【新结构】（广州二模）2024年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布，其中果实横径落在的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（ ）（若，则，
A 0.6827 B. 0.8186 C. 0.8413 D. 0.9545
3. 某学校安排4位教师在星期一至星期五值班，每天只安排1位教师，每位教师至少值班1天，至多值班2天且这2天相连，则不同的安排方法共有（ ）
A. 24种 B. 48种 C. 60种 D. 96种
4. 某次考试后，甲、乙、丙、丁四位同学讨论其中一道考题，各自陈述如下，甲说：我做错了；乙说：甲做对了；丙说：我做错了；丁说：我和乙中有人做对．已知四人中只有一位同学的解答是正确的，且只有一位同学的陈述是正确的，则解正确的同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 已知是三个不重合平面，且，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6. 若是方程的实数解，则称是函数与的“复合稳定点”．若函数且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数定义域为R，且，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为 B. 的图像在处的切线斜率为
C D. 有两个零点，且
10. 在梯形中，，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知双曲线的左右焦点分别为，左顶点为，点是的右支上一点，则（ ）
A. 的最小值为8
B. 若直线与交于另一点，则的最小值为6
C. 为定值
D. 若为的内心，则为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数的实部为0，则______．
13. 已知分别是椭圆右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为______．
14. 用两个平行平面去截球体，把球体夹在两截面之间的部分称为球台．根据祖桓原理（“幂势既同，则积不容异”），推导出球台的体积，其中分别是两个平行平面截球所得截面圆的半径，是两个平行平面之间的距离．已知圆台的上、下底面的圆周都在球的球面上，圆台的母线与底面所成的角为，若圆台上、下底面截球所得的球台的体积比圆台的体积大，则球O的表面积与圆台的侧面积的比值的取值范围为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400名患者中有120名未治愈．
（1）补全列联表（单位：人），并根据小概率值的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好；
药物 疗效 合计
治愈 未治愈
创新药
传统药
合计
（2）从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用表示回访中治愈者的人数，求的分布列及均值．
附：，
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16. 已知等差数列的前项和为，且为等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：．
17. 如图，矩形是圆柱的轴截面，分别是上、下底面圆周上的点，且．
（1）求证：；
（2）若四边形为正方形，求平面与平面夹角的正弦值
18. 已知点是抛物线的焦点，的两条切线交于点是切点．
（1）若，求直线的方程；
（2）若点在直线上，记的面积为的面积为，求的最小值；
（3）证明：．
19. 已知函数．
（1）讨论的零点个数；
（2）若存在两个极值点，记为的极大值点，为的零点，证明：．【新结构】（广州二模）2024年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出中不等式的解集，找出解集中的整数解，确定出即可得出答案．
【详解】由解得，或，即，
，
.
故选：B．
2. 已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布，其中果实横径落在的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（ ）（若，则，
A. 0.6827 B. 0.8186 C. 0.8413 D. 0.9545
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布三段区间的概率值以及正态分布的性质求解即可．
【详解】因为所种植沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布，
其中，所以果实横径在的概率为
.
故选：B．
3. 某学校安排4位教师在星期一至星期五值班，每天只安排1位教师，每位教师至少值班1天，至多值班2天且这2天相连，则不同的安排方法共有（ ）
A. 24种 B. 48种 C. 60种 D. 96种
【答案】D
【解析】
【分析】由2天相连的情况有4种，利用排列数即可求解.
【详解】由题意，从星期一至星期五值，2天相连的情况有4种，则不同的安排方法共有种.
故选：D
4. 某次考试后，甲、乙、丙、丁四位同学讨论其中一道考题，各自陈述如下，甲说：我做错了；乙说：甲做对了；丙说：我做错了；丁说：我和乙中有人做对．已知四人中只有一位同学的解答是正确的，且只有一位同学的陈述是正确的，则解正确的同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】分别假设甲、乙、丙、丁做对，结合题意分析推理，利用矛盾律得出结论．
【详解】若甲做对了，则甲说错了，乙说对，丙也说对了，2人说对了，不满足条件；
若乙做对了，则甲说对了，乙说错误，丙也说对了，2人说对了，不满足条件；
若丙做对了，则甲说对了，乙说错了，丙也说错了，其中只有甲1人说对了，满足条件；
若丁做对了，则丁、甲、丙都说对了，不满足条件；
故做对的是丙，说对的是甲．
故选：C.
5. 已知是三个不重合的平面，且，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间中线面位置关系的性质定理和判定定理可判断各选项的正误．
【详解】若，则或与相交，故A错误；
若，则或与相交，故B错误；
若，则，故C正确；
若，则与相交，不一定是垂直，故D错误．
故选：C．
6. 若是方程的实数解，则称是函数与的“复合稳定点”．若函数且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】即有两个不同实根，令，则在上有两个不同实根，利用二次方程根的分布即可．
【详解】且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，
，即有两个不同实根，
令，则在上有两个不同实根，
，
则取值范围为．
故选：D．
7. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出和，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.
【详解】由，得，又点及附近点从左到右是上升的，则，
由，点及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得，
联立解得，，而，于是，，
若将函数的图像向右平移个单位后，得到，
则，而，因此，
所以当时，取得最小值为.
故选：A
8. 已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意分析可知为偶函数，结合偶函数可得，进而可知6为的周期，赋值可知，结合周期性运算求解.
【详解】由题意可知：函数的定义域为R，
因为，则，
可得，所以为偶函数，
由可得，
即，整理得，
可得，
则，可得，
所以6为的周期，
由，
令，可得，可得；
令，可得，可得；
所以．
故选：A．
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为 B. 的图像在处的切线斜率为
C. D. 有两个零点，且
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意直接求出的范围即可判断；求出导函数，进而求得即可判断B；求得即可判断C；易知的单调性，结合零点存在定理及C即可判断D．
【详解】由题意，，
对于选项A，易知且，故选项A错误，
对于选项B，因为，则，故选项B正确，
对于选项C，因为，所以，故选项C正确，
对于选项D，由选项可知，易知在和上单调递增，
因为，
，
所以，使得，
又因为，则，结合选项C，得，
即也是的零点，则，，故，故选项D正确，
故选：BCD.
10. 在梯形中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】在中由正弦定理求解判断A；利用两角和差公式求解判断B；利用向量数量积计算判断C；利用数量积计算判断D．
【详解】在中，，
则，
由正弦定理知，
即，故A正确；
，
，
，故B正确；
，故C错误；
，
故，即，故D正确．
故选：ABD
11. 已知双曲线的左右焦点分别为，左顶点为，点是的右支上一点，则（ ）
A. 最小值为8
B. 若直线与交于另一点，则的最小值为6
C. 为定值
D. 若为的内心，则为定值
【答案】AC
【解析】
【分析】根据双曲线的定义判断A；取直线可判断B；由向量的数量积公式和运算律进行化简判断C；根据双曲线的定义判断D.
【详解】对A，得，所以，
所以，
当为双曲线右支与轴交点时，取等号，
即的最小值为8，故A正确；
对B，若直线经过，当直线的斜率为0时，直线的方程为，
与双曲线的两个交点为，此时，故B错误；
对C，因为，
所以，，
两式相加得，，
所以，故C正确；
对D，因为为的内心，则不恒在双曲线上，
不为定值，故D错误.
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数的实部为0，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的实部为0，求出，再利用二倍角公式得出结论．
【详解】复数的实部为0，
．
．
故答案为：．
13. 已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用过三点的圆恰与轴相切，求出圆的标准方程，再利用点在圆上，坐标适合方程即可求解．
【详解】由已知可得：，
线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切，
所以圆心坐标为，圆的半径为，
所以经过过三点的圆的圆的方程为，
圆上，所以，
整理得：，所以，所以，
化为：，由，解得.
故答案为：．
14. 用两个平行平面去截球体，把球体夹在两截面之间的部分称为球台．根据祖桓原理（“幂势既同，则积不容异”），推导出球台的体积，其中分别是两个平行平面截球所得截面圆的半径，是两个平行平面之间的距离．已知圆台的上、下底面的圆周都在球的球面上，圆台的母线与底面所成的角为，若圆台上、下底面截球所得的球台的体积比圆台的体积大，则球O的表面积与圆台的侧面积的比值的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设圆台的上下底面半径分别为，根据母线与底面所成的角为，可得圆台的高为，母线长为，表示出圆台体积，由题意，可求得，进而可得，求值域即可得解．
【详解】设圆台的一条母线为，过点作的垂线，垂足为，
则即为母线与底面所成的角为，
设圆台上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为，
则，
即，即，
圆台体积为，
球台的体积为
，
由题意，
则，
即，
即，即，
设圆台外接球的球心为，半径为，则在所在直线上，
设，则，
由，
解得，
则球的表面积，
台体侧面积，
故，
，
由，可得，则，则，
故的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】立体几何中体积最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立所求体积的目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400名患者中有120名未治愈．
（1）补全列联表（单位：人），并根据小概率值的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好；
药物 疗效 合计
治愈 未治愈
创新药
传统药
合计
（2）从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用表示回访中治愈者的人数，求的分布列及均值．
附：，
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）表格见解析，创新药的疗效没有比传统药的疗效好；
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据已知条件补充列联表；利用公式计算出的值，即可作出判断；
（2）按疗效比例分层随机抽取10名，则有7名治愈者和3名未治愈者，故，且服从超几何分布，利用超几何概率计算公式进而可求出分布列与期望．
【小问1详解】
根据已知数据补全列联表如下所示：
药物 疗效 合计
治愈 未治愈
创新药 40 10 50
传统药 280 120 400
合计 320 130 450
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据说明创新药的疗效比传统药的疗效好，
所以我们认为创新药的疗效没有比传统药的疗效好；
【小问2详解】
从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，相当于每40名患者抽取1名，
所以治愈者中抽7名和未治愈者中抽3名，现在这10人中随机抽取8人进行回访，
用表示回访中治愈者的人数，其中的可能取值有，
则，，所以服从超几何分布列，即
，
故分布列为：
5 6 7
所以．
16. 已知等差数列的前项和为，且为等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，代入数据直接计算可得答案；
（2）利用等差数列的性质可得，利用错位相减法求出，即证．
【小问1详解】
因为等差数列中，，又，
所以，即①，
因为为等差数列，所以，
令时，，即，则②，
结合①②，解出，则，
所以的通项公式为．
【小问2详解】
由题设得，即，
所以①，
则②，
由①-②得：，
所以，
因为，所以，所以，即证．
17. 如图，矩形是圆柱的轴截面，分别是上、下底面圆周上的点，且．
（1）求证：；
（2）若四边形为正方形，求平面与平面夹角的正弦值
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用等角定理以及共线向量进行证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式得出结论
【小问1详解】
证明：因为矩形是圆柱的轴截面，分别是上、下底面圆周上的点，且，，
所以，不妨设为，
因为均为底面圆的直径，所以，
所以，所以，又，
所以，
所以.
【小问2详解】
如图，设为圆柱的母线，则底面，
连接，，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
，四边形为正方形，
，
所以，.
所以.
平面的法向量为．
设平面的法向量为，
又，
所以，取，则，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为，
所以平面与平面夹角的正弦值为．
18. 已知点是抛物线的焦点，的两条切线交于点是切点．
（1）若，求直线的方程；
（2）若点在直线上，记的面积为的面积为，求的最小值；
（3）证明：．
【答案】（1）；
（2）16； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题得坐标，设出切线方程，与抛物线方程联立可得参数的值，进而求解坐标，即可得方程；
（2）求得抛物线在点处切线方程，化简得，由点在直线上可得纵坐标的和、积关系，进而利用两点间距离公式结合点到直线距离公式，表示出，化简结合配方法可求得最小值；
（3）利用两点间距离公式结合抛物线定义可得，利用两角差的正切公式求得，即，即可证得结论．
【小问1详解】
由题知，抛物线，
切线斜率不为0，设切线为，
与联立，得，
，解得或3，
时，，则，切点为；
时，，则，切点为，
故直线方程为，即．
【小问2详解】
，设，
由题意易知抛物线的切线不与轴垂直，设切线为，
与联立，得，，则，
即，
故抛物线在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为，
联立可得，
又在直线上，故，即①，
点到的距离为，
，
故，
同理可得，
故
，
将①式代入可得：
，
令，则，
则
，
故当时，有最小值为．
【小问3详解】
由（2）知，
则
，
由抛物线定义可得
，
故，即．
，
，
，
，
则，
又与范围均，
故，
结合，可得．
【点睛】方法点睛：在圆锥曲线中涉及到三角形面积的求解时，常常有三种求解三角形面积的方法：
（1）常规面积公式：底高；
（2）正弦面积公式：；
（3）铅锤水平面面积公式：过轴上的定点：（为轴上定长）
过轴上的定点（为轴上定长）
19. 已知函数．
（1）讨论的零点个数；
（2）若存在两个极值点，记为的极大值点，为的零点，证明：．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）将问题转化成讨论与的交点个数，利用导数研究函数的单调性，从而结合图象得到答案；
（2）分类讨论，利用导数研究函数的单调性，从而判断函数的极值点和零点，依次证明不等式．
【小问1详解】
因为，
当时，，此时有一个零点；
当时，，所以-1不是函数的零点，
令，
故只需讨论与的交点个数即可，
，
因为，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
由题的图象如图所示：
故当与有一个交点，
当时，与有2个交点；
综上，时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点．
【小问2详解】
函数，
当时，，所以函数只有一个极值点，不满足条件；
当时，，所以函数无极值点；
当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时，
因为，时，，
所以函数在上无零点，在上有一个零点，
所以；
当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时，
因为时，，
，
所以函数在上有一个零点，且，
所以，
综上，．
【点睛】关键点点睛：零点可理解为两方程的交点，在求解时可分析单调性和极值，数形结合求解.
