陕西省渭南市临渭区2024届高三下学期三模数学（文）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知复数,则复数z的虚部是( )
A.1 B. C.i D.
2．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
3．已知向量,,若与共线且反向,则实数的值为( )
A.4 B.2 C. D.或4
4．将函数的图象向左平移个单位长度,所得图象关于原点对称,则的值可以为( )
A. B. C. D.
5．某电视台举行主持人大赛,每场比赛都有17位专业评审进行现场评分,首先这17位评审给出某位选手的原始分数,评定该位选手的成绩时从17个原始成绩中去掉一个最高分,一个最低分,得到15个有效评分,则15个有效评分与17个原始评分相比,在数字特征“①中位数②平均数③方差④极差”中,可能变化的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6．下列可能是函数的图象的是( )
A. B.
C. D.
7．已知盒子中有6个大小相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两球,每次取一球,记第一次取出的球的数字是x,第二次取出的球的数字是y.若事件“为偶数”,事件“x,y中有偶数且”,则( )
A. B. C. D.
8．已知中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若,且,则是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
9．在正方体中,过点B的平面与直线垂直,则截该正方体所得截面的形状为( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
10．已知两点,,点C是圆上任意一点,则面积的最小值是( )
A.8 B.6 C. D.4
11．若系列椭圆的离心率，则( )
A. B. C. D.
12．若函数在内恰好存在8个,使得,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13．已知抛物线上的点P到其准线的距离为6,则点P的横坐标为______.
14．若实数x,y满足约束条件则的最大值为__________.
15．已知底面半径为2的圆锥的侧面积为,则该圆锥的外接球的表面积为______.
16．设定义在R上的函数满足,且,则在R上的最大值为______.
三、解答题
17．已知等比数列的各项均为正数,前n项和为,且满足,.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列满足,求数列的前n项和.
18．如图,在四棱锥中,底面ABCD是平行四边形,平面ABCD,,,且M,N分别为PD,AC的中点.
（1）求证:平面PBC;
（2）求三棱锥的体积.
19．某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将100个样本数据按,,,,,分成6组,并整理得到如下频率分布直方图.
（1）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和中位数;
（2）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前30%的市民,某市民知识竞赛的成绩是78,请估计该市民能否得到表彰.
20．已知双曲线的离心率为,焦点到其渐近线的距离为1.
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）已知直线与双曲线C交于A,B两点,O为坐标原点,直线OA,OB的斜率之积为,求的面积.
21．已知函数.
（1）若，当时，证明：.
（2）若，证明：恰有一个零点.
22．在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
（1）写出直线l和曲线C的普通方程;
（2）若直线l与曲线C有公共点,求实数m的取值范围.
23．已知函数,.
（1）当时,解不等式;
（2）若对任意,都有成立,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：
2．答案：C
解析：集合,,
故.
故选:C.
3．答案：A
解析：
4．答案：D
解析：根据题意,若函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到,则,
又函数的图象关于原点对称,
则,,则,,
又,则当时,最小.故选:D.
5．答案：B
解析：由题意知,中位数不变,平均数,方差,极差可能变化,故选B.
6．答案：C
解析：函数定义域为R,排除选项AB,当时,,排除选项D,
故选:C.
7．答案：C
解析：
8．答案：D
解析：
9．答案：A
解析：如图所示,正方体中,连接AC,,,BD,
平面ABCD,平面ABCD,,
又,AC,是平面内的相交直线,
平面,平面,,同理可得,
,平面,即所在平面是经过点B与垂直的平面,
因此,平面截该正方体所得截面的形状为三角形,A正确.
故选:A.
10．答案：D
解析：由得,所以圆心坐标为,半径.易得直线AB的方程为,所以圆心到直线AB的距离为,所以直线AB和圆相离,所以点C到直线AB距离的最小值是.又,
所以面积的最小值为.
11．答案：A
解析：椭圆可化为.
因为，所以离心率，解得：.故选：A.
12．答案：D
解析：
13．答案：4
解析：由抛物线方程可得准线方程为,设点P的横坐标为,
由题意可得,解得.
14．答案：13
解析：实数x,y满足约束条件表示的可行域如图阴影部分所示.当直线经过点A时,z取得最大值.由解得,,所以.
15．答案：
解析：如图,设圆锥的母线长为,
由圆锥的侧面积公式,得.
解得,所以圆锥的高为,
设圆锥的外接球半径为R,则在中,由勾股定理,,
解得
所以该圆锥的外接球的表面积为.
16．答案：
解析：由题意构造函数,
则,
(c是常数),
,
又,
,,
,
当时,,单调递增;当,,单调递减
,没有最小值
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设数列的公比为,
,,
,即,(舍去),
,即,.
（2）,.
,
,
,
.
18．答案：（1）见解析
（2）3
解析：（1）证明:如图,连接BD,易知BD交AC于点N.
M,N分别为PD,AC的中点,.
又平面PBC,平面PBC,故平面PBC.
（2）,,四边形ABCD为矩形.
,,,
.
又平面ABCD,M为PD的中点,则M到平面ACD的距离为.
.
19．答案：（1）71.5625
（2）见解析
解析：（1）100份样本数据的平均值为
.
设中位数为t,则,
解得.
（2）成绩低于70分的频率为0.45,成绩低于80分的频率为0.77,
则被表彰的最低成绩为,
估计该市民能得到表彰.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）双曲线的焦点坐标为,
其渐近线方程为,焦点到其渐近线的距离为.
双曲线C的离心率为,,解得,
双曲线C的标准方程为.
（2）设,,
联立得,,
,.
由,
解得(负值舍去),,.
直线l:,原点O到直线l的距离为,
,
的面积为.
21．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：因为，所以，.
当时，，则在上单调递增，
所以当时，.
（2）.
令，则.
令，则.
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以，所以，
则在上单调递增.
因为，所以恰有一个零点，则恰有一个零点.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由于直线l的极坐标方程为,
则直线l的极坐标方程为,
由得直线l的普通方程为.
,曲线C的参数方程为(t为参数),
曲线C的普通方程为.
（2）联立得,
设,,
的对称轴为直线,在上单调递减,在上单调递增,
故的最大值为,最小值为,∴,
故实数m的取值范围为.
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,即为,
等价于或或
即或或
故或或.
故不等式的解集为.
（2）对任意x都成立,即恒成立,
,
,即,或,解得.
a的取值范围为.
