浙江省2024年初中学业水平考试数学三模试卷
考生须知：
1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卡，有三个大题，24个小题，满分为120分，考试时长为120分钟．
2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卡的规定位置上．
3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卡上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卡各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卡区域书写的答案无效．
4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．考试结束后，试题卷和答题卡一并上交．
试题卷Ⅰ
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2. “两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”．2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的系列低调开售．据统计，截至2023年10月21日，华为系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3. 一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图所示，则命中环数的众数与中位数分别为（ ）
A．9环与8环 B．8环与9环 C．8环与8.5环 D．8.5环与9环
4. 如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5. 下列各式的运算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
如图是某同学参加的滑雪项目，斜坡滑雪道与水平面的夹角为，
当他沿斜坡滑雪道直线滑行80米，则他下降的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，
跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
如图1，点P，Q分别从正方形的顶点A，B同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，
若点Q的速度是点P速度的2倍，当点P运动到点B时，点P，Q同时停止运动．
图2是点P，Q运动时，的面积y随时间x变化的图象，则正方形的边长是（ ）
A．2 B． C．4 D．8
如图，矩形中，，点在上，点在上，
将矩形沿折叠，使得点的对应点落在的延长线上，交于点，
若，则折痕的长为（ ）
A． B． C．3 D．
试题卷Ⅱ
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式： ．
12. 关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是 ．
13. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，
树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m．
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，
则图像经过点D的反比例函数的解析式是______．
如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，
连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．
在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
解答题（本大题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，
第22、23题每题10分，第24题12分，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中x是满足条件的合适的非负整数．
18. 如图，在中，于点，于点．
(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
19. 在中国共青团成立一百周年之际，某区各中小学持续开展了A：青年大学习；B：学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项活动参加．为了解学生参与活动的情况，在全区范围内进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图：
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次抽样调查中，一共抽取了 名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)小杰和小慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参加同一项活动的概率．
20. 图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆，可绕支点调节角度，为手机的支撑面，，支点A为的中点，且．
(1)若支杆与桌面的夹角，求支点到桌面的距离．
(2)在（1）的条件下，若支杆与的夹角，求支撑面下端到桌面的距离．
碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．
“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．
某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台1000元，
乙型自行车进货价格为每台1200元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，
销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）在销售中发现，甲型自行车按（1）中获利定价时，每天可售出20台．在原有基础上，
每降价5元，可多售出1台，要使甲型自行车每天销售利润不低于3360元，求优惠幅度的范围．
某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，
大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，
相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，
如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），
需要增加经费元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
【基础巩固】（1）如图1，已知于点，于点，
是上一点，，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，已知，，点，分别在边和上，是上一点，且，，求的值；
【拓展提高】（3）如图3，已知，，点，分别在直线和直线上，是边上一点，且，，的两条直角边长之比为，直接写出此时的长度．
24. 如图，内接于圆，是的高线，，，，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求证：；
（3）若点是上一动点，交于点．
①若与相似，求的长；
②当的面积与的面积差最大时，直接写出此时的长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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浙江省2024年初中学业水平考试数学三模试卷解析
考生须知：
1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卡，有三个大题，24个小题，满分为120分，考试时长为120分钟．
2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卡的规定位置上．
3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卡上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卡各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卡区域书写的答案无效．
4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．考试结束后，试题卷和答题卡一并上交．
试题卷Ⅰ
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可．
【详解】
解：该直口杯的主视图为
故选：D．
2. “两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”．2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的系列低调开售．据统计，截至2023年10月21日，华为系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】
解：1600000用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图所示，则命中环数的众数与中位数分别为（ ）
A．9环与8环 B．8环与9环 C．8环与8.5环 D．8.5环与9环
【答案】C
【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数；根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数即可．
【详解】根据统计图可得：8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8；
∵共有8个数，∴中位数是第4和5个数的平均数，∴中位数是（8+9）÷2=8.5．
故选C．
4. 如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题根据平行线的性质和三角形内角和综合计算出角度即可．
【详解】如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C
5. 下列各式的运算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方分别计算，对各项进行判断即可．
【详解】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B、原计算错误，故该选项不符合题意；
C、a3和a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
D、正确，故该选项符合题意；
故选：D．
6.不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出不等式组的解集，表示出数轴上即可.
【详解】解：不等式组整理得：，
∴不等式组的解集为，
故选C
如图是某同学参加的滑雪项目，斜坡滑雪道与水平面的夹角为，
当他沿斜坡滑雪道直线滑行80米，则他下降的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，过点A作地面于点C，根据正弦的定义解答即可．
【详解】解：过点A作地面于点C，
在中，米，，
∵，
∴（米），
故选：A．
赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，
跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B
如图1，点P，Q分别从正方形的顶点A，B同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，
若点Q的速度是点P速度的2倍，当点P运动到点B时，点P，Q同时停止运动．
图2是点P，Q运动时，的面积y随时间x变化的图象，则正方形的边长是（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据图2可知，时，点Q运动到点C，点P运动到的中点，的面积为4，进行计算即可．
【详解】当点Q在上运动时，的面积为
当时，的面积为4
即
此时点为的中点
故
解得
故选：C．
如图，矩形中，，点在上，点在上，
将矩形沿折叠，使得点的对应点落在的延长线上，交于点，
若，则折痕的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】过点作于点，则四边形是矩形，将纸片折叠，可证是等腰三角形；设利用相似的性质可用表示相关线段，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，
，，
，
，，
，
，
：：，
，，
设则
，
在中，由勾股定理得：
，
解得：舍去，
，，，
，
，
，
故选：B．
试题卷Ⅱ
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式： ．
【答案】/
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
12. 关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是 ．
【答案】-3
【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．
【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程得：
，解得：，
∴原方程为，
解方程得：，
∴方程的另一个根为-3；
故答案为-3．
13. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，
树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m．
【答案】
【分析】由于OP和AB与地面垂直，则AB∥OP，根据相似三角形的判定可证△ABC∽△OPC，然后利用相似三角形的性质即可求出OP的长．
【详解】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴，
即，
∴OP＝m．
故答案为：．
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，
则图像经过点D的反比例函数的解析式是______．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，结合正方形的性质，全等三角形的判定和性质，得到≌≌，然后表示出点C和点D的坐标，求出，即可求出答案．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：
∵，
设，，
∴点A为（，0），点B为（0，）；
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴≌≌，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∵点C在函数的函数图像上，
∴，即；
∴，
∴经过点D的反比例函数解析式为；
故答案为：．
如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，
连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．
在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】①②④．
【详解】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12-x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，
则△GED不是等腰三角形，
△GDE与△BEF不相似， ③错误；
S△GBE=×6×8=24，S△BEF=S△GBE=×24=，④正确.
故答案为：①②④
解答题（本大题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，
第22、23题每题10分，第24题12分，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中x是满足条件的合适的非负整数．
【答案】（1）4；（2）；
【分析】
（1）分别进行化简绝对值、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、零指数幂等运算，然后按照实数的运算法则计算即可；
（2）先根据分式的混合运算法则进行化简， 再根据分式分母不为零，确定在范围内合适的非负整数，最后再代入化简后的式子即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
x是满足条件的非负整数，且
原式
18. 如图，在中，于点，于点．
(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据证明即可；
（2）利用三角函数求出，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：在中，∵，，
∴．
在中，∵，，
∴，
∴．
19. 在中国共青团成立一百周年之际，某区各中小学持续开展了A：青年大学习；B：学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项活动参加．为了解学生参与活动的情况，在全区范围内进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图：
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次抽样调查中，一共抽取了 名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)小杰和小慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参加同一项活动的概率．
【答案】(1)200
(2)详见解析
(3)
【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．掌握公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
（1）由D的人数除以所占的比例即可；
（2）求出C的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：在这次调查中，一共抽取的学生为：（名），
（2）C的人数为：（名），
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中陈杰和刘慧参加同一项活动的结果有4种，
∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为．
20. 图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆，可绕支点调节角度，为手机的支撑面，，支点A为的中点，且．
(1)若支杆与桌面的夹角，求支点到桌面的距离．
(2)在（1）的条件下，若支杆与的夹角，求支撑面下端到桌面的距离．
【答案】(1)支点到桌面的距离
(2)支撑面下端到桌面的距离为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的判定与性质，
（1）过点B作，则，在中，，，，，进行计算即可得；
（2）过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K，则，，根据题意和平行线的性质得，根据角之间的关系和三角形内角和定理得，，，在中，，，，，计算得，根据，支点A为的中点得，根据三角形内角和定理得，在中，，，，，计算得，根据，得四边形是矩形，则，即可得，
掌握锐角三角形函数，平行线的判定与性质，构造直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作，
∴，
在中，，，，，
即，
，
即支点到桌面的距离．
（2）解：如图所示，过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，，，
即，
，
∵，支点A为的中点，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，，，
即，
，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
则支撑面下端到桌面的距离：
，
即支撑面下端到桌面的距离为．
碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．
“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．
某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台1000元，
乙型自行车进货价格为每台1200元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，
销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）在销售中发现，甲型自行车按（1）中获利定价时，每天可售出20台．在原有基础上，
每降价5元，可多售出1台，要使甲型自行车每天销售利润不低于3360元，求优惠幅度的范围．
【答案】（1）该公司销售一台甲型的利润为200元，一台乙型自行车的利润为250元
（2）优惠幅度的范围是15元至85元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程组和函数关系是解题的关键．
（1）根据“销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元”建立方程组求解即可；
（2）设甲型自行车降价元，则可多售出台，甲型自行车每天销售利润为元，根据题意列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为、元，根据题意得，
，
解得：，
答：该公司销售一台甲型的利润为200元，一台乙型自行车的利润为250元；
【小问2详解】
设甲型自行车降价元，则可多售出台，甲型自行车每天销售利润元，根据题意得，
，
∵，二次函数的图象的开口向下，
当时，有，
解得：，
∵为整数，
∴，，
当时，，
∴
答：优惠幅度的范围是15元至85元．
某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，
大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，
相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，
如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），
需要增加经费元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
【答案】(1)①；②米
(2)米
【分析】
（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于、、的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．
【详解】（1）
解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知：，，，
设改造前的抛物线解析式为，
∴，
解得：，
∴改造前的抛物线的函数表达式为；
②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设改造后抛物线解析式为：，
∵调整后与上升相同的高度，且，
∴对称轴为直线，则有，
当时，，
∴，
∴，，
∴改造后抛物线解析式为：，
当时，
改造前：，
改造后：，
∴（米），
∴的长度为米；
（2）
如（2）题图，设改造后抛物线解析式为，
∵当时，，
当时，，
∴，，
∴，
由题意可列不等式：，
解得：，
∵，
要使最大，需最小，
∴当时，的值最大，最大值为米．
【基础巩固】（1）如图1，已知于点，于点，
是上一点，，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，已知，，点，分别在边和上，是上一点，且，，求的值；
【拓展提高】（3）如图3，已知，，点，分别在直线和直线上，是边上一点，且，，的两条直角边长之比为，直接写出此时的长度．
【答案】（1）见详解（2）（3）或
【解析】
【分析】（1）通过角的等量代换，得出，通过证明，即可作答．
（2）分别过点作，证明，得出设，证明，列式得，算出，即可作答．
（3）进行分类讨论，当以及当，然后作图，根据相似三角形的判定与性质，运用数形结合思想，列式计算，即可作答．
【详解】解：（1）∵，，
∴
∴
∵
∴；
（2）分别过点作，如图
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
即
∴，
设
∵
∴
∴
在和中
∴
∴
∴
∴
∴
∴；
（3）∵的两条直角边长之比为，
∴当时，分别过点作，如图
与（2）同理，，
∴
∴
∵
∴
∴
设
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
当，过点分别作的延长线上于点J，如图：
∵
∴
∴
即
∴
设
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴解得
则
∴
综上或
24. 如图，内接于圆，是的高线，，，，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求证：；
（3）若点是上一动点，交于点．
①若与相似，求的长；
②当的面积与的面积差最大时，直接写出此时的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）①，②
【解析】
【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用勾股和锐角三角函数求得即可证明；
（2）连接，延长交于点，交于点，先证明是的角平分线，再证明即可得出结论；
（3）①过点作交于点，点是上一动点，交于点，先证明，设，得到即可求解，②要使的面积与的面积差最大，必须使和最大，当点与点重合时，最大，最大，先求得，即可求出．
【小问1详解】
证明：∵是的高线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【小问2详解】
证明：连接，延长交于点，交于点，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
又∵ ，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：①过点作交于点，点是上一动点，交于点，如图：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②∵，即，
∴，，
∴，
由题知，要使的面积与的面积差最大，必须使和最大，
∴当点与点重合时，最大，最大，如图：
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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