2024届上海闵教院高考三模考试数学试卷0514
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．满分54分）
1．已知i为虚数单位，复数，则______．
2．若抛物线过点，则该抛物线的焦点为______．
3．二项式展开式中的系数为______．
4．已知两个正数a，b的几何平均值为1，则的最小值为______．
5．已知随机变量，且，则______．
6．4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有______种．
7．现有一个底面半径为2cm、高为9cm的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为______（损耗忽略不计）．
8．已知随机变量X服从正态分布，若，则______．
9．方程的解集为______．
10．对24小时内降水在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义：
0~10 10~25 25~50 50~100
①小雨 ②中雨 ③大雨 ④暴雨
小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级______．（只填入雨水等级所对应的序号）
11．已知，，若向量在向量方向上的数量投影为，则实数______．
12．若、是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为______．
二、单选题（本大题共4题，满分20分）
13．已知：，：，则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．某社区通过公益讲座宣传交通法规．为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分．他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（ ）
A．讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分 B．讲座前的答卷得分分布较讲座后分散
C．讲座后答卷得分的第80百分位数为95 D．讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差
15．对于函数，给出下列结论：
（1）函数的图像关于点对称；
（2）函数在区间上的值域为；
（3）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像；
（4）曲线在处的切线的斜率为1．
则所有正确的结论是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）
16．设P为曲线C：上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于点集和，给出如下结论：
①任意，中总有2个元素；②存在，使得．
其中正确的是（ ）
A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立
C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．在中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知，．
（1）若，求c；
（2）若，求的面积．
18．如图，已知顶点为S的圆锥其底面圆O的半径为8，点Q为圆锥底面半圆弧AC的中点，点P为母线，SA的中点．
（1）若母线长为10，求圆锥的体积；
（2）若异面直线PQ与SO所成角大小为求P、Q两点间的距离．
19．去年，某县书画1办会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书面作品的作者的年龄都在之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图：
（1）求这200位作者年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）：
（2）县委宣传部从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是X，求变量X的分布列和数学期望．
20．设椭圆：，的离心率是短轴长的倍，直线l交于A、B两点，C是上异于A、B的一点，O是坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l过的右焦点F，且，，求的值；
（3）设直线l的方程为，且，求的取值范围．
21．已知函数．（其中a为常数）
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由．
2024届上海闵教院高考三模考试数学试卷0514
答案
一、填空题
1．【答案】
【解析】∵，∴．
2．【答案】
【解析】将代入抛物线方程，可得，即．
所以抛物线的焦点为．
3．【答案】5
【解析】因为，故展开式中的系数为．
4．【答案】2
【解析】由题意得，即，故，当且仅当时，等号成立．
5．【答案】12
【解析】随机变量，∴，∴，
则．
6．【答案】36
【解析】先选两名志愿者看成一个整体，共有种，
再与剩余志愿者一起排列，共有种，
所以不同的分法共有种．
4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有______种．
7．【答案】
【解析】设球的半径为R，则，解得，所以该工件的表面积为．
8．【答案】0.94
【解析】由正态分布的对称性得．
9．【答案】
【解析】因为，则，解得，
所以方程的解集为．
10．【答案】中雨
【解析】设圆锥形容器中积水水面半径为r，则，解得，
所以积水厚度为，所以．
11．【答案】3
【解析】由条件可知，向量在向量方向上的数量投影为，解得：．
12．【答案】
【解析】因为为等边三角形，可知，
A为双曲线上一点，∴，
B为双曲线上一点，则，即，
∴，
由，则，已知，
在中应用余弦定理得：，
得，则
二、单选题
13．【答案】a
【解析】因为，解得或，
根据“谁大谁必要，谁小谁充分”得出是充分不必要条件，故选：A
14．【答案】C
【解析】有茎叶图可知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分，故A正确；
讲座前的答卷得分主要分布在50~75之间，而讲座后主要分布在80~85之间，
则讲座前的答卷得分分布较讲座后分散，故B正确；
讲座后答卷得分依次为80，85，85，85，90，90，95，95，100，100，
因为80%×10=8，所以第80百分位数是第8个数与第9个数的平均数，为，故C错误；
讲座前答卷得分的极差为，讲座后得分的极差为，
所以讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差，故D正确．
故选：C．
15．【答案】C
【解析】 因为，
所以，
当时，，
所以不是函数的对称中心，（1）错误；
由可得，所以，
所以，
当时，，
当时，，
所以函数在区间上的值域为，（2）正确；
函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，（3）错误；
由可得，所以，
曲线在处的切线的斜率为1，（4）正确；
所以正确的命题有（2）（4），故选：C．
16．【答案】B
【解析】曲线C：的焦点，则，
由得，点M的轨迹是以P为圆心，d为半径的圆，
的圆心为，
当点P在原点处时，，此时，
此时点M的轨迹方程为，
因为，所以点在圆外，
则存在，使得两圆相离，即，
故①错误，②正确，故选：B．
三、解答题
17．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由，应用正弦定理得，∴，
∴，即．
（2）因为，则，
又由弦定理得，，
．
18．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）圆锥SO的底而圆半径为8，母线长为10．而SO⊥OA，
则，解得，
所以圆锥的体积为
（2）取AO的中点M，连接PM，QM，
由弧AC为圆锥底面的半圆弧知圆锥底面圆心O在AC上且为AC中点，
P为母线SA的中点，则，PQ与SO所成角为∠QPM或其补角，
由平面ACQ，得平面ACQ，
平面ACQ，则，于是有，
由Q是半圆弧的中点可得，则，
所以．
19．【答案】（1）60，180；（2）分布列答案见解析，数学期望：1
【解析】（1）这200位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为
，
，
（2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在内有2人，在内有4人，故X可能的取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列为：
所以X的数学期望为．
20．【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由的离心率是短轴的长的倍，得，即，
又，则，
故椭圆的方程为．
（2）设的左焦点为，连接，
因为，所以点B、C关于点O对称，
又，则，
由椭圆的对称性可得，，且三角形与三角形OBF全等，则，
又，化简整理得，，则．
（3）设，，，
又，则，，
由得，，
，
由韦达定理得，，，
又，
则，，
因为点C在椭圆上，所以，
化简整理得，，
此时，，
则
，
令，即，则，
则的取值范围是．
21．【答案】（1）；（2）；（3）只有1个，理由见解析
【解析】（1）当时，可得
可得，所以且，
所以切线方程为，即，
即曲线所以曲线在点处的切线方程为．
（2）由函数，可得函数的定义域为，
又由，令，解得，，
当时，与在区间的情况如下表：
x 1
- 0 +
极小值
所以函数的极小值为，也是函数的最小值，
所以当a<0时，函数的最小值为
（3）当a=0时，，令，解得，（舍去）
所以函数在上有一个零点；
当时，与在区间的情况如下表：
x a 1
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
所以函数在单调递增，在上单调递减，
此时函数的极大值为,
所以函数在上没有零点；
又由且函数在上单调递增，
且当，，
所以函数在上只有一个零点，
综上可得，当时，在上有一个零点．
