5.5 分式方程的定义及其解法 提升练习
本专题包含分式方程的定义、解，解分式方式的方法（基础），换元法解分式方程（拓展提升）.
1.分式方程的定义
1．（2022秋 绥中县期末）下列方程中，是分式方程的是
A． B． C． D．
2．（2022秋 泰山区校级月考）下列方程不是分式方程的是
A． B． C． D．
3．（2023秋 宣化区期末）在①；②；③；④；⑤中，分式方程有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023春 苏家屯区期中）在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021秋 逊克县期末）有下列方程：①；②；③；④．属于分式方程的有
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
6．（2022秋 同心县校级期末）分母中含有未知数的方程叫做 ．
7．（2023春 宜宾月考）在方程，，，中，分式方程有 个．
8．（2023秋 宁江区校级期末）有下列方程：①，②，③为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）．
9．（2022春 二七区校级期末）请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ．
10．（2021秋 岱岳区校级月考）判一判：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）．
2.分成方程的解
1．（2019秋 黄浦区校级期末）是下列哪个分式方程的解
A． B． C． D．
2．（2024 中山市校级一模）已知关于的方程的解是，则的值为
A．2 B．1 C． D．
3．（2023秋 新乡期末）已知关于的方程的解为，则实数的值为
A． B．3 C． D．2
4．（2023秋 平舆县期末）若分式方程的解为，则的值是
A．1 B．2 C． D．
5．（2023秋 万年县期末）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是
A． B． C．且 D．且
6．（2023秋 游仙区期末）如果4是关于的分式方程的解，则等于
A． B． C．1 D．3
7．（2023秋 绵阳期末）已知是关于的分式方程的解，则 ．
3.分式方程的解法
1．（2024春 宜阳县期中）分式方程的解为
A． B． C． D．
2．（2024 库尔勒市一模）已知分式方程，去分母后得
A． B．
C． D．
3．（2024 武侯区模拟）分式方程的解为
A． B． C． D．
4．（2024 合肥模拟）若代数式和的值互为相反数，则等于
A．1 B． C．2 D．
5．（2023秋 怀化期末）分式方程的解为
A． B． C． D．
6．（2024 建平县一模）解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是
A．方程两边分式的最简公分母是
B．方程两边都乘以，得整式方程
C．解这个整式方程，得
D．原方程的解为
7．（2024 沅江市一模）对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是
A． B． C． D．
8．（2023秋 博兴县期末）把分式方程变形为的形式，其依据为
A．等式性质1 B．等式性质2
C．分式的基本性质 D．分式的乘法法则
9．（2024春 龙泉驿区期中）解下列方程．
（1）；
（2）．
10．（2024春 长清区期中）解分式方程：（1）；
（2）．
11．（2024 碑林区校级四模）解分式方程：．
12．（2024 中宁县模拟）小明在解一道分式方程过程如下：
第一步：整理
第二步：去分母．
（1）请说明第一步和第二步变化过程的依据分别是 、 ；
（2）请把以上解分式方程的过程补充完整．
4.换元法解分式方程
1．（2024春 肇源县月考）用换元法解方程，若设，则原方程可化为
A． B． C． D．
2．（2024春 浦东新区期中）用换元法解方程，设，则得到关于的整式方程为
A． B． C． D．
3．（2023春 浦东新区期末）用换元法解方程时，下列换元方法中最合适的换元方法是
A．设 B．设
C．设 D．设．
4．（2024春 崇明区期中）用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于的整式方程为 ．
5．（2023春 普陀区期中）用换元法解方程时，可以设 ，那么原方程可化为关于的整式方程是 ．
6．（2024春 徐汇区校级月考）．
7．（2024春 龙泉驿区期中）阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：．
解：设，则原方程化为：，
方程两边同时乘得：，
解得：，．
经检验：，都是方程的解．
当时，，解得：；
当时，，解得：．
经检验：或都是原分式方程的解．
原分式方程的解为或．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）在方程中，设，则原方程换元后为： ；
（2）模仿上述换元法解方程：．
8．（2024春 玄武区期中）先阅读下面的材料，然后回答问题：
阅读材料一：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
阅读材料二：在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差的形式．
如：；
再如：．
（1）根据上面材料一的规律，猜想关于的方程的解是 ；
（2）根据材料二将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式 ，利用（1）的结论得到关于的方程的解是 ；
（3）利用上述材料及（1）的结论解关于的方程：．
()
5.5 分式方程的定义及其解法 提升练习
本专题包含分式方程的定义、解，解分式方式的方法（基础），换元法解分式方程（拓展提升）.
1.分式方程的定义
1．（2022秋 绥中县期末）下列方程中，是分式方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式的定义进行判断即可．
【解析】．该方程是一元一次方程，不符合题意；
．该方程是分式方程，符合题意；
．该方程是一元一次方程，不符合题意；
．该方程是二元一次方程，不符合题意；
故选．
2．（2022秋 泰山区校级月考）下列方程不是分式方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．
【解析】、方程分母中含未知数，故是分式方程；
、方程分母中含未知数，故是分式方程；
、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
、方程分母中含未知数，故是分式方程；
故选．
3．（2023秋 宣化区期末）在①；②；③；④；⑤中，分式方程有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】根据分式方程定义进行解答即可．
【解析】③；④是分式方程，共2个，
故选．
4．（2023春 苏家屯区期中）在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
【解析】①是分式，不是分式方程；
②是关于的分式方程；
③是一元一次方程；
④是关于的分式方程，
故关于的分式方程只有一个．
故选．
5．（2021秋 逊克县期末）有下列方程：①；②；③；④．属于分式方程的有
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】
【分析】根据分式方程的定义对各小题分析判断即可得解．
【解析】①是整式方程，
②是分式方程，
③是分式方程，
④是整式方程，
所以，属于分式方程的有②③．故选．
6．（2022秋 同心县校级期末）分母中含有未知数的方程叫做 ．
【答案】分式方程．
【分析】依据分式方程的定义进行判断即可，分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
【解析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
故答案为：分式方程．
7．（2023春 宜宾月考）在方程，，，中，分式方程有 个．
【答案】3．
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【解析】在方程，，，中，分式方程有，，，一共有3个．故答案为：3．
8．（2023秋 宁江区校级期末）有下列方程：①，②，③为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）．
【答案】②．
【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．
【解析】①方程的分母中不含有未知数，不是分式方程；
②方程的分母中含有未知数，是分式方程；
③方程为不等于2的常数）的分母中不含有未知数，不是分式方程；
所以分式方程有②．故答案为：②．
9．（2022春 二七区校级期末）请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ．
【答案】．
【分析】根据分式方程的定义及分式无意义的条件即可得到答案．
【解析】一个未知数是且当时没有意义的分式方程为（答案不唯一）．
故答案为：．
10．（2021秋 岱岳区校级月考）判一判：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）．
【分析】利用分式方程的定义解答即可．
【解析】分母中含有未知数的方程是分式方程，
（1）（3）（4）（5）（7）是分式方程，（2）（6）是整式方程．
2.分成方程的解
1．（2019秋 黄浦区校级期末）是下列哪个分式方程的解
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可．
【解析】当时，
中，的分母等于0，分式无意义，不合题意；
中，，分母等于0，分式无意义，不合题意；
中，的分母等于0，分式无意义，不合题意；
中，，符合题意．
故选．
2．（2024 中山市校级一模）已知关于的方程的解是，则的值为
A．2 B．1 C． D．
【答案】
【分析】将代入方程，即可求的值．
【解析】关于的方程的解是，
，
解得，
经检验是方程的解．故选．
3．（2023秋 新乡期末）已知关于的方程的解为，则实数的值为
A． B．3 C． D．2
【答案】
【分析】把代入关于的方程得关于的方程，解方程即可．
【解析】把代入关于的方程得：
，
，
解得：，故选．
4．（2023秋 平舆县期末）若分式方程的解为，则的值是
A．1 B．2 C． D．
【答案】
【分析】根据分式方程解的定义代入得出，再根据分式方程的解法求出的值即可．
【解析】分式方程的解为，
，
即，
解得，
经检验是方程的解，
所以原方程的解为，故选．
5．（2023秋 万年县期末）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是
A． B． C．且 D．且
【答案】
【分析】根据分式方程的解法以及分式方程的增根可确定的取值范围即可．
【解析】将关于的分式方程的两边都乘以，得
，
即，
由于分式方程有解，
，
又分式方程有增根和，
当时，，
综上所述且．故选．
6．（2023秋 游仙区期末）如果4是关于的分式方程的解，则等于
A． B． C．1 D．3
【答案】
【分析】根据方程的解的定义，把代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有的新方程，解此新方程可以求得的值．
【解析】把代入原方程，得：，解得．故选．
7．（2023秋 绵阳期末）已知是关于的分式方程的解，则 ．
【答案】．
【分析】根据分式方程解的定义，把代入关于的分式方程得关于的分式方程，解分式方程求出即可．
【解析】把代入关于的分式方程得：
，
，
，
，
检验：当时，，
是分式方程的解，故答案为：．
3.分式方程的解法
1．（2024春 宜阳县期中）分式方程的解为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【解析】，
方程两边都乘，得，
，
，
，
，
检验：当，时，，
所以分式方程的解是．故选．
2．（2024 库尔勒市一模）已知分式方程，去分母后得
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】两边都乘以最简公分母即可得．
【解析】方程两边都乘以最简公分母，得：，
即，故选．
3．（2024 武侯区模拟）分式方程的解为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】两边都乘以化为整式方程求解，然后检验．
【解析】两边都乘以去分母，得
，
解得，
检验：当时，，
是原方程的解．故选．
4．（2024 合肥模拟）若代数式和的值互为相反数，则等于
A．1 B． C．2 D．
【答案】
【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到的值．
【解析】根据题意得：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．故选．
5．（2023秋 怀化期末）分式方程的解为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，故选．
6．（2024 建平县一模）解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是
A．方程两边分式的最简公分母是
B．方程两边都乘以，得整式方程
C．解这个整式方程，得
D．原方程的解为
【答案】
【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】分式方程的最简公分母为，
方程两边乘以，得整式方程，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解．故选．
7．（2024 沅江市一模）对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【解析】根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．故选．
8．（2023秋 博兴县期末）把分式方程变形为的形式，其依据为
A．等式性质1 B．等式性质2
C．分式的基本性质 D．分式的乘法法则
【答案】
【分析】根据等式的性质，分式的性质，逐一判断即可．
【解析】分式方程等式两边同时乘以得到，
、等式性质1：等式两边同时加上或者减去同一个式子，等式仍成立，不符合题意；
、等式性质2：等式两边同时乘同一个式子，等式仍成立，符合题意；
、分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或者除以同一个不为0的整式，分式值不变，不符合题意；
、分式的乘法法则：分式的分子和分母分别相乘，即分式的分子和分母与另一个分式的分子和分母相乘，不符合题意；
故选．
9．（2024春 龙泉驿区期中）解下列方程．
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【解析】（1），
方程两边都乘，得，
，
，
，
，
检验：当时，，
所以分式方程的解是；
（2），
，
方程两边都乘，得，
，
，
，
，
检验：当时，，
所以是增根，
即分式方程无解．
10．（2024春 长清区期中）解分式方程：（1）；
（2）．
【分析】（1）根据等式的性质将方程的两边都乘以化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可；
（2）根据等式的性质将方程的两边都乘以化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可．
【解析】（1）两边都乘以，得
，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以原方程的解为；
（2）两边都乘以，得
，
解得，
经检验是原方程的增根，
所以原方程无解．
11．（2024 碑林区校级四模）解分式方程：．
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【解析】，
，
方程两边都乘，得，
，
，
，
，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
12．（2024 中宁县模拟）小明在解一道分式方程过程如下：
第一步：整理
第二步：去分母．
（1）请说明第一步和第二步变化过程的依据分别是 、 ；
（2）请把以上解分式方程的过程补充完整．
【分析】（1）根据分式的基本性质、等式的性质判断即可；
（2）将分式方程化为整式方程求解即可．
【解析】（1）第一步变化过程的依据是分式的基本性质，第二步变化过程的依据是等式的性质，
故答案为：分式的基本性质，等式的性质；
（2），
整理得，
去分母，得，
解得，
检验：当时，，所以不是分式方程的解，
所以原分式方程无解．
4.换元法解分式方程
1．（2024春 肇源县月考）用换元法解方程，若设，则原方程可化为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】若设，则原方程化为．用换元法转化为关于的一元二次方程．
【解析】设，则，
代入原方程得：．故选．
2．（2024春 浦东新区期中）用换元法解方程，设，则得到关于的整式方程为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】设，则原方程化为，整理后即可得出答案．
【解析】，
设，则原方程化为：
，
整理得：，故选．
3．（2023春 浦东新区期末）用换元法解方程时，下列换元方法中最合适的换元方法是
A．设 B．设
C．设 D．设．
【答案】
【分析】根据分式方程的特点即可得出答案．
【解析】分式方程中与互为倒数，
则可设，那么，
方程化为，
那么最合适的换元方法是，故选．
4．（2024春 崇明区期中）用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于的整式方程为 ．
【答案】．
【分析】将原方程可变为，再设，进而得到，于是原方程可变为，再化成整式方程即可．
【解析】原方程可变为，
设，则，则原方程可变为，
两边都乘以得，．
故答案为：．
5．（2023春 普陀区期中）用换元法解方程时，可以设 ，那么原方程可化为关于的整式方程是 ．
【答案】，．
【分析】设，则原方程变为，再化为整式方程即可．
【解析】，
设，则原方程变为，即，
故答案为：，．
6．（2024春 徐汇区校级月考）．
【分析】用换元法求解即可．
【解析】设，
则原方程变为，
，
，．
当时，解得，．
当时，解得，．
7．（2024春 龙泉驿区期中）阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：．
解：设，则原方程化为：，
方程两边同时乘得：，
解得：，．
经检验：，都是方程的解．
当时，，解得：；
当时，，解得：．
经检验：或都是原分式方程的解．
原分式方程的解为或．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）在方程中，设，则原方程换元后为： ；
（2）模仿上述换元法解方程：．
【分析】（1）设，则原方程换元后为，再根据等式的性质进行变形即可；
（2）设，则原方程化为，求出方程的解，再进行检验，当时，，求出方程的解，当时，，求出方程的解，最后进行检验即可．
【解析】（1），
设，则原方程换元后为，
方程两边乘，得．
故答案为：；
（2），
，
设，则原方程化为：，
，
，
，
经检验：都是的解，
当时，，
，
，
，
，
；
当时，，
，
，
，
，
，
，
经检验：和都是分式方程的解，
所以分式方程的解是，．
8．（2024春 玄武区期中）先阅读下面的材料，然后回答问题：
阅读材料一：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
阅读材料二：在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差的形式．
如：；
再如：．
（1）根据上面材料一的规律，猜想关于的方程的解是 ；
（2）根据材料二将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式 ，利用（1）的结论得到关于的方程的解是 ；
（3）利用上述材料及（1）的结论解关于的方程：．
【分析】（1）从数字找规律，即可解答；
（2）将进行变形可得；，则方程变形为，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答；
（3）依据题意，将原方程化为，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答．
【解析】（1）根据上面的规律，猜想关于的方程的解是，，
故答案为：，；
（2）
；
则，
，
或，
，，
经检验：，是原方程的根；
故答案为：，，，；
（3），
，
，
，
或．
，．
经检验：，是原方程的根．
()
