专题40.图形变换模型--翻折（折叠）模型
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。
涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】
翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
解决翻折题型的策略：
1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；
2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
模型1.矩形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·浙江·一模）如图，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，连接，将沿翻折，使点B的对应点恰为点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据矩形性质、折叠性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，
由折叠性质得，∵点E为的中点，∴，
在中，，，
由勾股定理得，解得，
在中，，故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质和勾股定理建立方程思想是解答的关键．
例2.（2021·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为_______；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为_______．
【答案】 1
【分析】第一步：设EF与AA’交于点O，连接AF，易证明△AOE△ADC，利用对应边成比例可得到OA=2OE，由勾股定理可求出OE=，从而求得OA及OC；由AD∥BC，易得△AOE∽△COF，由对应边成比例可得AE、FC的关系式，设BF=x，则FC=8-x，由关系式可求得x的值；
第二步：连接NE，NF，根据折叠的性质，得到NF=NE，设B’N=m，分别在Rt△和Rt△中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m，最后得出结果．
【详解】如图所示，连接AF，
设EF与AA’交于点O，由折叠的性质得到AA’⊥EF，
∵四边形ABCD是矩形∴∠ADC=90°，CD=AB=4 ，AD∥BC
∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC ∴△AOE△ADC，
∴ ，∴OA=2OE，在直角△AOE中，由勾股定理得： ，
∴OE=，∴OA=，在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC= ，
∴OC=，令BF=x，则FC=8-x，∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，
∴ ，即7AE=3FC∴3(8-x)=7×3解得：,∴的长为1．
连接NE，NF，如图，根据折叠性质得：BF=B’F=1，MN⊥EF，NF=NE，设B’N=m，
则 ，解得：m=3，则NF= ，
∵EF=，∴MF=，∴MN=，故答案为：1，．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．
例3．（2022·湖北襄阳·二模）如图，如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，然后将其展开， E为BC边上一点，再将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则 = ____
【答案】
【分析】根据轴对称、矩形、直角三角形斜边中线的性质，得，根据轴对称的性质，得、；再根据矩形和勾股定理的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ∴，
∵点F是线段AQ的中点∴
设∴
∵将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，
∴， ∴设，
如图，过点F作，交CD于点G，过点F作，交AD于点K，延长KF，交BC于点H
∴四边形、为矩形∴，
∵
∴ ∵∴ ∴
在直角中， ∴∴
在直角中， ∴
∴ ∴∴ 故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称、矩形、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
例4．（2022·浙江·宁波一模）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由折叠的性质可得，，由“”可证，可得，，通过证明四边形是正方形，可得，在中，利用勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，过点作于，
∵将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，
∴，，
在和中，，
∴，∴，
∵，，∴四边形是矩形，
又∵，∴四边形是正方形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
例5．（2023·江苏盐城·统考中考真题）综合与实践
【问题情境】如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，.
【活动猜想】（1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_________.
【问题解决】（2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上.
【深入探究】（3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由.
（4）在（3）的情形下，设与，分别交于点，，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由.
【答案】（1）菱形；（2）证明见解答；（3），证明见解析；（4），理由见解析
【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；（2）设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，，，运用勾股定理可得，运用勾股定理逆定理可得，进而可得，即可证得结论；
（3）设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案；
（4）过点作于，设交于，设，，利用解直角三角形可得，，即可得出结论．
【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形．
理由：设与交于点，如图，
由折叠得：，，，
四边形是矩形，，，
，，四边形是菱形．故答案为：菱形．
（2）证明：四边形是矩形，，，，，，，
，，
如图，设与交于点，过点作于，
由折叠得：，，，，
，，，即，，，
，，，，即，
，，，，
，，，，
，点，，在同一条直线上．
（3）当时，始终有与对角线平行．
理由：如图，设、交于点，
四边形是矩形，，，，
设，则，由折叠得：，，
，，，
，，，
，即，，，，；
（4），理由如下：如图，过点作于，设交于，
由折叠得：，，，设，，
由（3）得：，，，
，，，
四边形是矩形，，，，
，，，
，，
，，，
，，
，即．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大．
模型2.正方形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2022·四川成都·二模）如图，在正方形ABCD中，，E为BC中点，沿直线DF翻折，使点A的对应点A′恰好落在线段AE上，分别在AD，上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点与点D重合，则线段MN的长为________．
【答案】##
【分析】过点A作AH⊥于点H，设DF与AE交与点O，由折叠变换可得：DF为的垂直平分线，点N为的中点，通过证明=∠AEB，利用直角三角形的边角关系，得到，利用勾股定理求得AO，DO，利用三角形的面积公式求得AH，利用勾股定理求得DH，利用平行线的性质得出比例式即可求得MN的值．
【详解】解如图，MN为折痕，即点N为的中点， 过点A作AH⊥于点H，设DF与AE交与点O，
∵沿直线DF翻折△ADF，使点A的对应点恰好落在线段AE上，
∴DF为的垂直平分线． ∴，，
∵，∠EAB+∠AEB=90°， ∴， ∴=tan∠AEB= ，
∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=2． ∵E为BC中点， ∴BE=BC=1． ∴．
∵， ∴ ， 设AO=k，则DO=2k．
∵AO2+DO2=AD2， ∴k2+（2k）2=22． 解得：（负数不合题意舍去）．
∴∵∴．
∴ ∴ ． ∵， ∴．
∴ ． ∵点N为的中点，，
∴DN=1． ∴ ． 故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等变换中的翻折问题，勾股定理，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，利用翻折变换是全等变换，得到对应点的连线被折痕垂直平分是解题的关键．
例2．（2023·河南·一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是AB边上一动点，将△BEF沿EF折叠得到，连接，作关于对称的，连接，．当是等腰三角形时，BF的长为______．
【答案】2或2
【分析】先判断，然后分时和时两种情况求解即可．
【详解】解：由题意可知，
∴四边形是菱形，∴点在以点E为圆心，2为半径的圆上运动，当点D，，E共线时，最短，最小值为＞2，∴，
∴当是等腰三角形时，分两种情况讨论．
①当时，∵，∴，
∴点在CD边上，如图(1)，∴，∴四边形是正方形，∴，
∵∠B=90°，∴，∴，
∵，，∴，∴四边形是矩形，∴BF==2．
②当时，如图(2)，∵四边形是菱形， ，
∴，∴CD垂直平分，∴，∴是等边三角形，
∴，∴=120°，∴，∴．故答案为：2或2．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方向的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，分类讨论是解答本题的关键．
例3．（2024·四川一模）如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边的点P处（不与点A，点D重合），点C落在G点处，PG交DC于点H，连接BP，BH．BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①PB平分∠APG；②PH=AP+CH；③BM=BP，④若BE=，AP=1，则S四边形BEPM=，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
【答案】B
【分析】根据折叠的性质，，，从而得到，根据直角三角形两锐角互余，得到，即可判定①；过点B作BQ⊥PH，利用全等三角形的判定与性质，得到，，即可判定②；通过证明为等腰直角三角形，即可判定③；根据求得对应三角形的面积，即可判定④．
【详解】解：由题意可得：，，
∴，，∴，
由题意可得：，
∴，∴PB平分∠APG；①正确；
过点B作BQ⊥PH，如下图：∴
在和中，∴∴
∵四边形ABCD为正方形∴，又∵∴，
∴∴，②正确；
由折叠的性质可得：EF是PB的中垂线，∴
由题意可得：，，∴，
∴，∴，
∴，∴为等腰直角三角形，∴，即，
∴BM=BP，③正确；若BE=，AP=1，则，在中，
∴，，∴，∴，
，④错误，故选B，
【点睛】此题考查了正方形与折叠问题，涉及了折叠的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性比较性，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．
例4．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形．（1）概念理解：当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________．
（2）操作验证：用正方形纸片进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接；
第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；
第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为．
试说明：矩形是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）将代入，即可求解．（2）设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得，设，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；（3）仿照（2）的方法得出2阶奇妙矩形．（4）根据（2）的方法，分别求得四边形的周长与矩形的周长，即可求解．
【详解】解：（1）当时，，故答案为：．
（2）如图（2），连接，
设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得
设，则根据折叠，可得，，
在中，，∴，
在中，∴
解得：∴∴矩形是1阶奇妙矩形．
（3）用正方形纸片进行如下操作（如图）：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，再对折，折痕为，连接；
第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；
第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为．
矩形是2阶奇妙矩形，
理由如下，连接，设正方形的边长为，根据折叠可得，则，
设，则 根据折叠，可得，，
在中，，∴，
在中，
∴解得：∴
当时，∴矩形是2阶奇妙矩形．
（4）如图（4），连接诶，设正方形的边长为1，设，则，
设，则根据折叠，可得，，
在中，，∴，
在中，
∴整理得，
∴四边形的边长为
矩形的周长为，∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值
【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
模型3.菱形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·宁夏·银川市二模）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处（不与B，D重合），折痕为EF，若DG=BG，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点E作EH⊥BD于点H，由菱形的性质可证△ABD为等边三角形，设BE=x，则EG=AE=4-x，BH=BE sin30°= ，EH=BE cos30°=，则GH=3-，在Rt△GEH中，再由勾股定理得方程，解方程即可求得．
【详解】解：如图，过点E作EH⊥BD于点H，
由折叠的性质得：EG=AE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=BC，
又∵∠C=60°，∴∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=4，
又∵DG=BG，∴，∴BG=3，
设BE=x，则EG=AE=4-x，在Rt△EHB中，∠HEB=90°-60°=30°，
∴BH=BE sin30°=，EH=BE cos30°=，∴GH=3-，
在Rt△GEH中，由勾股定理得：，解得：x=，即BE=，故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键．
例2．（2023·河南·一模）如图，在菱形中，，，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、、，当为等腰三角形时，的长为______．
【答案】或或或或
【分析】分类讨论：如图，当时，如图，当时，如图中，当时，分别求出即可．
【详解】解：如图 ，当时，点与重合或在点处．
当与重合时，与也重合，此时；
在菱形 中， ， 作 于 ，
在 中， ， ， ， ；
如图 ，当 时，点 与 重合或在 处，
点 与 重合， 是 的垂直平分线， ，
当 在 处时，过 作 于 ， 则可得 ，
则， ；
如图 中，当 时， ， ．
综上所述：当 为等腰三角形时， 的长为 或 或 或 或 ．
故答案为 或 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，分类讨论是解题关键．
例3．（2023·河北·邢台市二模）如图1，菱形纸片的边长为2，．如图2，翻折，，使两个角的顶点重合于对角线上一点，，分别是折痕，设（），下列判断：①当时，的长为；②的值随的变化而变化；③六边形面积的最大值是；④六边形周长的值不变．其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】先确定出△ABC是等边三角形，进而判断出△BEF是等边三角形，当x＝1时，求出DP＝BD，即可判断出①正确，再用x表示出EF，BP，DP，GH，即可求出EF+GH，判断出②错误，利用菱形的面积减去两个三角形的面积判断出③错误，利用周长的计算方法即可判定出④正确．
【详解】解：∵菱形ABCD的边长为2，∴AB＝BC＝2，
∵∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，BD＝2，由折叠知，△BEF是等边三角形，
当x＝1时，则BE＝1，BM=BEsin60°=，由折叠知，BP＝2×＝，DP＝，所以①正确，
∵BE＝x，∴AE＝2﹣x，∵△BEF是等边三角形，∴EF＝x，
∴BM＝EM＝×EF＝x，∴BP＝2BM＝x，∴DP＝BD﹣BP＝2﹣x，
∴DN＝DP＝(2﹣x)，GN＝=(2﹣x)∴GH＝2GN＝2-x，∴EF+GH＝2＝AC，所以②错误；
△BEF的面积为：×x×x=，△GHD的面积为：×(2﹣x)×(2-x)=，
六边形AEFCHG面积＝S菱形ABCD﹣S△BEF﹣S△DGH
＝×2×2﹣﹣＝﹣（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，六边形AEFCHG面积最大为，所以③错误，
六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+HG+AG＝AE+BE+FC+BF+DG+AG＝AB+CB+DA＝6是定值，
所以④正确，即：正确的有①④，故选：B．
【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，菱形的面积公式，解直角三角形，解本题的关键是用x表示出相关的线段长．
例4．（2022·湖北武汉·校联考一模）问题背景: 如图1，点E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，求证：．尝试应用:：如图2，在平行四边形ABCD中，点F在DC边上，将△ADF沿AF折叠得到△AEF，且点E恰好为BC边的中点，求的值． 拓展创新：如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，FC＝2．EC＝6．请直接写出的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）= ．
【分析】问题背景：根据AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，推出△ABE∽△ECD，即可证明结论；
尝试应用：在AB边取点G，使GE=BE，易证△AGE∽△ECF，则，从而可以求出的值；
拓展创新：作FM=FD，FN⊥AD，易证△AMF∽△FCE，则，再证明△AEF∽△FND，设AM=x，FM=FD=3x，则AD=CD=3x+2，MD=2x+2，HD=x+1，再根据，求出x，进而可以得出答案．
【详解】解：问题背景：证明：∵AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，∠BAE=∠CED=90°-∠AEB，
∴∠BAE=∠CED，∴△ABE∽△ECD，∴．
尝试应用：在AB边取点G，使GE=BE，如图2，则∠B=∠BGE，
又∵∠B+∠C=180°，∠BGE+∠AGE=180°，∴∠AGE=∠C，
由题意可知：AE=AD=BC=2BE，EF=FD，∠B=∠D=∠AEF，
又∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC，∴∠BAE=∠FEC，∴△AGE∽△ECF∴，
又∵GE=BE，AE=BC=2BE，EF=FD，∴．
拓展创新：作FM=FD，FN⊥AD，如图3，∴∠D=∠FMD，
∵∠FMD+∠AMF=180°，∠C+∠D=180°，∴∠AMF=∠C，
∵∠CFE+∠AFE=∠MAF+∠D，∠AFE=∠D，∴∠CFE=∠MAF，∴△AMF∽△FCE，
∴，设AM=x，FM=FD=3x，则AD=CD=3x+2，MD=2x+2，ND=x+1，
∵∠AFE=∠D，∠AEF=∠FND=90°，∴△AEF∽△FND，
则，即，∴x=5，∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质及判定方法是解题的关键．
模型4.三角形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．
【答案】17或
【分析】由勾股定理可以求出的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出的长．
【详解】解：在中，，
（1）当时，如图1，过点作，交的延长线于点，
由折叠得：，，设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即：，解得：（舍去），，因此，．
（2）当时，如图2，此时点与点重合，
由折叠得：，则，设，则，，
在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案为：17或．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
例2．（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ．
【答案】
【分析】过点作于，证明，得出，根据，得，设，，则，则，在中，，在中，，则，解方程求得，则，，勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于，
∵平分交于点，∴,∴∴
∵折叠，∴，∴,又∵∴∴∴
∵，，则，∴∴，，
∵设，，则，则，
∵∴ 在中，
在中，∴
即解得： ∴，
则∴故答案为：．
【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
例3．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接.若于点，，则的长为 ．
【答案】
【分析】取中点，连接，取中点，连接，作于点．设，由折叠可知则，得到，从而推导出，由三角形中位线定理得到，从而推导出，得到四边形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可．
【详解】解：取中点，连接，取中点，连接，作于点．
∵，为的中点，∴，，．
∵点是的中点，∴是的中位线，∴，则于点，
设，由折叠可知则，∵，∴，，
又由折叠得，，∴，
∴，即，∴，解得：，∴，
∵是的中位线，∴，，∴，由折叠知，，
在和中，，∴，∴．
∵，∴，∴．
又∵，且，∴，∴，
∴，∴四边形是正方形，∴，∴．
在 中，，∴，解得：，
∴，，即，，
在中，．故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性质等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解．
例4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．
【答案】
【分析】先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，，然后将两个等式相加即可得．
【详解】解：是等边三角形，，
∵折叠得到，，，，
平分等边的面积，，，
又，，
，，
，，
解得或（不符合题意，舍去），故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
模型5.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）
如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA
特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°
例1．（2023·浙江宁波·九年级校考期末）如图，是的外接圆，，把弧沿弦向下折叠交于点D，若点D为中点，则长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质和圆周角定理可得可得，可证，可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，∴，∵点D为中点，∴，
∵弧沿弦向下折叠交于点D，∴，∴，
∵，∴，又∵，∴，
∴，∴，∴（负值舍去），故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
例2．（2023·广东广州·统考一模）如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则的度数等于( )．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据优弧所对的圆周角为，得到，然后根据，计算求得的度数．
【详解】解：如图，连接，
是直径，，
，．
根据翻折的性质，所对的圆周角为，优弧所对的圆周角为，
，，
，故选:B．
【点睛】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据题意作出直径所对的圆周角，构造出直角三角形是解答此题的关键．难点是理解.
例3．（2022春·湖北荆州·九年级专题练习）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】C
【分析】连结AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D′，连结CD′，BD，设AC=x，根据直径时圆周角性质得出∠ACB=90°，利用三角函数求出，然后利用勾股定理构建方程，即，求出，，利用面积桥求出斜边上高CE与AE，根据BC为折痕，点D与点D′对称，得出∠ABC=∠D′BC， ，可得AC=CD，利用等腰三角形性质求出AE=DE=2，利用弓形AC=弓形DC进行面积转化求即即可．
【详解】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D′，连接CD′，BD′
设AC=x，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
∵，∴，
∴，即，解得，，
∴，∴，∴AE=，
∵BC为折痕，点D与点D′对称，∴∠ABC=∠D′BC，，
∴，∴AC=CD，∵CE⊥AD，∴AE=DE=2，AD=4，∴弓形AC=弓形DC，
∴S阴影=S△ACD=．故选：C．
【点睛】本题考查圆周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积，掌握圆周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积是解题关键．
例4．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（ ）
①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACB
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据折叠的性质可得AD＝CD；根据线段中点的定义可得AD＝BD；根据垂径定理可作判断③；延长OD交⊙O于E，连接CE，根据垂径定理可作判断④．
【详解】过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，
由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；
∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正确；
∴，由折叠得：，∴；故③正确；
延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，
∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．
例5．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明，从而可得到弧AC的度数，由弧AC的度数可求得∠B的度数．
【详解】解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．
∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，∴．同理：．
又∵F是劣弧BD的中点，∴．∴．
∴弧AC的度数=180°÷4=45°．∴∠B=×45°=22.5°．
∴所在的范围是；故选：B．
【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．
例6．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使折叠后的弧恰好经过圆心O，点P是优弧上的一个动点（与A、B两点不重合），若⊙O的半径是2cm，则△APB面积的最大值是 cm2
【答案】
【分析】过点P作于点T，过点O作于点H，交于点K，连接AO，AK，PO，解直角三角形求出AB，求出PT的最大值，可得结论．
【详解】解：如图，过点P作于点T，过点O作于点H，交于点K，连接AO，AK，PO．
由题意得AB垂直平分线段OK，∴．
∵，∴，∴．
∴，∴．
∵，∴，∴．
∵，∴ ，∴PT的最大值为3，
∴的面积的最大值为．故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题关键是求出PT的最大值．
课后专项训练
1．（2023·浙江·一模）如图，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，连接，将沿翻折，使点B的对应点恰为点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据矩形性质、折叠性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，
由折叠性质得，∵点E为的中点，∴，
在中，，，
由勾股定理得，解得，
在中，，故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质和勾股定理建立方程思想是解答的关键．
2．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质，得出 ，，进而得到，在中，由特殊锐角的三角函数可求即可．
【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，，∴
∵四边形是矩形，∴，，
∴，在中，，
∴，∴∴，
在中，，∴，∴，故选：．
【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠轴对称，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，以及直角三角形的边角关系是解题的关键．
3．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先证明，求出，连结，设与交于点F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题．
【详解】解：∵矩形的边，，
∴，，，由题意知，∴，
又∵，∴，∴，
由折叠知，，∴，∴，即，
连接，设与交于点F，∴，
∵，∴四边形是矩形，
∴，，，∴，
由折叠知，，∴，
∵在中，，∴，
解得：，∴点的坐标是，故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键．
4．（2023·福建莆田·九年级校考期末）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接AC、OB、OD、CD，作于点F，作于点E，由垂径定理可知于点D，由勾股定理可知OD的值，再利用折叠性质判断AC=DC，利用等腰三角形性质得出，再证明四边形ODFE为正方形，得到△CFB为等腰三角形，计算出弧AC所对圆周角度数，进而得弧AC所对圆周角度数，再代入弧长公式可得弧长．
【详解】解：连接AC、OB、OD、CD，作于点F，作于点E，
由垂径定理可知于点D，
又
CA、CD所对的圆周角为、，且
，△CAD为等腰三角形
又四边形ODFE为矩形且OD=DF=四边形ODFE为正方形
故△CFB为等腰三角形，所对的圆心角为故选A．
【点睛】本题考查了弧长的计算、圆的折叠的性质、圆周角定理和垂径定理，熟练掌握性质定理和弧长公式是解题的关键．
5．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为 ．
【答案】
【分析】如解析中的图，连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C’，连结EF、AC’，可得AC’=AD=AC，EOEF - OF，根据当E、O、F三点共线时，EO的值最小为EF-OF，求出EF的长，最后根据勾股定理可得答案．
【详解】解：连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C’，连结EF、AC’，
则AC’=AD=AC，EOEF - OF，∴EO的最小值为EF - OF，
当E、O、F三点共线时，EO的值最小为EF-OF，
∵AD=AC，且E为DC的中点，∴AEDC，
∴EF=AB=，OF=，∴OE的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，最路线的问题，直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是添加辅助线．
6．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，．点E为边的中点，点F为边上一点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则的长是 ．
【答案】或
【分析】分两种情况：当点在点左侧时，设交于点，过点作于点，则四边形为矩形，，由折叠可知，，由平行线的性质可得，于是，，利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求得，，于是，，则，代入计算即可得到答案；当点在点右侧时，设交于点，过点作于点，同理可得，，四边形为矩形，，利用相似三角形的性质求得，，进而去除，则，代入计算即可求解．
【详解】解：当点在点左侧时，如图，设交于点，过点作于点，
则，点为边的中点，，
四边形为矩形，，，，，
，四边形为矩形，，，
由折叠可知，，，，，
，即，，，，
在中，，，，，
，，，
，即，，，
，，；
当点在点右侧时，如图，设交于点，过点作于点，
同理可得：，，四边形为矩形，，，
在中，，
，，即，
，，，．
综上，的长是或．故答案为：或．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
7．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于 ．
【答案】
【分析】过点A作于点Q，根据菱形性质可得，根据折叠所得，结合三角形的外角定理得出，最后根据，即可求解．
【详解】解：过点A作于点Q，∵四边形为菱形，，
∴，，∴，
∵由沿折叠所得，∴，∴，
∵，，∴，则，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
8．（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长是 ___________．
【答案】
【分析】先利用勾股定理求出，根据折叠的性质可知：，，进一步求出，设，则，由勾股定理得，解得，则．
【详解】解：在中，由勾股定理得，
根据折叠的性质可知：，，∵，∴，
设，则，在中，由勾股定理得
∴，解得∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确利用勾股定理结合方程的思想求解是解题的关键．
9．（2023秋·四川雅安·八年级统考期末）在中，，点D在边上，连接，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点E处，若，，则的长是 ．
【答案】
【分析】过点作于，于，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长．
【详解】解：如图，过点作于，于，
将沿直线翻折，，，，
，，，
，，，
，，
，
，，，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，求出的长是本题的关键．
10．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．
【答案】
【分析】可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，，，
由折叠得：，，，，
，，，，
四边形是平行四边形，． 故答案：．
【点睛】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
11．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．
【答案】/
【分析】过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质以及已知条件得出，进而求得，根据折叠的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，
∵在中，，，，
∴，∴，
在中，
∵将沿折叠得到，当点恰好落在上时，∴
又∴∴∴
设，∴在中，
∴解得：（负整数）故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
12．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，现将矩形沿折叠，点C翻折后交于点G，点D的对应点为点H，当时，线段的长为 ．
【答案】5
【分析】由矩形的性质可知，由折叠可知，，易得，设，则，由勾股定理可得，即，可得，，可证，可得．
【详解】解：由矩形的性质可知：，
由折叠可知：，，则，∴，
∵，，，∴，
设，则，
由勾股定理可得：，即，解得，
∴，，∴，∴，故答案为：5．
【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定及性质，证明是解决问题关键．
13．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，长方形沿着对角线翻折，点C落在点处，与相交于点E，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据翻折的性质，证明，然后求出，最后根据勾股定理即可求出结果．
【详解】由翻折的性质可知，在与中，，
，，，，
长方形，，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理和矩形的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
14．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图（1），在等腰直角三角形纸片中，，，点D，E分别为上的动点，将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上，如图（2），再将纸片沿翻折，点C的对应点为，如图（3）.当，的重合部分（即阴影部分）为直角三角形时，的长为______．
【答案】1或
【分析】分两种情况：当时，此时可得E是的中点，得；当时，此时D、A重合，是的平分线，由勾股定理易得结果．
【详解】解：∵，，∴；
①如图，当时，由折叠性质得：，，
∴；
∵，，
∴，∴，∴，
此时B、重合，则，即点E是的中点，∴；
②如图，当时，所在直线重合，
∴，∴，此时D、A重合，在边上，
∴是的平分线，∴，
由勾股定理，∴．
在中，，由勾股定理得：；故答案为：1或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，熟练掌握这些知识是关键，注意分类讨论．
15．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为 ；折痕的长为 ．
【答案】 60°/60度
【分析】根据对称性作O关于CD的对称点M，则点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可．
【详解】作O关于CD的对称点M，则ON=MN
连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N
∵将沿弦折叠∴点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上
∵将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．
∴ME⊥OA，MF⊥OB∴
∵∴四边形MEOF中
即的度数为60°；∵，
∴（HL）∴
∴∴
∵MO⊥DC∴
∴ 故答案为：60°；
【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键．
16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为 ．（结果保留与根号）
【答案】
【分析】根据折叠的性质得出是等边三角形，则，，根据阴影部分面积即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，设交于点
∵将沿弦翻折，使点与圆心重合，∴，
又∴，∴是等边三角形，
∴，，∴,
∴阴影部分面积故答案为：．
17．（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．
(1)求证：；(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由折叠和正方形的性质得到，则，进而证明，再由平行线的性质证明即可证明；
（2）如图，延长交于点．证明得到，，
设，则，．由，得到．则．由勾股定理建立方程，解方程即可得到．
【详解】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得，．
∴．∴，即，
∵四边形是正方形，∴．∴．∴．
（2）解：如图，延长交于点．∵，∴．
又∵，正方形边长为3，∴∴，
∴，，设，则，∴．
∵，即，∴．∴．
在中，，∴．解得：（舍），．∴．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
18．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．
探究发现：如图1，在中，，．
（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：；
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．
【答案】（1）（2）证明见解析，拓展应用：
【分析】（1）利用等边对等角求出的长，翻折得到，，利用三角形内角和定理求出，，，表示出即可；
（2）证明，利用相似比进行求解即可得出；
拓展应用：连接，延长至点，使，连接，得到为黄金三角形，进而得到，求出的长即可．
【详解】解：（1）∵，，∴，
∵将折叠，使边落在边上，
∴，，
∴，；故答案为：；
（2）证明：∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，整理，得：，解得：（负值已舍掉）；
经检验是原分式方程的解．∴；
拓展应用：如图，连接，延长至点，使，连接，
∵在菱形中，，，∴，
∴，
∴，∴，∴为黄金三角形，
∴，∴．即菱形的较长的对角线的长为．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为．
19．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝ °，＝ ；
(2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长；
(3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ．
【答案】(1)45；2(2)；(3)2或
【分析】（1）根据正方形的性质和翻折的性质，可得出；设，用x表示出的三条边，然后根据勾股定理列出方程，即可得出的长；（2）如图，由折叠性质和平分，得出，即可求出的度数；先证明和是等腰直角三角形，得出，，即可求出的长； （3）根据F为的三等分点，分两种情况：当时，过点E作，交的延长线于点P，连接，证明，得出，进而求出的长；当时，点E作，交的延长线于点P，连接，根据，计算即可求出的长．
【详解】（1）∵，四边形是矩形，
∴四边形是正方形，∴，，
∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，
∴，，∵，∴，
∵F为的中点，∴，
∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，
∴，，设，则，∴，
∵，∴，∴，∴．故答案为：45；2；
（2）如图2，延长，交于点M，
∵平分，∴，由折叠的性质可知，，，
∴，∴，
∵，，∴和均为等腰直角三角形，
∴，，∴，即，解得．
（3）分两种情况：①当时，如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，
由折叠的性质可知，，，∴，
∵，∴，，∴，
在和中， ，∴，∴，
设，，，∴，解得，∴．
②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，
由折叠的性质可知，，，∴，
∵，∴，，设，，，
∵，∴，解得，∴．
综上可知，的长为2或．
【点睛】本题主要综合考查了矩形的折叠问题，涉及到正方形的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，属于压轴题，难度较大，熟练掌握并灵活运用相关知识进行分类讨论是解题的关键．
20．（2022·广西南宁·统考三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了如下的操作及问题：如图1，同学们先画出半径为的，将圆形纸片沿着弦折叠，使对折后劣弧恰好过圆心，同学们用尺子度量折痕的长约为，并且同学们用学过的知识验证度量的结果是正确的．
验证如下：如图1，过点作于点，并延长交虚线劣弧于点，∴，
由折叠知，，连接，在中，，
根据勾股定理得，，
∴，
通过计算：，同学们用尺子度量折痕的长约为是正确的．
请同学们进一步研究以下问题：
(1)如图2，的半径为，为的弦，，垂足为点，劣弧沿弦折叠后经过的中点，求弦的长（结果保留根号）；(2)如图3，在中劣弧沿弦折叠后与直径相交于点，若，，求弦的长（结果保留根号）．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）连接，延长交于点，求出，再根据勾股定理可得出结论；
（2）作点关于弦的对称点，连接并延长与的延长线相交于，连接，先证明，可得，，
再证明，根据相似三角形的性质求出，利用勾股定理可得出结论．
【详解】（1）解：连接，延长交于点，由题意可知，
∵是的中点，∴，∴，
∵，∴，，
∴，∴；
（2）解：作点关于弦的对称点，连接并延长与的延长线相交于，连接，
，，，
有折叠性质可知：，，，∴，
∴，，∴，．
∵四边形是圆内接四边形，∴，
，∴，
∵，∴，∴，
即．则，
又∵，∴，∴．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，构造出直角三角形是解本题的关键．
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专题40.图形变换模型--翻折（折叠）模型
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。
涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】
翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
解决翻折题型的策略：
1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；
2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
模型1.矩形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·浙江·一模）如图，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，连接，将沿翻折，使点B的对应点恰为点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
例2.（2021·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为_______；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为_______．
例3．（2022·湖北襄阳·二模）如图，如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，然后将其展开， E为BC边上一点，再将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则 = ____
例4．（2022·浙江·宁波一模）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·江苏盐城·统考中考真题）综合与实践
【问题情境】如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，.
【活动猜想】（1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_________.
【问题解决】（2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上.
【深入探究】（3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由.
（4）在（3）的情形下，设与，分别交于点，，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由.
模型2.正方形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2022·四川成都·二模）如图，在正方形ABCD中，，E为BC中点，沿直线DF翻折，使点A的对应点A′恰好落在线段AE上，分别在AD，上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点与点D重合，则线段MN的长为________．
例2．（2023·河南·一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是AB边上一动点，将△BEF沿EF折叠得到，连接，作关于对称的，连接，．当是等腰三角形时，BF的长为______．
例3．（2024·四川一模）如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边的点P处（不与点A，点D重合），点C落在G点处，PG交DC于点H，连接BP，BH．BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①PB平分∠APG；②PH=AP+CH；③BM=BP，④若BE=，AP=1，则S四边形BEPM=，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
例4．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形．（1）概念理解：当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________．
（2）操作验证：用正方形纸片进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接；
第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；
第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为．
试说明：矩形是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
模型3.菱形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·宁夏·银川市二模）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处（不与B，D重合），折痕为EF，若DG=BG，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·河南·一模）如图，在菱形中，，，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、、，当为等腰三角形时，的长为______．
例3．（2023·河北·邢台市二模）如图1，菱形纸片的边长为2，．如图2，翻折，，使两个角的顶点重合于对角线上一点，，分别是折痕，设（），下列判断：①当时，的长为；②的值随的变化而变化；③六边形面积的最大值是；④六边形周长的值不变．其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
例4．（2022·湖北武汉·校联考一模）问题背景: 如图1，点E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，求证：．尝试应用:：如图2，在平行四边形ABCD中，点F在DC边上，将△ADF沿AF折叠得到△AEF，且点E恰好为BC边的中点，求的值． 拓展创新：如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，FC＝2．EC＝6．请直接写出的值．
模型4.三角形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．
例2．（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ．
例3．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接.若于点，，则的长为 ．
例4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．
模型5.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）
如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA
特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°
例1．（2023·浙江宁波·九年级校考期末）如图，是的外接圆，，把弧沿弦向下折叠交于点D，若点D为中点，则长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
例2．（2023·广东广州·统考一模）如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则的度数等于( )．
A． B． C． D．
例3．（2022春·湖北荆州·九年级专题练习）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
例4．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（ ）
①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACB
A．1 B．2 C．3 D．4
例5．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
例6．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使折叠后的弧恰好经过圆心O，点P是优弧上的一个动点（与A、B两点不重合），若⊙O的半径是2cm，则△APB面积的最大值是 cm2
课后专项训练
1．（2023·浙江·一模）如图，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，连接，将沿翻折，使点B的对应点恰为点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·福建莆田·九年级校考期末）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为 ．
6．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，．点E为边的中点，点F为边上一点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则的长是 ．
7．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于 ．
8．（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长是 ___________．
9．（2023秋·四川雅安·八年级统考期末）在中，，点D在边上，连接，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点E处，若，，则的长是 ．
10．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．
11．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．
12．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，现将矩形沿折叠，点C翻折后交于点G，点D的对应点为点H，当时，线段的长为 ．
13．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，长方形沿着对角线翻折，点C落在点处，与相交于点E，若，，则的长为 ．
14．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图（1），在等腰直角三角形纸片中，，，点D，E分别为上的动点，将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上，如图（2），再将纸片沿翻折，点C的对应点为，如图（3）.当，的重合部分（即阴影部分）为直角三角形时，的长为______．
15．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为 ；折痕的长为 ．
16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为 ．（结果保留与根号）
17．（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．
18．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．
探究发现：如图1，在中，，．
（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：；
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．
19．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝ °，＝ ；
(2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长；
(3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ．
20．（2022·广西南宁·统考三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了如下的操作及问题：如图1，同学们先画出半径为的，将圆形纸片沿着弦折叠，使对折后劣弧恰好过圆心，同学们用尺子度量折痕的长约为，并且同学们用学过的知识验证度量的结果是正确的．
验证如下：如图1，过点作于点，并延长交虚线劣弧于点，∴，
由折叠知，，连接，在中，，
根据勾股定理得，，
∴，
通过计算：，同学们用尺子度量折痕的长约为是正确的．
请同学们进一步研究以下问题：
(1)如图2，的半径为，为的弦，，垂足为点，劣弧沿弦折叠后经过的中点，求弦的长（结果保留根号）；(2)如图3，在中劣弧沿弦折叠后与直径相交于点，若，，求弦的长（结果保留根号）．
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