2024年北京中考最后一卷
数学全解全析
一、单选题
1．D
【分析】此题考查了几何体的三视图，根据几何体的三视图判断几何体的形状即可得到答案．
【详解】解：根据三视图可知几何体为：
，
故选：D
2．B
【分析】本题主要考查了数轴的应用，由数轴确定a、b、c的符号是解题的关键．
先由数轴确定a、b、c的符号，然后运用整式的加减运算法则逐项判断即可．
【详解】解：由图示可得：且，则，即B选项正确，符合题意．
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，关键是根据补角的定义得到，根据五边形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵,
∴,
∴，
故选B．
4．C
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质,根据题意判定,再利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可得到本题答案．
【详解】解:∵,分别为,的中点,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
故选:C．
5．D
【分析】本题考查圆周角定理，由圆周角定理得到，即可得到答案，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】∵，
∴．
故选：D．
6．B
【分析】本题考查求众数，先根据平均数求出的值，再根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：，解得，
∴这组数据为1，3，5，5，6，其中数据5出现次数最多，
∴众数为5；
故选B．
7．D
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．
【详解】解：、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项错误；
B、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，故本选项错误；
、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，故本选项错误；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，故本选项正确．
故选：D．
8．C
【分析】根据直角三角形的面积，列出y与x之间的关系式，且根据y与x的实际意义，即可解答．
【详解】解：∵ xy＝2，
∴
∴ （x＞0，y＞0）
故选：C．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，及反比例函数的图象，明确题意，确定两个变量之间的函数关系是解题的关键．
二、填空题
9．2（大于等于2的整数即可）
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于求出a的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵要使二次根式有意义，
∴，
∴，
∴符合题意的整数的值可以为2，
故答案为：2（大于等于2的整数即可）．
10．
【分析】此题主要考查了提取公因式与公式法分解因式，熟练掌握分解因式的步骤是解题关键．首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】解：
故答案为：．
11．
【分析】本题考查分式方程的解法．根据题意先去分母，再解整式方程，最后检验即可．
【详解】解：去分母，得
解得
检验：经检验是原分式方程的解．
故答案为：．
12．
【分析】根据正比例函数与反比例函数图象都关于原点对称，则交点也关于原点对称，进而求得的值，即可求解．
【详解】解：∵点与点是正比例函数图象与反比例西数图象的两个不同的交点，
∴，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数图象的性质，关于原点对称的点的坐标特征，掌握以上知识是解题的关键．
13．5或或
【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识．当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得值．
【详解】解：在中，，
；
①当时，如图1，；
②当时，如图2，，；
③当时，如图3，，，，
在中，，
所以，
解得：，
综上所述：当为等腰三角形时，或或．
故答案为：5或或．
14．
【分析】本题主要考查频数分布直方图，根据频数分布直方图求得总人数，进而找到80分以上的学生人数即可得出答案．
【详解】解：总人数为：（人）
分的有人，分的有人
则成绩为“优良”（分及分以上）的学生有（人）
∴成绩为“优良”（分及分以上）的学生所占百分比为，
故答案为：．
15．4
【分析】此题考查正方形的性质，矩形的判定与性质．解题关键是熟练掌握正方形的性质、矩形的判定与性质．先证明四边形是矩形，再证明是等腰三角形，从而得．
【详解】正方形的边长为4，
，
于点E， 于点F．
四边形是矩形，且是等腰三角形，
，
故答案为：4
16． 金城 三
【详解】解 将问题中事物分为三类：3个人为第一类，3个城市为第2类，3种奖励为第3类，类中元素用点表示，不同类的两点间如果有关联，则用实线连接，无关联的用虚线连接，图1包含问题给定各类的全部元素及其间的关系．
图1 图2
我们用图对这个问题进行推理，如果在以三个不同类的点为顶点的三角形中，一条边是实线，第二条边是虚线，则第三条边也是虚线（因为若有两条边是实线，则第三边必是实线），可见小强与二等奖之间连虚线，因金城选手既不能得一等奖，又不能得二等奖，故他只能得三等奖，即金城与三等奖连实线，从而水乡与一等奖连实线．又因为某点与其他一类中两点连虚线，则它必与第3点连实线，从而小强与一等奖连实线，从而小强与水乡连实线，小强与金城连虚线，从而小明与水乡连虚线，故小明与沙市连实线，故小华与金城连实线，而与沙市和水乡都连虚线，从而小华与三等奖，小明与二等奖都连实线（图2）．
所以，小华是金城的选手，他得的是三等奖．
三、解答题
17．0
【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．先计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【详解】解：原式
．
18．，数轴表示见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
19．
【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式法则计算，再将作为整体代入求解，掌握整体代入法是解题的关键．
【详解】解：，
将代入,得
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由在平行四边形中，得到由可得根据矩形的判定即可求证．
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
又
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
（2）∵平分
∴矩形BFDE的面积是：
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键．
21．小张的设计不符合实际情况
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
设宽为x米，则长为米，根据题意列出方程求解，再判断即可；
【详解】解：设宽为x米，则长为米，根据题意，得．
解这个方程，得．
∴．
∵，
∴不符合实际情况．
答：小张的设计不符合实际情况．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用待定系数法，把把代入，建立方程组再解方程，即可作答．
（2）根据一次函数的性质：，一次函数的随的增大而减小，然后分别算出当，时，所对应的函数值，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，把代入
得
解得
∴；
（2）解：∵
∴
故一次函数的随的增大而减小
则当时，则；
当时，则；
∴当时，函数值y的取值范围为．
23．(1)；；；
(2)
(3)理由见解析．
【分析】（）根据中位数和方差的概念求解即可；
（）根据算术平均数求解即可；
（）根据题意求解即可；
本题考查中位数、平均数、方差的定义，掌握中位数、平均数、方差的定义是解题的关键．
【详解】（1）由题意可得，甲的中位数，乙中出现次，则众数为，即，
，
，
∴，
故答案为：；；；
（2）；
（3）∵配送速度得分甲的中位数、众数比乙的好，
∴小丽应选择甲公司；
服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据是的直径，可得，再由，可得，即可求证；
（2）根据，可得，在中，根据锐角三角函数可得，从而得到，，再由证明，可得，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，即，
∵，即，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)①；②或
【分析】本题考查了函数的应用，描点并作出函数图象是解题的关键．
（1）描点并用光滑的曲线连接起来即可；
（2）①根据图象，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大时对应的温度最适合草莓生长；②根据图象作答即可．
【详解】（1）解：描点及图象如图所示：
（2）①由图象可知，当时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大，
故答案为：；
②由图象可知，当或时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率．
26．(1)是
(2)①，；②
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，正确理解题意是解题的关键．
（1）假设存在和谐点，则可得到，由于方程无解，则假设不成立，即不存在和谐点；
（2）①先把代入二次函数解析式推出，再根据只有一个和谐点得到方程只有一个实数根，由此得到，据此求出a的值进而求出c的值即可；
②根据①可得解析式为，则二次函数的对称轴为直线，由对称性求出当时，，再由当时，函数的最小值为，最大值为3，即可得到．
【详解】（1）解： 若函数的图象上存在和谐点，则，即，此时方程无实数解，
∴：函数的图象上不存在和谐点，
故答案为：否；
（2）解：①把代入中得，
∴，
∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
∴二次函数与直线只有一个交点，即方程只有一个实数根，
∴方程只有一个实数根，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴；
②由①函数解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线，其顶点坐标为，则最大值为3，
在时，随的增大而增大，当时，，
根据对称轴可知，当时，，
∵当时，函数的最小值为，最大值为3，
根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3，
∴．
27．(1)见解析
(2)图形见解析，，过程见解析
【分析】（1）分别以点A和点C为圆心，，为半径画弧，交于点E，连接，即可；
（2）先求出，根据折叠得到相应结论，求出，，证明是等边三角形，得到，可得，从而化简可得结论．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）∵，，
∴，
由折叠可知：，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即，
∴，化简得：．
【点睛】本题考查了尺规作图，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是灵活运用图形中的线段关系求出结果．
28．(1)
(2)①；②或．
【分析】本题考查了轴对称的性质，中心对称的性质，不等式组的求解，求一次函数的解析式等，解题的关键是用转化的思想借助参数构建不等式组．
（1）根据“关联点”的定义可知点，Q关于原点对称，由此即可解决问题．
（2）①作出关于对称的，由题意可得当线段向右平移时，与的边有两个交点时满足条件，利用图象法解决问题即可．
②分别求出直线与州的交点和点关于点的对称点的坐标，根据题意即可列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：∵点关于第一、三象限角平分线的对称点为，
∴，
∵点是点关于原点的关联点，
即点，点关于原点对称，
∴，
故答案为：．
（2）解：①如图中，作关于对称的，
当线段向右平移时，与的边有两个交点，即满足条件，
观察图象可知当线段向右平移时，经过点，此时平移的距离为，
当线段向右平移时，经过点，此时平移的距离为，
∴当时，平移后的线段上存在两个关于点的“关联点”，
故答案为：．
②设直线所在的函数解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
∴直线所在的函数解析式为，
当时，，
解得：，
即直线与轴的交点为；
则点关于点的对称点坐标为，
点关于点的对称点坐标为，
∵线段上存在关于点的关联点，
即点在线段上或点在线段上，
可得或，
解得：或．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2024年北京中考最后一卷
数学参考答案
一、单选题
1．D 2．B 3．B 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C
二、填空题
9．2（大于等于2的整数即可） 10． 11． 12．
13．5或或 14． 15．4 16． 金城 三
三、解答题
17．0
解：原式
．
18．， 解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
19．
解：，
将代入,得
．
20．(1)见解析
(2)
（1）∵四边形是平行四边形，
又
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
（2）∵平分
∴矩形BFDE的面积是：
21．小张的设计不符合实际情况
解：设宽为x米，则长为米，根据题意，得．
解这个方程，得．
∴．
∵，
∴不符合实际情况．
答：小张的设计不符合实际情况．
22．(1)
(2)
（1）解：依题意，把代入
得
解得
∴；
（2）解：∵
∴
故一次函数的随的增大而减小
则当时，则；
当时，则；
∴当时，函数值y的取值范围为．
23．(1)；；；
(2)
(3)理由见解析．
（1）由题意可得，甲的中位数，乙中出现次，则众数为，即，
，
，
∴，
故答案为：；；；
（2）；
（3）∵配送速度得分甲的中位数、众数比乙的好，
∴小丽应选择甲公司；
服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司．
24．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵是的直径，
∴，即，
∵，即，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
25．(1)见解析
(2)①；②或
（1）解：描点及图象如图所示：
（2）①由图象可知，当时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大，
故答案为：；
②由图象可知，当或时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率．
26．(1)是
(2)①，；②
解： 若函数的图象上存在和谐点，则，即，此时方程无实数解，
∴：函数的图象上不存在和谐点，
故答案为：否；
（2）解：①把代入中得，
∴，
∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
∴二次函数与直线只有一个交点，即方程只有一个实数根，
∴方程只有一个实数根，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴；
②由①函数解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线，其顶点坐标为，则最大值为3，
在时，随的增大而增大，当时，，
根据对称轴可知，当时，，
∵当时，函数的最小值为，最大值为3，
根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3，
∴．
27．(1)见解析
(2)图形见解析，，过程见解析
（1）解：如图，即为所求；
（2）∵，，
∴，
由折叠可知：，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即，
∴，化简得：．
28．(1)
(2)①；②或．
（1）解：∵点关于第一、三象限角平分线的对称点为，
∴，
∵点是点关于原点的关联点，
即点，点关于原点对称，
∴，
故答案为：．
（2）解：①如图中，作关于对称的，
当线段向右平移时，与的边有两个交点，即满足条件，
观察图象可知当线段向右平移时，经过点，此时平移的距离为，
当线段向右平移时，经过点，此时平移的距离为，
∴当时，平移后的线段上存在两个关于点的“关联点”，
故答案为：．
②设直线所在的函数解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
∴直线所在的函数解析式为，
当时，，
解得：，
即直线与轴的交点为；
则点关于点的对称点坐标为，
点关于点的对称点坐标为，
∵线段上存在关于点的关联点，
即点在线段上或点在线段上，
可得或，
解得：或．
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答案第1页，共2页2024年北京中考最后一卷
数学
注意事项：
1．本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分150分，考试时间120分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
一、单选题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意得选项只有一个.
1．（本题2分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题2分）若有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题2分）如图，是在五边形ABCDE的一个外角，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题2分）如图,在中,,分别为,的中点,若,则是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题2分）如图，是的直径，C，D是上两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（本题2分）已知一组数据：1，3，5，x，6，这组数据的平均数是4，则众数是 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（本题2分）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．袋子中有1个红球和2个黄球，从中随机地取出一个球是黄球
C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
8．（本题2分）一个直角三角形的两直角边长分别为x，y，其面积为2，则y与x之间的关系用图象表示大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（本题2分）要使二次根式有意义，则整数的值可以为 （填写一个整数值即可）．
10．（本题2分）分解因式： ．
11．（本题2分）方程的解为 ．
12．（本题2分）若点与点是正比例函数图象与反比例西数图象的两个不同的交点，则 ．
13．（本题2分）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当为等腰三角形时，t的取值为 ．
14．（本题2分）某班学生参加学校组织的“垃圾分类”知识竞赛，将学生成绩制成如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端值不包括右端值），其中成绩为“优良”（80分及80分以上）的学生所占百分比为 ．
15．（本题2分）如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E， 于点F．在点G的运动过程中，的值为 ．
16．（本题2分）小明、小强、小华三个人参加迎春杯赛，他们是来自金城、沙市、水乡的选手，并且分别获得一、二、三等奖．现在知道：
（1）小明不是金城的选手；
（2）小强不是沙市的选手；
（3）金城的选手不是一等奖
（4）沙市的选手得二等奖；
（5）小强不是三等奖．
根据上述情况，小华是 的选手，他得的是 等奖．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明和演算步骤或证明过程.
17．（本题5分）计算：．
18．（本题5分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
19．（本题5分）若，求的值．
20．（本题6分）如图，在平行四边形中，过点作于点点在边上，连接
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分求四边形的面积．
21．（本题6分）列方程，解决实际问题：
如图所示，学校准备在图书馆后面的场地边建一个长方形自行车棚，一边利用图书馆的后墙，已知墙长18米，并利用已有总长为52米的铁围栏．若小张的设计方案中，长比宽多4米，问他的设计是否符合实际情况？
22．（本题5分）已知一次函数，它的图象经过两点．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当时，求函数值y的取值范围．
23．（本题5分）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
．配送速度得分（满分分）：
甲：
乙：
．服务质量得分统计图（满分分）：
．配送速度和服务质量得分统计表：
快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的______；____________（填“”“”或“”）；
(2)求甲快递公司配送速度的平均数的值．
(3)综合考虑配送速度和服务质量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由（至少写两条）．
24．（本题6分）如图，是的直径，点C在上，且，的延长线交于点G，交于于点F，垂足为D．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
25．（本题5分）光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在至气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据：
温度（℃）
光合作用产氧速率（）
呼吸作用耗氧速率（）
(1)通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数；建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并画出函数图象；
(2)结合函数图象，解决问题：（结果取整）
①最适合草莓生长的温度约为______℃；
②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢．
26．（本题6分）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点，，……都是和谐点．
(1)判断函数的图象上 （填“是”或“否”）存在和谐点；
(2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点．
①求a、c的值；
②若时，函数的最小值为，最大值为3，求实数m的取值范围．
27．（本题7分）如图，在中，是锐角，，于点D．将沿着翻折，点D的对应点为点E．
(1)用尺规作出点E，要求保留作图痕迹，不写作法；
(2)连结交于点F，过点E作交的延长线于点H，补充图形．探究线段与的数量关系．
28．（本题7分）在平面直角坐标系中，对于点与图形W，若点Q为图形W上任意一点，点关于第一、三象限角平分线的对称点为，且线段中点为，则称点是图形W关于点的“关联点”．
(1)如图1，若点是点关于原点的关联点，则点的坐标为 ；
(2)如图2，在中，，，．
①将线段向右平移（）个单位长度，若平移后的线段上存在两个关于点的关联点，则d的取值范围是 ．
②已知点和点，若线段上存在关于点的关联点，求n的取值范围．
答案第1页，共2页
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