新华中学 2024 届高三年级统练二 + 6.在等比数列 中，3 1, 12 3, 2
9 10
2成等差数列，则 + =( )7 8
数学学科 A. 3 B. 13 C. 9 D.
1
9
2 2
7.已知抛物线 2 = 4 的焦点 是双曲线 2
2 = 1 的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于 ，
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，用时 120 分钟。
将自己的姓名、准考号填写在答题卡上。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。 两点．若△ 是等边三角形，则双曲线的方程为( )
第Ⅰ卷 选择题（共 45 分） 2 2 2
A. = 1 B.
2 2 2 2 = 1
2
C. D. = 1
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 3 4 4 3
= 1 3 4 4 3
7 7 7 7
8.下列物体不能被半径为 2(单位： )的球体完全容纳的有( )
求的。
1 = 2 3 ≤ 1 = 2 < < 5, ∈ ∩ ( ) A.所有棱长均为 2 2 的四面体.若集合 ， ，则 的元素的个数是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B. 底面棱长为 1 ，高为 3.8 的正六棱锥
2.设 ∈ ，则“ = 3”是“直线 + 2 + 3 = 0 和直线 3 + ( 1) = 7 ( ) C. 底面直径为 1.6 ，高为 3.6 的圆柱平行”的
A. B. D.上、下底面的边长分别为 1 ，2 ，高为 3 的正四棱台充分而不必要条件 必要而不充分条件
C. D. 9.已知函数 = cos 3sin ( > 0)的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是( )充分必要条件 既不充分也不必要条件
3.若 = 8， = 21.23 ， = 0. 33.1，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
4 3ln
2+1+
.函数 ( ) = 的部分图象大致为( )1+| |
A. B.
A.函数 7 的图象关于点 12 , 0 中心对称
C. D.
B. 2 函数 的单调增区间为 3 , 6 ∈
C. 5 函数 的图象可由 = 2sin 的图象向左平移12个单位长度得到
5.已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列正确的是( )
D.函数 = 0, 2 7 13在 上有 个零点，则实数 的取值范围为 ,
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // 6 6
C.若 // ， // ，则 // D.若 // ， // ，则 //
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二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 17.(本小题 15 分)如图，在直三棱柱 1 1 1中， = = 1 = 2, ∠ = 90 , , 分别为
10 = 1 2 .复数 的虚部为__________． 1, 的中点．1+ 3
11.( 3 2 )
6 的展开式中的常数项为 (用数字作答)． (Ⅰ)求异面直线 1 与 所成角的余弦值；
12.已知圆心在直线 3 = 0 上的圆 与 轴的负半轴相切，且圆 截 轴所得的弦长为 4 2，则圆 的 (Ⅱ)求点 1到平面 的距离；
方程为__________． (Ⅲ)求平面 与平面 1 夹角的余弦值．
13.已知 > 1, > 1，且 = 2，则 ln 的最大值为__________． 2
18.(本小题 15 分)已知椭圆 : +
2
1 = 1 与椭圆 2有相同的离心率，椭圆 2焦点在 轴上且经过点8 4
14.如图，在 中， = 2, = 3, = 3，点 是 的中点，点 在边 上，3 = ,
(1, 2)．
交 于点 ，设 = + , ∈ ，则 + =__________；点 是线段 上的一个动点，则
(Ⅰ)求椭圆 2的标准方程；
的最大值为__________．
(Ⅱ)设 为椭圆 1的上顶点，经过原点的直线 交椭圆于 2干 ， ，直线 与椭圆 1的另一个交点分
别为点 和 ，若 与 的面积分别为 11和 2，求 取值范围．2
19.(本小题 15 分)已知数列 , , 是数列 的前 项和，已知对于任意 ∈ ，都有 3 = 2 +
+ 6 8, ≥ 1
15.已知 ∈ ，函数 = 2 + + 2, < 1，若对于任意实数 ，方程 = 有且只有一个实 3，数列 是等差数列， 1 = 3 1，且 2 + 5, 4 + 1, 6 3 成等比数列．
数根，且 2 < 8，函数 = 的图象与函数 = + 的图象有三个不同的交点，则 的取值范围 (Ⅰ)求数列 和 的通项公式；
为__________．
(Ⅱ)记 = +2
1
, ∈ ，求数列 的前 项和 ； +1
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
, 为奇数
16.(本小题 14 分)在 中，角 , , 的对边分别为 , , , 2 cos = 2 ． (Ⅲ)记 = ，求2 , 为偶数 =1 +1．
2
(Ⅰ)求角 的大小；
20.(本小题 16 分)已知函数 = + 2 ln ( > 0, ≠ 1).
(Ⅱ)若 < , = 2 7, 的面积为 3 3； (Ⅰ)求函数 在点 0, 0 处的切线方程；
(ⅰ)求 , 的值； (Ⅱ)求函数 单调增区间；
(ⅱ)求 sin 2 + 的值． (Ⅲ)若存在 1, 2 ∈ 1,1 ，使得 1 2 ≥ 1( 是自然对数 底数)，求实数 的取值范围．
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答案和解析 【解析】
【分析】根据函数奇偶性结合函数值的符合分析判断．
【详解】由题意可得： ( )的定义域为 ，
1.【答案】
1
2
因为 3ln +1 3ln
2+1+ 3ln 2+1+
【解析】【答案】 ( ) = ，1+| | = 1+| | = 1+| | = ( )
【解析】 所以 ( ) 奇函数，排除 ， ．
【分析】求出集合 、 ，即可求得集合 ∩ ，即可得解． 当 > 0 时，则 1 + | | > 0, 2 + 1 + > 1，可得 ln 2 + 1 + > 0，
【详解】由 2 3 ≤ 1 可得 1 ≤ 2 3 ≤ 1，解得 1 ≤ ≤ 2，即 = 1 ≤ ≤ 2 ， 所以 ( ) > 0，排除 ．
又因为 = 2 < < 5, ∈ = 1,2,3,4 ，所以， ∩ = 1,2 ， 故选： ．
故 ∩ 的元素的个数是 2． 5.【答案】A
故选： ． 【解析】【分析】
2.【答案】 本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，
【解析】【分析】 属于中档题．
本题考查充分、必要、充要条件的判断，两条直线平行的判定，属于基础题． 通过举反例可得 、 、 不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得 C 正确，从而得出结论．
根据两条直线平行的性质可得 = 3，从而由充分、必要的定义得出结论． 【解答】
【解答】 解： 、垂直于同一个平面的两条直线平行，故 正确，
解：当 = 3 时，两条直线的方程分别是 3 + 2 + 9 = 0 和 3 + 2 + 4 = 0，此时两条直线平行成立； B、 ， 垂直于同一个平面 ，故 ， 可能相交，可能平行，故 B 错误；
2
反之，当两条直线平行时，有 = ≠ 3 ，解得： = 3， 、 ， 平行于同一个平面，故 ， 可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故 C 错误；3 1 7
D、 ， 平行与同一条直线 ，故 ， 可能相交，可能平行，故 D 错误；
所以“ = 3”是“直线 + 2 + 3 = 0 和直线 3 + ( 1) = 7 平行”的充要条件．
故选 A．
故选： ．
3. 6.
【答案】
【答案】
【解析】【答案】
【解析】【答案】
【解析】
【解析】
【分析】利用等差数列及等比数列的相关概念计算即可．
【分析】利用 1,2 对 , , 进行分段，由此判断出正确选项．
【详解】设 的公比为 ，
【详解】依题意 1 = 33 < < 332 = 2， > 21 = 2，0 < < 0. 30 = 1
，故 > > ，故选 D．
1 2
【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查分段法比较大小，属于基础题． 则由题意可知 3 1 + 2 2 = 2 × 2 3 1 = 3 1 + 2 1 = 3 或 = 1，
4.【答案】 显然 = 1 时， 1 = 8 1 + 8 = 0，无意义舍去；
【解析】【答案】 9+ 所以 10
9 1+ 2
+ = 1+ = = 9．7 8 7
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故选： 该正方体的外接球也就是该四面体的外接球，所以其外接球的直径为 3 × 22 = 2 3 ．
7.【答案】 因为 2 3 < 4，所以 不符合题意；
【解析】【分析】由△ 是等边三角形，可得直线 : = 3 ( 1)，求得 = 2 3，再由双曲线 对于 ，易知底面棱长为 1 的正六棱锥的底面外接圆的半径为 1 .设球心 到底面的距离为 ，3 3
则由球的性质可知，
2
2 = 12 + 2，解得 = 3(负值已舍去)，
的渐近线的方程为 = ，求得 = ，根据 = 2 3，和 2 = 2 +
2，列出方程组，求得 2, 2的值，
3
此时正六棱锥的高的最大值为 2 + 3 < 3.8， 符合题意；
即可求解．
对于 ，底面直径为 1.6 ，高为 3.6 的圆柱的外接球的半径为 0. 82 + 1. 82 = 3.88 ．
【详解】由题意，抛物线 2 = 4 的焦点 (1,0)，准线方程为 = 1，
因 3.88 < 2，所以 不符合题意；
因为△ 是等边三角形，可得直线 的方程为 = 33 ( 1)， 对于 ，在正四棱台中，上底面的对角线长为 12 + 12 = 2 ，下底面的对角线长为 22 + 22 =
令 = 1，可得 = 2 3 ，即3 ( 1,
2 3
3 )，
2 2 ，
2 2 易知外接球的球心在正四棱台的上、下底面中心的连线上，且在上底面的下方．
又由双曲线的 2 2 = 1
的一条渐近线的方程为 = ，令 = 1
，可得 = ，
设球心到上底面的距离为 ，球的半径为 .当球心在两底面之间时，球心到下底面的距离为 3 (0 <
2 4 4
所以 = 2 3，可得 2 = ，即
2 = 3
2，
3 3 < 3)，
2 = 2 + 2 2 + 4 2 = 1 2 = 3 2 = 4又由 ，可得 ，解得 ， ， 2 = 1 23 7 7 2 + , 7则 解得 = ．
2 2 4
2 2 = 2 + 3 ,
所以双曲线的方程为 3 4 = 1．
7 7 当球心在下底面上或下方时，球心到下底面的距离为 3 ≥ 3 ，
故选： ．
2 = 1 2
则 2
+ , 7
解得 = (不符合题意)．
2 = 2 + 3 2, 4
所以 2 = 1 + 492 16 =
57
16 < 4， 不符合题意．
故选： ．
9.【答案】
【解析】【答案】
【解析】
【分析】利用辅助角公式及函数图象先化简计算得出函数式，结合三角函数的图象及性质一一判定选项
8.【答案】
即可．
【解析】【答案】
【详解】根据辅助角公式可知 = cos 3sin = 2sin( 6 )，
【解析】
3 5 2 3
【分析】分别求出四个选项对应物体的外接球与半径为 2(单位： )的球体做比较即可． 由图象可知：4 = 3 12 = × 4 = 2，
【详解】对于 ，将所有棱长均为 2 2 的四面体补成正方体，则该正方体的棱长为 2 ， 所以 = 2sin(2 6 )，
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对于 项，当 = 7 7 12时， = 2sin( 6 6 ) = 0，所以 A 正确； 令 6 3 = 0，解得 = 2，所以展开式中的常数项为 ．
3
对于 项，令 2 + 2 ≤ 2 6 ≤ 2 + 2 ∈
2
3 + ,
6 + ∈ ，
故答案为：135．
12.【答案】
此时函数 = 2sin(2 6 )单调递增，故 B 正确；
【解析】【分析】根据圆的切线性质，利用待定系数法进行求解即可．
5 5 对于 项， = 2sin2 的图象向左平移12个单位长度得 = 2sin 2 + 12 = 2sin 2 +
5
6 = 【详解】因为圆心在直线 3 = 0 上，所以设圆心坐标为(3 , )，
2sin 2 = ，故 C 正确； 因为圆 与 轴的负半轴相切，所以 < 0，且圆的半径为 3 ，6
所以圆的标准方程可设为： 3
2 + 2 = ( 3 )2，因为圆 截 轴所得的弦长为 4 2，所以令
对于 项， = 2 = 2sin 4 6 ，显然 = 0 不合题意， = 0，得 3 2 + 0 2 = (3 )2 = 3 ± 2 2 ，
∈ 0, 易知 ，则当 > 0 时 4 6 ∈ 6 , 4
6 ， 且有 3 + 2 2 (3 2 2 ) = 4 2 = 1，
7 13此时 有两个零点，即 4 ∈ , 2 ∈ , , 所以圆 的方程为： + 3
2 + + 1 2 = 9
6 24 24
13.【答案】
当 < 0 时，有 4 6 ∈ 4 6 , 6 ，
【解析】【分析】由 = 2，两边取对数得到 ln + ln = 2，再设 = ln ，两边取对数，利用基本不
4 ∈ 3 , 2 ∈ 17 , 11此时 有两个零点，即 6 24 24 , 等式求解．
显然 D 错误． 【详解】由 = 2， > 1, > 1, ∴ ln > 0, ln > 0，
故选： 两边取对数得到 ln = ln + ln = ln 2 = 2，
设 = ln
2
，两边取对数得 ln = ln ln ≤ ln +ln ，2 = 1
10.【答案】 ln + ln = 2
当且仅当 ，即 = = 时，等号成立，
1 2 (1 2 )(1+ ) 3 3 1 ln = ln
【解析】【详解】依题意， = 1 = (1 )(1+ ) = 2 = 2 2 ，
所以 ≤ ， ln 的最大值为 ，
1 2 1
所以复数 = 1+ 3的虚部为 2． 故答案为： ．
1故答案为： 14.【答案】2
【解析】【分析】利用平面向量的基本定理计算即可得空一，利用平面向量数量积的运算律计算即可得
11.【答案】135
空二．
【解析】【分析】
本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．
由二项展开式的通项公式 ，令 6 3 = 0，可得结论．
【解答】
解：( 3 )6 2 的展开式的通项公式为 ，
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1 + 6 8 = 12 + + 2
所以 (2) = 2 + 6 8 < 8 ，解得 = 2，
+ 4, ≥ 1
所以 = 2 + 2 + 4, < 1，则 = ( ) 的图象如图所示，
【详解】
设 = , = ， 令 2 + 2 + 4 = 0，解得 = 1 + 5(舍去)，或 = 1 5，
= 1 + 1 = + 1 由题意可知 ， = = = 若直线 = 2 + 过点(1 5, 0)时，得 = 2 5 2，2 2 2 2 3 3 ，
此时直线 = 2 + 与 = 的图象有两个交点，
则 = + = + 1 3 =
2
+ 2
，
= 2 +
由 = 2 + 2 + 4，得
2 + 4 = 0，
= = 1
因为 不共线，所以有 3 2 2、 ,
1 = = 3 当 = 0 4( 4) = 0，即 = 4 时，直线 = 2 + 与 = 的图象有两个交点，2 4
3 因为函数 = 的图象与函数 = + 的图象有三个不同的交点，
1 =
此时 = 4
3 44 1 + =
1
= 2
； 所以 2 5 2 < < 4，即 的取值范围为 2 5 2,4 ，
4
可设 = =
故答案为： 2 5 2,4
∈ 0,1 ，
2 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查函数图象的应用，解题的关键是根据题意
则 = 1 3 = + 3
2
4 4 4 4
= 9 9，4 ≤ 4
画出函数图象，利用图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题．
当 、 重合时取得等号．
1 9
故答案为： 2；4．
15.【答案】
【解析】【分析】先根据 = 有且只有一个实数根，结合 2 < 8 可求出 的值，画出 ( )的图象，
利用与直线 = + 有且只有三个不同的交点，可根据相切和过定点求出两个交点临界位置的 ，进
而求出 的取值范围．
【详解】因为对于任意实数 ， = 有且只有一个实数根，且 2 < 8，
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16. 【解析】【答案】(1) = 3； (2) = 2, = 6；
4 3 【小问 1 详解】
7
由题意可知 、 、 1两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，【解析】【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换计算即可；
则 0,0,2 , 2,0,0 , 0,2,1 , 1,1,0 ，
(2) 1利用余弦定理及三角形面积公式计算可求 , ；利用三角恒等变换计算可求 sin 2 + ．
即 = 2,0, 2 , 1
= 1, 1, 1 ，
【小问 详解】 1
cos
, = 1
4 6
因为 2 cos = 2 ，由正弦定理可知 2sin cos = 2sin sin 所以 1 1
=
8 3
= 3 ，
= 2sin + sin = 2sin cos + 2sin cos sin
即异面直线 1 与 所成角的余弦值为
6； -------------------------------5 分
3
化简得 2sin cos sin = sin 2cos 1 = 0，
因为 sin ≠ 0，所以 2cos 1 = 0 cos = 12，
因 , , ∈ 0, ，所以 = 3； --------------------------5 分
【小问 2 详解】
由(1)及余弦定理可知 2 + 2 2 = 2 cos 2 + 2 = 28，
又 1 = 2 sin = 3 3 = 12， < ，
联立可得 = 2, = 6 或 = 2, = 6(舍去)； --------------------------8 分
由正弦定理可知 sin = sin = 3 21，sin = sin 21
【小问 2 详解】
，
14 = 14
由上易知 1 = 2,0,2 , = 0,2,1 , = 1,1,0 ，
因为 < , + + = = ， 3，所以 < 3， = 2 + = 0
设面 的一个法向量为 = , , ，则有 ,
5 3 1
= + = 0
所以 sin 2 + = sin 3 2 = 2 cos2 ，2 sin2 取 = 1 = 1, = 2，即 = 1, 1,2 ，
由 sin = sin = 21可知 5 7， 1 6 14 cos = 14 所以点 1到平面 的距离为 = = = 6； -------------------------------10 分 6
所以 sin2 = 2sin cos = 5 3 2 11， 【小问 3 详解】14 , cos2 = 1 2 = 14
由上可知 ，
故 sin 2 + = 3 × 11 1 × 5 3 = 4 3． --------------------------14
1 = 2,0, 2 , 1 = 0,2, 1分
2 14 2 14 7 = 2 2 = 0
设面 1 的一个法向量为 = , , ，则有 1 ,
17.【解析】【答案】(1) 6； (2) 6； (3) 5 6． 1 = 2 = 03 18
取 = 2 = 1, = 2，即 = 2,1,2 ，
【解析】
设平面 与平面 1 夹角为 ，
【分析】(1)建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可；
5 5 6
则 cos = cos , =
(2)利用空间向量计算点面距离即可；
= 3 6 = 18 ，
(3)利用空间向量计算面面夹角即可． 即平面 与平面 5 61 夹角的余弦值 ． -------------------------------15 分18
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2 2
18. 2
4
【答案】【答案】19． + = 1 当且仅当 1 = 2，即4 2 1 =± 2时，等号成立，1
2 2 > 0 解：(1) 64由已知，设椭圆 2方程为 + = 1， ， 故
1
的取值范围为[ 25 , 4)． --------------------------15 分2 2
且经过点(1, 2)，则 = 2， 【解析】本题考查了椭圆的方程和性质以及直线与椭圆的位置关系，三角形面积的最值问题，属于较难
2 2
故椭圆 2的标准方程为
+ = 1; --------------------------3 分 题．4 2
2 2
(2)根据题意，直线 、 的斜率存在且不为 0， (0,2)， (1)设椭圆 2方程为2 +
= 1，代入点(1, 2)，即可得解；
设直线 的斜率为 1，直线 的斜率为 2， (2)设直线 的斜率为 1，直线 的斜率为 2，则 1 2 = 2，设 的方程为 : = 1 + 2，分别
设 ( , | || |0 0)，则 ( 0, 0)， 与两椭圆方程联立，求得点 ， 的横坐标，同理可得点 ， 的横坐标，由面积公式可得 1 =2 | || |，
2 2
因为 0 + 0 = 1，所以 20 4 = 2 2，4 2 0 整理即可得出答案．
2
所以 = 0 2 × 0 2 = 0 4 = 2， 19.【答案】【详解】(1)当 = 1 时， 3 1 = 2 1 2 2 1 + 3 ，解得 1 = 3 ． 0 0 0
当 ≥ 2时， 3 1 = 2 1 + 3 ，
即 1 2 = 2， --------------------------6 分
直线 : = 1 + 2 与 2 + 2 2 = 8
3 3 = 2 = 3
联立得 所以 1 ， 1
(1 + 2 2 21) + 8 1 = 0， 即 是以首先 1 = 3 ，公比为 3的等比数列，即 = 3 ． --------------------------3 分
= 8 1 8 2解得 ，同理可得 = ， --------------------------8 分 因为 1 = 33 = 1 ， 2 + 5, 4 + 1, 6 3成等比数列，1+2 21 1+2 22
2 2 所以 4 + 1
2 = 2 + 5 6 3 ，即 1 + 3 + 1 2 = 1+ + 5 1 + 5 3 ，解得 = 2 ．
直线 : = 1 + 2 与 2 + = 4 联立得
所以 = 1 + 2 1 = 2 1． --------------------------5 分
(2 + 2 21) + 4 1 = 0
，
(2) (1) = 4 4 由 得 +2
1 2( +2) 2
1 2
解得 = 2，同理可得 = 2， --------------------------10
分
=
+1 (2 1)(2 +1) 3
2+ 1 2+ 2
2 +2 1 1 1
1 | || | = 2 1 2 +1 3 = 2 2 1 3 1 2 +1 3 ， --------------------------7 分
= | || | =2
×
= |64 1 2| × (2+
2
1)(2+
2) 则 = 1 + 2 + 3 + + 2
(1+2 21)(1+2
2
2) |16 1 2| = 1 [( 1 1 ) + ( 1 1 1 1 1 1 1 1
4(4+2 2
0 1
+2 2+4) 2 1×3 3×3 3×3
1 5×32 ) + ( 5×32 7×33 ) + + ( (2 1) 3 1 (2 +1) 3 )] = 2 ( 1×30
= 1 2
2 2+2 21 2+17 1
32+8( 2+ 2) (2 +1) 3
)
= 1 2
17+2( 2 21+ 2) = 1 12 2(2 +1) 3 --------------------------9 分
= 4 36
17+2( 2+ 2)， --------------------------13 分1 2 (3) 2 =1 +1 = 1 2 + 2 3 + + 2 2 +1 ，
因为 21 + 22 = 21 +
4
2 ≥ 4 ， 因为 2 1 2 +11 2 1 2 + 2 2 +1 = 2 2 1 + 2 +1 = 2 1 3 + 3
= 103 2 1 9
， --------------------------11 分
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设 = 2 1 9 ，前 项和为 ， 又因为 , ′ , 的变化情况如下表所示：
则 = 1 × 91 + 3 × 92 + + 2 1 × 9 ，
∞,0 0 0, + ∞
9 = 1 × 92 + 3 × 93 + + 2 3 × 9 + 2 1 × 9 +1 ，
2 81 1 9
1 ′ 0 +
8 = 9 + 2 9 + + 9 2 1 9 +1 = 9 + 2 × 1 9 2 1 9
+1
= 45 + 8 5 9 +1 ． 减函数 极小值 增函数 32 32
10 75 40 25
所以 2 +1 =1 +1 = 3 = 16+ 48 9 --------------------------15 分
所以 在 1,0 上是减函数，在 0,1 上是增函数，所以当 ∈ 1,1 时， 的最小值 min = 0 =
1．
【解析】【分析】(1)首先根据 与 的关系得到 ，再根据等比数列的性质即可得到 ； 的最大值 max为 1 和 1 中的最大值． --------------------------10 分
(2)利用裂项相消法即可得结果；
因为 1 1 = + 1 ln 1 + 1 + ln =
1
2ln ， --------------------------12 分(3)将分组求和与错位相减法相结合即可得结果．
令 = 1 2ln > 0 ，因为 = 1 + 1 2 = 1 1
2
20.【答案】 ′ 2 ， > 0
【解析】【答案】(1) = 1 (2)单调增区间为 0, + ∞ (3) ∈ 0, 1 ∪ , + ∞ 所以 =
1
2ln 在 ∈ 0,1 , 1 + ∞ 上是增函数，
【解析】 而 1 = 0，故当 > 1 时， > 0，即 1 > 1 ；当 0 < < 1 时， < 0，即 1 < 1 ．
【详解】试题分析：(1)可得 = ′ 0 = 0，又 0 = 1，得切线方程为 = 1；(2)求出 ′ ， ′ > 0 所以，当 > 1 时， 1 0 ≥ 1，即 ln ≥ 1，函数 = ln 在 ∈ 1, + ∞ 上是增函
得增区间， ′ < 0 得减区间；(3)存在 1, 2 ∈ 1,1 ，使得 1 2 ≥ 1 成立，等价于当 数，解得 ≥ ；当 0 < < 1 时， 1 0 ≥ 1 1，即 + ln ≥ 1，函数 =
1
+ ln 在 ∈ 0,1
∈ 1,1 时， 1 2 ≤ max min，所以只要 max min ≥ 1 即可． 1
上是减函数，解得 0 < ≤ ．
试题解析：(1)因为函数 = + 2 ln > 0, ≠ 1 ，
1
所以 ′ = ln + 2 ln , ′ 0 = 0， 综上可知，所求 的取值范围为 ∈ 0, ∪ , + ∞ ． --------------------------16 分
又因为 0 = 1，所以函数 在点 0, 0 处的切线方程为 = 1． --------------------------3 分 考点：1、导数运算、利用导数的几何意义求切线方程；2、利用导数研究函数的单调性和最值．
(2)由(1)， ′ = ln + 2 ln = 2 + 1 ln ， 【方法点晴】本题主要考查导数运算、利用导数研究函数的单调性和最值、利用导数的几何意义求切线
因为当 > 0, ≠ 1 时，总有 ′ 在 上是增函数． 方程、，属于难题.求曲线切线的一般步骤是：(1)求出 = ( )在 = 0处的导数，即 = ( )在点
又 ′ 0 = 0，所以不等式 ′ > 0 的解集为 0, + ∞ ， ( 0, ( 0))出的切线斜率(当曲线 = ( )在 处的切线与 轴平行时，在 = 0处导数不存在，切线方
故函数 的单调增区间为 0, + ∞ ，递减区间为 ∞,0 ． --------------------------7 分 程为 = 0)；(2)由点斜式求得切线方程 0 = ′( ) ( 0)．
(3)因为存在 1, 2 ∈ 1,1 ，使得 1 2 ≥ 1 成立，
而当 ∈ 1,1 时， 1 2 ≤ max min，
所以只要 max min ≥ 1 即可 --------------------------8 分
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