2023-2024学年河南省开封市五校（杞县高中等）高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
4.下列四个函数中，在上为增函数的是( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知函数的一段图象过点，如图所示，则函数( )
A.
B.
C.
D.
7.若向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. 的虚部为 B. 是纯虚数
C. 的模是 D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.已知函数，则下列说法错误的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称
C. 为偶函数 D. 是周期函数
11.如图，已知正八边形的边长为，是它的中心，是它边上任意一点，则( )
A. 与不能构成一组基底
B.
C. 在上的投影向量的模为
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若是幂函数，则 ______．
13.已知平面内，，三点不共线，且点满足，则是的______心填“重”或“垂”或“内”或“外”
14.在三棱锥中，已知平面，，，与平面所成的角为，与平面所成的角为，则 ______用角度表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知在正四棱锥中，，．
求四棱锥的表面积；
求四棱锥的体积．
16.本小题分
已知向量．
若，求实数的值；
若向量满足且，求向量的坐标．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求和的值；
求的面积．
18.本小题分
如图，在梯形中，，，，为的中点，．
若，试确定点在线段上的位置；
若，当为何值时，最小？
19.本小题分
已知是偶函数．
求的值；
证明：在上单调递增；
若锐角满足，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
利用平面向量的加法和减法运算求解．
本题主要考查向量的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用和幂的运算性质计算可得结果
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：不等式可化为，
所以，
故原不等式的解集为．
故选：．
根据一元二次不等式的解法求解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，是单调递减函数，故A不正确；
对于，，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；
对于，当时，，函数单调递减，故C不正确；
对于，，由向右平移个单位变换得到，
所以在区间和上单调递增，故D不正确．
故选：．
根据基本函数的解析式直接判断单调性即可．
本题考查函数单调性的性质与判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：依题意，由于，，，，
则四边形是平行四边形，，，且与之间的距离，
则 的面积，
则四边形的直观图面积．
故选：．
根据题意，由、、、的坐标可得四边形是平行四边形，进而求出其面积，由直观图面积与原图面积的关系分析可得答案．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法与应用问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由图知，，则．
由图知，在取得最大值，且图象经过，
故，
所以，故，
又因为，所以，
函数又经过，故，得．
所以函数的表达式为．
故选：．
通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式．
本题主要考查函数解析式的求解，根据条件确定，和的值是解决本题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：设向量与的夹角为，，
向量，的夹角是，是单位向量，，
则，
，
则，解得，
，
故，解得．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量的数量积运算法则，以及平面向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算法则，以及平面向量的夹角公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意如图所示：设为的中点，连接，，设，分别为，的外接圆的圆心，
过，分别作两个半平面的垂线，交于，则可得为该三棱锥的外接球的球心，
连接，，则为外接球的半径，
由与均为边长为的等边三角形，则
又，则由余弦定理可得，
所以，
因为，分别为，的外接圆的圆心，
所以，，
可得，可得，而，
所以，
在中：，
所以外接球的表面积．
故选：．
取的中点，设和的外接圆的圆心，分别在，上，过，分别作两个半平面的垂线，交于，可得为三棱锥的外接球的球心，且可得，由等边三角形的边长为，可得，及的值，进而求出外接球的半径的值，再求出外接球的表面积．
本题考查三棱锥的外接球问题，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对：由虚部定义知的虚部为，故A正确；
对：纯虚数要求实部为，故B错误；
对：，故C正确；
对：在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误．
故选：．
根据复数的基本概念，以及复数的几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，的最小正周期为，故A正确；
对于，，故B错误；
对于，，
，则，
故不为偶函数，故C错误；
对于，显然的图象关于轴对称，如下图，结合正弦型函数的周期性，
可知在轴的一侧是周期函数，而在上不是周期函数，故D错误．
故选：．
求出的最小正周期可判断；可判断；由可判断；画出的图象可判断．
本题主要考查了正弦函数的周期性，奇偶性，对称性的综合应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：正八边形的边长为，是它的中心，是它边上任意一点，
对于选项：连接，，，
，
，
，
以所在直线为轴，所在直线为轴，建系如图，
则，
，
，
，与不能构成一组基不能构成一组基底，故A选项正确；
对于选项：，，
，
，
，
，故B选项错误；
对于选项：，，，
，，
，，
在向量上的投影向量的模长为，故C选项错误；
对于选项：取的中点，则，，
，，
两式相减得：，
当点与点或重合时，最大，最大值为，
的最大值为，
当点与点重合时，最小为，的最小值为，故D选项正确．
故选：．
连接，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到与平行，即可判断；根据平面向量加法法则计算判断；利用投影向量公式进行计算判断；利用向量线性运算及向量数量积的运算法则结合图形得到的最值，即可判断．
本题考查平面向量的运算和性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据是幂函数，及幂函数定义，
可知，，所以，
所以．
故答案为：．
根据题意，由幂函数的系数为，常数项为，即可得，，代入计算即可求得结果．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
13.【答案】垂
【解析】解：因为，同理，，故为的垂心．
故答案为：垂．
由条件等式移项后，逆用数量积的分配律将其化简成，即得，同理可得另外两个垂直关系，即得点为其垂心．
本题主要考查逆用数量积的分配律，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为平面，所以在平面上的投影为，
所以与平面所成的角的平面角为，
所以是直角三角形，，
又，所以，
因为平面，所以在平面上的投影为，
所以与平面所成的角的平面角为，
所以是直角三角形，，
又，所以，
又，所以在中，
，所以．
故答案为：．
根据线面角的定义，结合题设条件即可求得．
本题考查直线与平面所成角的求法，属中档题．
15.【答案】解：连接，相交于，连接，
过点作于点，连接，则是斜高，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
，
，
所以正四棱锥的表面积为．
，
所以正四棱锥的体积为．
【解析】根据表面积公式即可求解；根据体积公式即可求解．
本题考查锥体的体积与表面积，属于中档题．
16.【答案】解：由，
得，
所以，
由，得，
解得；
若向量满足且，
设，
所以，，
由，得，
所以，
由，得，所以，则，
由得，
故．
【解析】先根据的坐标，得到的坐标，再由求解；
设，由求解．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
17.【答案】解：在中，由，可得，
又由及，可得．
由余弦定理得，得，
由，解得．
所以．
由知，，
所以的面积．
【解析】根据同角的三角函数关系求出，结合正、余弦定理计算即可求解；
由，结合三角形的面积公式计算即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：过作交于，如图所示：
因为，所以，，
则四边形是平行四边形，故DA，即是的中点，
所以，
因为，所以，
所以，
又因为，
所以，解得，
所以在线段上靠近点的四等分点处；
因为，所以，
所以，
因为，，，
所以，
所以当，即时，取得最小值．
所以的最小值为，此时．
【解析】结合图形，先证得四边形是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点在线段上的位置；
结合中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得最小以及相应的值．
本题考查了平面向量的线性运算与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：易知的定义域为，对，都有，
因为是偶函数，
所以，
所以；
证明：因为，，
设，
则，
又，
因为，所以，，，
所以，
所以，，，
又，
所以，即，
所以在上单调递增；
解：因为是偶函数，
所以，
因为为锐角，所以，，
因为在上单调递增，
又，
所以，，
所以．
【解析】根据偶函数的定义可得，列方程求的值；根据单调性的定义证明结论；结合偶函数和单调性的性质可得，结合同角三角函数关系证明结论．
本题主要考查了偶函数定义的应用，还考查了函数单调性定义的应用，同角基本关系的应用，属于中档题．
第1页，共1页
