36
2 13． 7分
|AP| |AQ|
由 = ，得 |t1| |t0- t2| = |t | |t|BP| |BQ| 2 0
- t1|，
即 |t0t1- t1t2| = |t0t2- t1t2|． 8分
所以 t0t1- t1t2= t0t2- t1t2或 t0t1- t1t2= t1t2- t0t2，
即 t0t1= t0t2或 t0(t1+ t2) = 2t1t2．
2t t 18
易知 t1≠ t2，t0≠ 0，所以 t 1 20= t + t =- 13， 9分1 2
4 4 3
所以点Q的直角坐标为 13 , 13 ． 10分
23．[选修 4－ 5：不等式选讲]（10分）
【考查意图】本小题设置探索创新情境情境，主要考查均值不等式、不等式证明方法等基础知
识；考查化归与转化等思想方法，考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】
-5x+2,x<0，
（1）依题意，f (x) = -3x+2,0≤x≤1， 1分x-2,x>1，
函数 f (x)与 g(x)的图象无公共点，只需方程 f (x) = g(x)在 x> 1时无解．
所以 x- 2=-2x2+ 8x+m，即 2x2- 7x- 2=m在 x> 1时无解，
所以m<(2x2- 7x- 2)min，x ∈ (1,+∞)， 3分
因为 2x2- 7x- 2= 2(x- 74 )
2- 658 ，当 x ∈ (1,+∞)时，(2x
2- 7x- 2) =- 65min 8 ，
所以，m<- 658 ，
故函数 f (x)与 g(x) 65的图象无公共点时，m的取值范围是(-∞,- 8 )． 5分
（2）由（1）可知，函数 f (x)的最小值 T=-1． 6分
所以，只需证明不等式 a2+ b2- ab- a- b≥-1即 a2+ b2- ab- a- b+ 1≥ 0即可．
a2+ b2- ab- a- b+ 1= 12 (2a
2+ 2b2- 2ab- 2a- 2b+ 2)
= 12 [(a
2+ b2- 2ab) + (a2- 2a+ 1) + (b2- 2b+ 1)]
= 12 [(a- b)
2+ (a- 1)2+ (b- 1)2]
≥ 0，
当且仅当 a= b= 1时等号成立．
所以 a2+ b2- ab- a- b≥ T． 10分
理科数学 第8页（共8页）
{#{QQABIYIQgggAApBAABhCAwFQCkIQkAECCCoOABAIsAAASANABAA=}#}四川省大数据精准教学联盟 2021级高三第二次统一监测
理科数学
注意事项 :
1.答题前 ,考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、考场/座位号用0.5毫米黑色签
“ ”
字笔填写清楚 ,考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的 条码贴码区 。
2.选择题使用 2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上 ,如 需改动 ,用橡皮擦
擦干净后再填涂其它答案 ;非选择题用 0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答 ,
超出答题区域答题的答案无效 ;在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题 :本题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的 .
1。 已知全集I/=(-2,-1,0,1,2),'∩ B=(-1,1),/∪ B=(-2,-1,192),则
A. -1∈ /,-1￠ B B. 2∈ B
',2∈
C. -2￠彳,-2￠ B D. 0￠ /,0￠ B
2.已知复数 z满足 z-2Ξ =2-3i,则 z=
A。 -2-i B. 2-i C。 -2+i D. 2+i
3.甲 、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次 ,命中环数的频率分布条形图如下。
设甲、乙命中环数的众数分别为z甲 ’z乙 ’方差分别为韩,吃 ,则
率 甲 zz乙
0.4
0.3
0.2
0.1
0 4 5 67891o环 数
A· z甲 =z乙 ’ (s乞唣 B· z甲 =z乙 ’ )s乞唣
C· z甲 >z艺 ’s铮 >s乞 D· z甲
A。 充要条件 B.充 分不必要条件
C。 必要不充分条件 D.既 不充分也不必要条件
5.一个几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积为
A.寸
侧视图
B 8冗
C
D 3
47E
8π
俯视图
理科数学试题 第1页 (共 4页 )
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6.如图,D是△/BC边/C的中点,E在 BD上 ,且￡窟=加瑭,则
2 1
一→ 一 一→ 一 →
A / E 〓 彳
一
B 十 / C
3 6
1
一
B。 /E=亍/B+ 3 →
1
一 肥 D
C./E=苷/B+ →
6 C
3 1
D。 /E 一 →/B 一
4 + / c8
7.设 0(α<要 ,o<`(平 ,且 cos2`=4sin2α ,sin2`-2sin2α =0,则 α,'之间的关系为
z z
A.α -'=毋 B· α+'=号
C.叩 一α=号 α D· 十叩 =号
8.某 2),且柠檬园的柠檬单果的质量昭(单位:g)服从正态分布Ⅳ(65,σ P(昭 (50)=0.1,
若从该柠檬园中随机选取200个柠檬,则质量在50g~80g的柠檬个数的期望为
A. 120 B。 140 C. 160 D。 180
rlⅡ ^ l i. `^
I|5-Z川 十 l,J●)V,
9已 知函数r(△)=t呷 0若 函数 ]一 沩 )有 个不同的零
点
i。 J≤ `[/⑴
则夕的取值范围是
A.(0,1] B.(1,4] C。 (1,4) D。 (1,十∞)
0 2
10.已知双曲线 C:i》 一 =1(四 )093)0)的 焦点分别为尾(-190),马 (1,0),过 尾的直
十
线与 C的左支交于以,B两点。若 |以日 |=2|珥Bl,|/B|=|刀引 ,则 C的离心率为
A。 理 :。 理 c.垂 D罂
D 5 j j
11.已知函数 /(艿)=sin(ω艿+田 )(ω >0,0(田 (冗)的最小正周期为冗,且 图象
`=/(x)的
关于点 (詈 ,0)中 心对称,给出下列三个结论 :
①r(o)=《⒈②函数/⑺ 在 (0诗 )上单调递减 ;
③将 的图象向左平移亻旨个单位可得到/(男)的图象
。
`=cos2△
其中所有正确结论的序号是
A。 ①② B.① ③ C.② ③ D.① ②③
12.设 2=2刀抛物线 C:△ (p)0)的焦点为F,点 ″臼冗yO)(`0)罟 C上一点。已)是 知圆
″与石轴相切,与线段山F相交于点以,i历 =屁F,圆 ″被直线 截得的弦长为
`=罟
、/I「 彻叫,则 C的准线方程为
D .。 ~ V0 `t
A。 D· ^/~~~万 C. `=-1 D2
` `=^2
理科数学试题 第2页 (共 4页 )
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二、填空题:本题共4小题,每小题5分 ,共 20分 .
ry+3v~7≤ o,
13.若 另,y满足约束条件(3△ +2y-7≥0,则 z=另 +4y的最大值为~.'
k⒉-y-7≤ 0,
14.(另 一 +1)5的展开式中,含卢的项的系数为
专)2(⒉ ~.
15,已知△/BC的三内角彳,B,C满足 16shCoos(/-B)+8si12C=3π ,则△躬 C的面
积与△彳BC外接圆的面积之比为~.
16.己知 PC是三棱锥P-/BC外接球的直径 ,且 ″ ⊥BC,″ =6,三棱锥P-/BC体积
的最大值为 8,则其外接球的表面积为
三、解答题 :共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21题为必考
题 ,每个试题考生都必须作答.第 22、 23题为选考题 ,考生根据要求作答 .
(一 )必考题∶共 60分 .
17.(12分 )
某公司为了解旗下某产品的客户反馈情况 ,随机抽选了 250名 客户体验该产品并进
“ ” “ ”
行评价 ,评价结果为 喜欢 和 不喜欢 ,整理得到如下列联表 :
不喜欢 喜欢 合计
田
丿氵 50 100 150
女 50 50 100
合计 100 150 250
(1)是否有 99%的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系
(2)公司为进一步了解客户对产品的反馈 ,现从参与评价的女性客户中,按评价结果
“ ”
用分层抽样的方法随机抽取了4人 ,收集对该产品改进建议。己知评价结果为 喜欢 的
“ ”
客户的建议被采用的概率为 ,评价结果为 不喜欢 的客户的建议被采用的概率为 。
手 告
“ ” ”
若 建议 被采用 ,则赠送价值 200元的纪念品 ,“ 建议 未被采用 ,则赠送价值 100元的纪
念品。记这 4人获得的纪念品的总金额为ζ,求ζ的分布列及数学期望。
附 (四J-3c)2
PIˉ A'^2~面 刀 ˉ ’ P(K2≥ 七) 0.10 0.05 0.010 0.001
lri可iTI「 l歹:币瓦丽丌万
佬 2.706 3.841 6.635 10.828
18.(12分 )
1
已知数列 (四″l满足 四1=古 ,%-‰ +1^曰″‰+1=0·
(1)求 (四″)的通项公式;
1
(2)若 1数列 (时 满足 ,31=1,32″ -D2刀 ~1=32时 1ˉ 32刀 =亩 ,求证 ● ( h + + +V2 34 λt′2刀
3
一
4
理科数学试题 第3页 (共 4页 )
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19.(12分 )
如图 ,在三棱台/BC一孔B1C1中 ,/C1与 /1C相交于点 D,BB1⊥ 平面 /BC,'B=6,
BC=4,BB1=2,孔 C1=/I3,III=加舀,且 DE〃 平面 BCC1B1.
(1)求毕.些鱼的值; 卫
0△ I/Bc
(2)求直线 CC1与平面 成角的正弦值。
'1B1C所
^
20.(12分 )
己知椭圆 E:乓 十姿 =10)3)0)的 焦距为 4、/歹 ,直线和 与 E在 工第 象限的
曰 , `=鲁
交点P的横坐标为 3。
(1)求 E的方程 ;
(2)设直线九:`=h+昭 与椭圆E相交于两点″ ,Ⅳ ,试探究直线 P″与直线 PⅣ能否
关于直线 称。若能对称 ,求此时直线扬的斜率 ;若不能对称 ,请说明理由。
`1对
21.(12分 )
3-1·
已知 函数 r(男)=ex一 为号
(1)若r(J)有 3个极值点,求四的取值范围;
(2)若 万≥0,/0)≥ 销2+艿 ,求四的取值范围。
(二 )选考题 :共 10分 .请考生在第 22、 23题中任选一题作答。如果多做 ,则按所做的第
一题计分 .
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分 )
在直角坐标系豸‘”中,图形 C1的方程为≮h— 坐标原点 0为极点 ,艿 轴的
正 `=o半轴为极轴建立极坐标系 ,图形 C2的极坐标方程为p2c.o以sV+4`2sin2J-4=0.
(1)求 C2的直角坐标方程 ;
(2)已知点P的直角坐标为 (1,√了),图形C1与 C2交于/,B两点,直线以B上异于点P
的点g满足 =栏 点g的直角坐标。
{多升 谔},求
23.[选修4-5:不等式选讲l(10分 )
已 知 /(艿 )=|2万 一 2|十 |州 一 2元
(1)设函 2+8艿数g(艿)=-2为 十昭,若函数r(J)与 g(另)的图象无公共点,求 聊的取值范
围;
(2)令 2十
r(另 )的 最 小 值 为 r.若 曰 ,D∈ R,证 明 :夕 32一 曰3一 夕 一 D)r.
理科数学试题 第4页 (共 4页 )
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