开远一中2023—2024学年春季学期期中测试九年级数学科试卷
满分：100分 考试用时：120分钟
一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 2024 D. －2024
2. 2024年2月，我国载人月球探测任务新飞行器名称确定，新一代载人飞船名为“梦舟”，月面着陆器名为“揽月”，我国航天员计划在年前登陆与地球平均距离约为万千米的月球表面开展科学探索．其中，万千米用科学记数法表示为（ ）
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
3. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 估计的值在（ ）
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，一块直角三角板和直尺拼接，其中，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线，交于点E．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（ ）
A. B. C. D.
9. 知花小镇准备季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度 (单位∶cm)，数据整理如下，则m、n的值分别是（ ）
两批月季花树高度的频数：
131 135 136 140 144 148 149
第一批 1 3 0 4 2 2 0
第二批 0 1 2 3 5 0 1
两批月季花树高度的平均数、中位数、众数(结果保留整数)：
平均数 中位数 众数
第一批 140 140 n
第二批 141 m 144
A. B. C. D.
10. 如图，分别切⊙O于A、B，，半径为2，则的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. D.
11. 若方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值是（ ）
A. B. C. D.
12. 对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE=OD，则∠AOB=90 .则小意同学判断的依据是（ ）
A. 等角对等边 B. 线段中垂线上的点到线段两段距离相等
C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一”
13. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A. （3，2） B. （3，1） C. （2，2） D. （4，2）
14. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 （ ）
A. B. C. D.
15. 如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高，则下列结论不正确的是（）
A. 雕像的上部高度与下部高度的关系为：
B. 依题意可以列方程
C 依题意可以列方程
D. 雕塑下部高度为
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 因式分解：______________．
17. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于E、F，则的长为______cm．
18. 在一次演讲比赛中，某位选手的演讲内容、演讲表达的得分分别为95分，90分，将演讲内容、演讲表达的成绩按计算，则该选手的成绩是________．
19. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了____________．（结果保留）
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 计算：．
21. 如图，已知点，，，在一条直线上，，，，求证：．
22总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”．某企业扶贫小组准备在春节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖．该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知：2辆大货车与4辆小货车一次可以满载运输700件；5辆大货车与7辆小货车一次可以满载运输1450件．则1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
23. “校园手机”现象越来越受到社会的关注．为此记者小李随机调查了某校若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：：无所谓；：反对；：赞成），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整），一请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求家长“赞成”的人数是多少？
（2）针对随机调查情况，小李决定从九（1）班表示赞成的小华、小亮和小丁的这位家长中随机选择位进行深入调查，请你利用树状图或列表的方法，求出小亮和小丁的家长被同时选中的概率．
24. 如图，在中，，以为直径作，交于点是的切线且交于点，延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
25. 云南，以其美丽、丰饶、神奇而著称于世，一向被外界称为“秘境”，吸引着世界各地的游客．已知云南某景区门票价格如下表：
购票人数 票价
不超过20人 80元/人
超过20人但不超过50人 70元/人
超过50人 60元/人
某旅游公司有甲、乙两个旅游团队，计划到云南该景区旅游，两个团队游客人数之和60人，乙团队人数不超过20人，设甲团队游客人数有x人，且甲、乙两个团队分别购买门票，两个团队购买门票金额之和为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在“五一”黄金旅游周期间，该风景区对门票价格进行了调整：人数不超过20人时，门票价格不变；人数超过20人但不超过50人时，每张门票降价元；人数超过50人时，每张门票降价元，若甲、乙两个旅行团队在“五一”期间去游玩，且甲团队游客人数不超过50人，甲、乙两团队联合购票比分别购票最多节约1200元，求m的值．
26. 已知二次函数的图象经过点，．
（1）求点的坐标；
（2）设点、是该函数图象与轴的两个交点，而且．当，时，求出的取值范围．
27. 问题情境：
“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形翻折”为主题开展数学活动．
第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；
第2步：再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．
翻折后纸片如图1所示
图1 图2
（1）的度数为____________；
（2）若，求的最大值；
拓展应用：
（3）一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，求该矩形纸片的面积．开远一中2023—2024学年春季学期期中测试九年级数学科试卷
满分：100分 考试用时：120分钟
一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 2024 D. －2024
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了化简绝对值以及相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可作答．
详解】解：
∴的相反数是
故选：A
2. 2024年2月，我国载人月球探测任务新飞行器名称确定，新一代载人飞船名为“梦舟”，月面着陆器名为“揽月”，我国航天员计划在年前登陆与地球平均距离约为万千米的月球表面开展科学探索．其中，万千米用科学记数法表示为（ ）
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：．
故选：C．
3. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
4. 估计的值在（ ）
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，根据，即可求解．
【详解】解：∵，则，
∴，
故选：B．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂除法，单项式乘以单项式和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
6. 如图，一块直角三角板和直尺拼接，其中，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质，先由对顶角相等得到，再由三角形外角的性质得到，则由平行线的性质可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
7. 如图，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线，交于点E．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质和角平分线的概念得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】∵，，
∴，
由题意可得，是的平分线，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线性质，三角形外角的性质，尺规作角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
8. 下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据蓄水池的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可．
【详解】解：由蓄水池的横断面示意图可得，
水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，
故选：D．
【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
9. 知花小镇准备季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度 (单位∶cm)，数据整理如下，则m、n的值分别是（ ）
两批月季花树高度的频数：
131 135 136 140 144 148 149
第一批 1 3 0 4 2 2 0
第二批 0 1 2 3 5 0 1
两批月季花树高度的平均数、中位数、众数(结果保留整数)：
平均数 中位数 众数
第一批 140 140 n
第二批 141 m 144
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中位数，众数的求解，根据中位数，众数的定义分别进行求解即可．
【详解】解：由表中第一批数据可知，高度为的有4课，数量最多，
第一批众数为，
；
第二批12棵树的高度中从低到高，排在第六，第七的是140，144，
第二批的中位数，
，
故选：A．
10. 如图，分别切⊙O于A、B，，半径为2，则的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质定理，以及三角函数，连接、，根据切线长定理即可求得，在中利用三角函数即可求解，正确作出直角三角形是解题关键．
【详解】解：连接、、，
、是的切线，
，，，
，
在中，
，
．
故选：C．
11. 若方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，根据方程有两个不相等的实数根可得，即可求解．
【详解】解：方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
的最大整数值是，
故选：B．
12. 对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE=OD，则∠AOB=90 .则小意同学判断的依据是（ ）
A. 等角对等边 B. 线段中垂线上的点到线段两段距离相等
C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一”
【答案】B
【解析】
【分析】由垂直平分线的判定定理，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵CD=CE，OE=OD，
∴AO是线段DE的垂直平分线，
∴∠AOB=90°；
则小意同学判断的依据是：线段中垂线上的点到线段两段距离相等；
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行判断．
13. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A. （3，2） B. （3，1） C. （2，2） D. （4，2）
【答案】A
【解析】
【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴=，
∵BG=6，
∴AD=BC=2，
∵AD//BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴=，
∴=，
解得：OA=1，
∴OB=3，
∴C点坐标为：（3，2），
故选：A．
14. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可以写出和的个数，然后即可发现和的变化特点，从而可以写出十二烷的化学式．
【详解】由图可得，
甲烷的化学式中的有1个，有（个，
乙烷的化学式中的有2个，有（个，
丙烷的化学式中的有3个，有（个，
，
十二烷的化学式中的有12个，有（个，
即十二烷的化学式为，
故选：C．
15. 如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高，则下列结论不正确的是（）
A. 雕像的上部高度与下部高度的关系为：
B. 依题意可以列方程
C. 依题意可以列方程
D. 雕塑下部高度为
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：由题意得：，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：或（舍去），
，
雕塑下部高度为，
故A、C、D都正确，B不正确，
故选：B
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 因式分解：______________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再运用平方差公式继续分解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
17. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于E、F，则的长为______cm．
【答案】9.6
【解析】
【分析】根据菱形的性质得到根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∵
∴
∴，
故的长为,
故答案为：9.6．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
18. 在一次演讲比赛中，某位选手演讲内容、演讲表达的得分分别为95分，90分，将演讲内容、演讲表达的成绩按计算，则该选手的成绩是________．
【答案】93
【解析】
【分析】利用加权平均数的计算公式解答即可．
【详解】根据题意，得该选手的成绩是（分），
故答案为：93．
【点睛】本题考查了加权平均数计算公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
19. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了____________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查弧长的计算，根据砝码提起的长度等于半径为圆心角为的弧长，由此即可计算．
【详解】解：根据题意，砝码提起的长度为：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，化简二次根式，实数的运算，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，化简二次根式和零指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：
21. 如图，已知点，，，在一条直线上，，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得到，再证明，则利用“”可判断，所以，然后根据平行线的判定可得到结论．
【详解】解：证明：，
，
，
．
即，
在和中
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
22总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”．某企业扶贫小组准备在春节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖．该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知：2辆大货车与4辆小货车一次可以满载运输700件；5辆大货车与7辆小货车一次可以满载运输1450件．则1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
【答案】1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输150件，100件物资．
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输件，件物资，根据2辆大货车与4辆小货车一次可以满载运输700件；5辆大货车与7辆小货车一次可以满载运输1450件列出方程组求解即可．
【详解】解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输件，件物资．
由题意得，
解得：
答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输150件，100件物资．
23. “校园手机”现象越来越受到社会的关注．为此记者小李随机调查了某校若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：：无所谓；：反对；：赞成），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整），一请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求家长“赞成”的人数是多少？
（2）针对随机调查的情况，小李决定从九（1）班表示赞成的小华、小亮和小丁的这位家长中随机选择位进行深入调查，请你利用树状图或列表的方法，求出小亮和小丁的家长被同时选中的概率．
【答案】（1）30 （2）
【解析】
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）由的人数和所占百分比求出共调查的中学生家长人数，即可解决问题；
（2）列表格，再由概率公式求解即可．
小问1详解】
解：家长“赞成”的人数是人；
【小问2详解】
（2）列表如下：
小华 小亮 小丁
小华
（小华，小亮） （小华，小丁）
小亮 （小亮，小华）
（小亮，小丁）
小丁 （小丁，小华） （小丁，小亮）
24. 如图，在中，，以为直径作，交于点是的切线且交于点，延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，理解切线的性质，圆周角定理，熟练掌握解直角三角形是解决问题的关键．
（1）连接，证得，再根据切线的性质得，据此即可得出结论；
（2）连接，根据得，然后由勾股定理即可求出的长．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
是的切线
，
；
【小问2详解】
解：连接，
是的直径，
，
，
由（1）可知，
，
，
∴，
设，则，
在中，，
解得，
∴．
25. 云南，以其美丽、丰饶、神奇而著称于世，一向被外界称为“秘境”，吸引着世界各地的游客．已知云南某景区门票价格如下表：
购票人数 票价
不超过20人 80元/人
超过20人但不超过50人 70元/人
超过50人 60元/人
某旅游公司有甲、乙两个旅游团队，计划到云南该景区旅游，两个团队游客人数之和为60人，乙团队人数不超过20人，设甲团队游客人数有x人，且甲、乙两个团队分别购买门票，两个团队购买门票金额之和为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在“五一”黄金旅游周期间，该风景区对门票价格进行了调整：人数不超过20人时，门票价格不变；人数超过20人但不超过50人时，每张门票降价元；人数超过50人时，每张门票降价元，若甲、乙两个旅行团队在“五一”期间去游玩，且甲团队游客人数不超过50人，甲、乙两团队联合购票比分别购票最多节约1200元，求m的值．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）根据甲团队人数为x人，乙团队人数不超过20人，得到x≥40，分两种情况： 40≤x≤50和50＜x≤60两种情况即可解答；
（2）根据甲团队人数不超过50人，所以x≤50，故y＝（70 m）x＋80（60 x）＝ （10+m）x＋4800，据此得当x＝40时，y取得最大值，y最大＝ 40m＋4400（元），两团联合购票需60（60 2m）＝ 120m+3600（元），根据题意得出 40m＋4400 1200= 120m+3600，解之即可．
【小问1详解】
解：由题意可得：，解得：，
∴当时，；
当时，；
∴y与x之间的函数关系式为：．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，即，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，（元），
∵两团联合购票需花费：，
∴，解得：，
∴m的值为5．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数解析式，利用一次函数的性质求得最大值．注意确定x的取值范围．
26. 已知二次函数的图象经过点，．
（1）求点的坐标；
（2）设点、是该函数图象与轴的两个交点，而且．当，时，求出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
（1）将代入解析式求出与的关系，再将代入解析式求解；
（2）分类讨论图象开口向上，向下两种情况，结合图象，根据抛物线经过定点，求解．
【小问1详解】
解：将代入解析式得解得：，
在抛物线上，
，
，
；
【小问2详解】
解：①当时，
抛物线过，，，，
当时，，
可得，
解得：；
当，，
可得恒成立，
②当时，
当时，，
可得，
解得：；
当，，
可得不成立，
时，不成立，
综上所述： ．
27. 问题情境：
“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动．
第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；
第2步：再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．
翻折后的纸片如图1所示
图1 图2
（1）度数为____________；
（2）若，求的最大值；
拓展应用：
（3）一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，求该矩形纸片的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由折叠性质得出，结合平角定义，化简得，即可作答．
（2）设则设，由矩形、折叠性质得，证明，即，代入数值进行计算，得，结合二次函数的图象性质，即可作答．
（3）补全矩形，过点作，连接，由折叠得出，，运用勾股定理，得，则，即可作答．
【详解】解：（1）如图：
∵点沿翻折，使点落在矩形内部处，与所在直线重合，点落在直线上的点处，
∴，
∵，
∴，
即的度数为；
（2）设则设，
∵折叠
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴开口向下，在时，有最大值，
把代入，得出；
∴的最大值为
（3）如图：补全矩形，过点作，连接
由折叠情景，得出
由勾股定理，得出
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，二次函数的实际应用，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
