专题04 数列
考点一：数列的概念与表示
知识点1 数列的有关概念
1、数列的三种表示：列表法、图象法和解析式法．
2、数列的分类
分类标准 类型 满足条件
按项数 分类 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N*
递减数列
常数列
按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
周期数列 对n∈N*，存在正整数常数k，使
3、数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4、数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
知识点2 数列通项公式的求法
1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
2、公式法
（1）使用范围：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．
（2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
3、累加法：适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n)
要点：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解
4、累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为＝f(n)
要点：利用恒等式an＝a1···…·(an≠0，n≥2，n∈N*)求解
5、构造法：对于不满足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的递推关系，常采用构造法
要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解
类型一：形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出
类型二：形如型的递推式：
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用累加法便可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：，再结合第一种类型。
6、取倒数法：an＋1＝(p，q，r是常数)，可变形为＝·＋
要点：①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项；
②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解
7、三项递推构造：适用于形如型的递推式
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
8、不动点法
（1）定义：方程的根称为函数的不动点．
利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．
（2）在数列中，已知，且时，（是常数），
①当时，数列为等差数列；
②当时，数列为常数数列；
③当时，数列为等比数列；
④当时，称是数列的一阶特征方程，
其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：；
（3）形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）．
（1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）；
（2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）．
(其中、可利用，求得)
【题型1 由an与Sn的关系求通项公式】
在数列问题中，数列的通项与其前n 项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛｝的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验。 已知Sn求an的三个步骤 （1）利用a1＝S1求出a1. （2）当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式． （3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝ 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． （1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． （2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
1．（2024·河南开封·二模）已知数列的前n项和为，则（ ）
A．81 B．162 C．243 D．486
2．（2024·四川·模拟预测）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·福建漳州·一模）已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏·一模）已知正项数列满足，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知，求数列 .
【题型2 由递推关系求数列的通项公式】
1、累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）构造： 2、累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）构造： 3、构造法： （1）形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项． （2）形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为． （3）通过配凑转化为，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 4、取倒数法：对于，取倒数得． 当时，数列是等差数列； 当时，令，则，可用待定系数法求解．
1．（2024·山东潍坊·一模）已知数列满足，．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·河南·期中）在数列中，，，，则（ ）
A． B．15 C． D．10
3．（23-24高三下·安徽·开学考试）已知正项数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
5．（23-24高三上·河南焦作·开学考试）已知数列满足，，则满足的最小正整数 ．
【题型3 数列的周期性及应用】
1、周期数列的常见形式 （1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； （2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； （3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． 2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和．
1．（2024·广西南宁·一模）已知数列的首项（其中且），当时，，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．（2024·甘肃兰州·一模）数列满足，，则（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
3．（2024·四川宜宾·二模）在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的和为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．（2024·山西·一模）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·内蒙古包头·一模）已知数列的前项和为，，，，则 ．
【题型4 用函数研究数列的单调性和最值】
求数列最大项或最小项的方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项． （2）通过通项公式研究数列的单调性， 利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法： ①若有（或时，）， 则，即数列是递增数列，所以数列的最小项为； ②若有（或时，）， 则，即数列是递减数列，所以数列的最大项为
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知数列满足，则“”是“是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·辽宁·一模）若函数使得数列，为递减数列，则称函数为“数列保减函数”，已知函数为“数列保减函数”，则a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽阜阳·一模）已知数列满足，则“为递增数列”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知数列满足单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考点二：等差数列及其前n项和
知识点1 等差数列的概念及公式
1、等差数列的定义
（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
（2）符号语言：(，为常数)．
2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．
3、通项公式与前n项和公式
（1）通项公式：．
（2）前项和公式：．
（3）等差数列与函数的关系
①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列．
②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0.
知识点2 等差数列的性质
已知数列是等差数列，是其前项和．
1、等差数列通项公式的性质：
（1）通项公式的推广：．
（2）若，则．
（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为．
（4）若是等差数列，则也是等差数列．
2、等差数列前项和的性质
（1）；
（2）；
（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.
（4）数列，，，…构成等差数列．
（5）若项数为，则，；
（6）若项数为，则，，，.
【题型1 等差数列的基本量求解】
1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
1．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
2．（2023·全国·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
（1）若，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
3．（2024·天津·一模）已知为等差数列，前项和为，且，，则（ ）
A．54 B．45 C．23 D．18
4．（2024·江苏盐城·模拟预测）在等差数列中，已知则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）设是等差数列的前项和，且，则（ ）
A．34 B．30 C．26 D．22
【题型2 等差数列的性质及应用】
1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
1．（2024·山西朔州·一模）设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B．3 C． D．5
2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知为等差数列，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，已知与是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·甘肃·一模）已知数列为等差数列，，则（ ）
A．16 B．19 C．25 D．29
5．（2024·山东青岛·一模）记正项等差数列的前n项和为，，则的最大值为（ ）
A．9 B．16 C．25 D．50
【题型3 等差数列的前n项和性质及应用】
1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列 Sn＝an2＋bn(a，b为常数) 数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
1．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（ ）
A． B． C． D． E．均不是
2．（23-24高三上·河北·期末）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，则 ．
5．（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）（多选）已知为数列的前和，下列说法正确的是（ ）
A．若数列为等差数列，则 ，，为等差数列
B．若为等比数列，则，，为等比数列
C．若为等差数列，则，，为等差数列
D．若为等比数列，则，，为等比数列
【题型4 等差数列的单调性及最值】
1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
1．（23-24高三上·江西赣州·阶段练习）已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．40
2．（23-24高三下·重庆·月考）已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，且,，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江吉林·二模）（多选）已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·安徽·阶段练习）（多选）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C．当时，取最大值 D．当时，的最小值为19
5．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则为等差数列
B．若，则为递增数列
C．若，则当且仅当时取得最小值
D．“”是“数列为递增数列”的充要条件
【题型5 等差数列的判定与证明】
1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
1．（23-24高二上·云南昆明·期中）数列满足.
（1）求的值；
（2）设，证明是等差数列.
2．（2024高三·江苏·专题练习）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
3．（23-24高三上·海南·期末）设数列的前项和为，若，且．
（1）证明数列是等差数列，并求的表达式；
（2）求数列的通项公式．
4．（23-24高三上·海南·阶段练习）已知数列的前n项和为，，，，其中为常数．
（1）证明：；
（2）是否存在，使得为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【题型6 含绝对值等差数列求和】
含绝对值等差数列求和步骤： 第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
1．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
2．（2024·四川成都·二模）已知数列的前n项和，且的最大值为．
（1）确定常数，并求；
（2）求数列的前15项和．
3．（23-24高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
4．（23-24高三上·湖北·期中）已知为等差数列的前项和，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
考点三：等比数列及其前n项和
知识点1 等比数列的概念及公式
1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。
数学语言表达式： (，为非零常数)．
2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.
注意：同号的两个数才有等比中项。
3、通项公式及前n项和公式
（1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；
通项公式的推广：.
（2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
知识点2 等比数列的性质
已知是等比数列，是数列的前项和．
1、等比数列的基本性质
（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为.
（2）若，(项数相同)是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
（3）若，则有，推广：
（4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。
（5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。
2、等比数列前项和的性质
（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；
（2）对，有；
（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和；
（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）
【题型1 等比数列的基本量求解】
注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论. 1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键． 2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论．
1．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
2．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
3．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知是正项等比数列的前项和，且，，则（ ）
A．212 B．168 C．121 D．163
4．（2024·陕西西安·二模）已知等比数列中，公比，其前项和 ，则（ ）
A． B． C． D．24
5．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）设各项均不相等的等比数列的前n项和为，若，则公比（ ）
A． B． C． D．
【题型2 等比数列的性质及应用】
若成等比数列，则为和的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项， “”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、应用等比数列性质解题时的2个注意点 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质， 特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
1．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知是正项等比数列，且，则=（ ）
A． B．2 C．4 D．
3．（2024·湖北武汉·二模）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若、均为等比数列且公比相等，则也是等比数列
B．若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列
C．若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列
D．若数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件
4．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）等比数列中，为的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．1
5．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）在等比数列中，若，，则 ．
【题型3 等比数列的判定与证明】
1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.
1．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知数列满足，.
（1）求，；
（2）求，并判断是否为等比数列.
2．（2024·贵州毕节·一模）已知数列满足.
（1）设，证明：是等比数列；
（2）求数列的前项和.
3．（2024高三上·全国·竞赛）设数列满足：，，且，对成立.
（1）证明：是等比数列；
（2）求和的通项公式.
4．（2024高三·全国·专题练习）设数列满足，，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式．
【题型4 等差与等比数列综合】
解决等差数列与等比数列的综合问题（即双数列问题）的关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间的关系。注意运用等差数列与等比数列的基本量来表示数列中的所有项，还应注意等差数列与等比数列之间的相关转化。
1．（23-24高三上·甘肃平凉·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式
（2）求的前项和
2．（23-24高三上·山东济宁·期末）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，且满足．设，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
考点四：数列求和及其综合应用
知识点1 几种数列求和的常用方法
1、公式法
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
2、分组转化法求和：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
3、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
4、倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
5、裂项相消法求和：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和．
6、错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求.
【题型1 分组转化法求数列的前n项和】
分组转化法求和的常见类型： ①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列； ②通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.
1．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）数列满足，.
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和为．
3．（23-24高三上·广西河池·阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为，，且，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
4．（2024·福建莆田·二模）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【题型2 裂项相消法求数列的前n项和】
在数列问题中，数列的通项与其前n 项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛｝的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验。 1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）设数列为等差数列，前项和为 ．
（1）求数列的通项公式；
（2）设的前项和为，求．
2．（2024·陕西西安·二模）已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
3．（2024·四川·模拟预测）已知正项数列满足，等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
4．（23-24高三上·安徽池州·期末）已知正项数列的前n项和为．
（1）求数列的前n项和；
（2）令，求数列的前9项之和．
【题型3 错位相减法求数列的前n项和】
1、错位相减法解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：．
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知为数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知正项数列是方程的根，数列满足公比是2的等比数列，.
（1）数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
3．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
4．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知是数列的前项和，满足；正项数列为等比数列，数列的前项和为，，．
（1）求数列和的通项公式：
（2）令，数列前项和为，求．
【题型4 数列与不等式证明问题】
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面： 一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解； 二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
2．（2024·福建厦门·一模）已知数列的前项和为，，当，且时，．
（1）证明：为等比数列；
（2）设，记数列的前项和为，若，求正整数的最小值．
3．（23-24高三下·广东广州·月考）已知数列的首项，前n项和为，且．设．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：．
4．（2024·广东佛山·二模）已知数列满足，，且．
（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，证明：当时，．
【题型5 数列中的探究问题】
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤： ①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．
1．（2024·云南·一模）已知为等比数列，记分别为数列的前项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）是否存在整数，使对任意正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由.
2．（2024·湖北武汉·二模）已知等比数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
3．（2024·江苏南通·二模）已知数列的前n项和为，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由.
4．（2024·湖南·二模）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
【题型6 数列新定义问题】
数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
1．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）若有穷数列（是正整数），满足，，…，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”．
（1）已知数列是项数为8的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出的每一项．
（2）已知是项数为（其中，且）的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前项和．
2．（2024·北京海淀·一模）已知：为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当时，均有.设，对于，定义，其中，表示数集M中最小的数.
（1）若，写出的值；
（2）若存在满足：，求的最小值；
（3）当时，证明：对所有.
3．（2024·江苏徐州·一模）对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．
（1）若数列为2，4，3，7，求的值；
（2）对于每项均是正整数的有穷数列，令，．
（i）探究与的关系；
（ii）证明：．
4．（2024·海南省直辖县级单位·一模）若有穷数列（是正整数），满足（，且，就称该数列为“数列”.
（1）已知数列是项数为7的数列，且成等比数列，，试写出的每一项；
（2）已知是项数为的数列，且构成首项为100，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求这些数列的前2024项和.专题04 数列
考点一：数列的概念与表示
知识点1 数列的有关概念
1、数列的三种表示：列表法、图象法和解析式法．
2、数列的分类
分类标准 类型 满足条件
按项数 分类 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N*
递减数列
常数列
按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
周期数列 对n∈N*，存在正整数常数k，使
3、数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4、数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
知识点2 数列通项公式的求法
1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
2、公式法
（1）使用范围：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．
（2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
3、累加法：适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n)
要点：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解
4、累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为＝f(n)
要点：利用恒等式an＝a1···…·(an≠0，n≥2，n∈N*)求解
5、构造法：对于不满足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的递推关系，常采用构造法
要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解
类型一：形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出
类型二：形如型的递推式：
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用累加法便可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：，再结合第一种类型。
6、取倒数法：an＋1＝(p，q，r是常数)，可变形为＝·＋
要点：①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项；
②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解
7、三项递推构造：适用于形如型的递推式
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
8、不动点法
（1）定义：方程的根称为函数的不动点．
利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．
（2）在数列中，已知，且时，（是常数），
①当时，数列为等差数列；
②当时，数列为常数数列；
③当时，数列为等比数列；
④当时，称是数列的一阶特征方程，
其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：；
（3）形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）．
（1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）；
（2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）．
(其中、可利用，求得)
【题型1 由an与Sn的关系求通项公式】
在数列问题中，数列的通项与其前n 项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛｝的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验。 已知Sn求an的三个步骤 （1）利用a1＝S1求出a1. （2）当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式． （3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝ 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． （1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． （2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
1．（2024·河南开封·二模）已知数列的前n项和为，则（ ）
A．81 B．162 C．243 D．486
【答案】B
【解析】数列的前n项和为，所以.故选：B
2．（2024·四川·模拟预测）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，当时，，
当也满足，
所以数列的通项公式为.故选：D
3．（2024·福建漳州·一模）已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，则，
两式相减可得：，即，
令，可得，且，所以.故选：A.
4．（2024·江苏·一模）已知正项数列满足，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】时，
时，
，
故选：D.
5．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知，求数列 .
【答案】
【解析】时，，
时，由，
有，
两式相减，得，则有，
时，不符合，
所以.
【题型2 由递推关系求数列的通项公式】
1、累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）构造： 2、累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）构造： 3、构造法： （1）形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项． （2）形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为． （3）通过配凑转化为，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 4、取倒数法：对于，取倒数得． 当时，数列是等差数列； 当时，令，则，可用待定系数法求解．
1．（2024·山东潍坊·一模）已知数列满足，．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，，当时，，则，
所以
.故选：A
2．（23-24高三上·河南·期中）在数列中，，，，则（ ）
A． B．15 C． D．10
【答案】B
【解析】因为，所以，即，得.
所以.
因为，所以.故选：B.
3．（23-24高三下·安徽·开学考试）已知正项数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，则数列是以为公比的等比数列，
因此，所以.故选：B
4．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】数列中，，，显然，
则有，即，而，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
5．（23-24高三上·河南焦作·开学考试）已知数列满足，，则满足的最小正整数 ．
【答案】5
【解析】由，解得，
又，所以．
另一方面由，可得，
所以是首项为，公比为3的等比数列，
所以，易知是递增数列，
又，，
所以满足的最小正整数．
【题型3 数列的周期性及应用】
1、周期数列的常见形式 （1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； （2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； （3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． 2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和．
1．（2024·广西南宁·一模）已知数列的首项（其中且），当时，，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【解析】，，，，
故数列的周期为3.故.故选：B
2．（2024·甘肃兰州·一模）数列满足，，则（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【解析】因为，，
所以，，，，
，，，，，
又，所以.故选：B
3．（2024·四川宜宾·二模）在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的和为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【解析】由题意得，用替换式子中的，得，
两式相加可得，即，所以数列是以6为周期的周期数列.
又，，.
所以数列的前2024项和.故选：A.
4．（2024·山西·一模）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，
同理，，
即是以6为周期的数列，所以.故选：B
5．（2024·内蒙古包头·一模）已知数列的前项和为，，，，则 ．
【答案】6
【解析】因为，，，
则，，，，，
所以数列是周期为6的数列，且，
所以.
【题型4 用函数研究数列的单调性和最值】
求数列最大项或最小项的方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项． （2）通过通项公式研究数列的单调性， 利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法： ①若有（或时，）， 则，即数列是递增数列，所以数列的最小项为； ②若有（或时，）， 则，即数列是递减数列，所以数列的最大项为
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将整理得，
又，易知当时,，不满足是递减数列，故，
因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，
故，因此，
由于是递减数列，故恒成立，得，
化简得，故，
因此，解得，故选：B．
2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知数列满足，则“”是“是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，则，是递增数列；
反之，当时，，数列递增，
因此数列是递增数列时，可以不小于3，
所以“”是“是递增数列”的充分不必要条件.故选：A
3．（2024·辽宁·一模）若函数使得数列，为递减数列，则称函数为“数列保减函数”，已知函数为“数列保减函数”，则a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
因为在时单调递减，在时单调递增，
在时单调递减，
在n＝1时取最大值,且最大值为，.故选：B.
4．（2024·安徽阜阳·一模）已知数列满足，则“为递增数列”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由为递增数列得，，
则对于恒成立，得．可得，反之不行，故选：C．
5．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知数列满足单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，
又单调递增，故，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，又单调递增，
所以对任意正整数恒成立，
所以，得，故选：D.
考点二：等差数列及其前n项和
知识点1 等差数列的概念及公式
1、等差数列的定义
（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
（2）符号语言：(，为常数)．
2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．
3、通项公式与前n项和公式
（1）通项公式：．
（2）前项和公式：．
（3）等差数列与函数的关系
①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列．
②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0.
知识点2 等差数列的性质
已知数列是等差数列，是其前项和．
1、等差数列通项公式的性质：
（1）通项公式的推广：．
（2）若，则．
（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为．
（4）若是等差数列，则也是等差数列．
2、等差数列前项和的性质
（1）；
（2）；
（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.
（4）数列，，，…构成等差数列．
（5）若项数为，则，；
（6）若项数为，则，，，.
【题型1 等差数列的基本量求解】
1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
1．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【解析】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，所以．故选：C.
2．（2023·全国·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
（1）若，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，解得，，
又，，
即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
3．（2024·天津·一模）已知为等差数列，前项和为，且，，则（ ）
A．54 B．45 C．23 D．18
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，
所以.故选：C
4．（2024·江苏盐城·模拟预测）在等差数列中，已知则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由题意得，
，
即，解得.故选：C.
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）设是等差数列的前项和，且，则（ ）
A．34 B．30 C．26 D．22
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，由，
所以解得，
所以.故选:B.
【题型2 等差数列的性质及应用】
1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
1．（2024·山西朔州·一模）设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】A
【解析】因为，故即，
而，故，故选：A
2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知为等差数列，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
因为，
可得，解得，
又由，可得，解得，
所以.故选：C.
3．（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，已知与是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为与是方程的两根，由韦达定理得，
因为数列为等差数列，所以，，
所以，故选：B.
4．（2024·甘肃·一模）已知数列为等差数列，，则（ ）
A．16 B．19 C．25 D．29
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，故选：A.
5．（2024·山东青岛·一模）记正项等差数列的前n项和为，，则的最大值为（ ）
A．9 B．16 C．25 D．50
【答案】C
【解析】∵，
又∵，
∴，当且仅当时，取“=”
∴的最大值为25.故选：C
【题型3 等差数列的前n项和性质及应用】
1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列 Sn＝an2＋bn(a，b为常数) 数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
1．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（ ）
A． B． C． D． E．均不是
【答案】C
【解析】由等差数列的等和性可得，
.故选：C.
2．（23-24高三上·河北·期末）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等差数列片段和性质知：是等差数列.
由，可设，则，
于是依次为，
所以，所以.故选：B
3．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，
则，
数列是公差为的等差数列，，解得：，
.故选：D.
4．（2024·广东深圳·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，则 ．
【答案】
【解析】设数列的公差为，
，，则，
5．（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）（多选）已知为数列的前和，下列说法正确的是（ ）
A．若数列为等差数列，则 ，，为等差数列
B．若为等比数列，则，，为等比数列
C．若为等差数列，则，，为等差数列
D．若为等比数列，则，，为等比数列
【答案】AC
【解析】对于B和D，当公比时，且m为偶数时，，
此时，，不为等比数列；
，此时，，不为等比数列，则B和D错误；
对于A，若数列为等差数列，设公差为，则，
，，
由等差数列片段和性质知，，为等差数列，公差为,A正确；
对于C，若为等差数列，设公差为，
则，
，，
则，所以，，为等差数列，C正确；故选：
【题型4 等差数列的单调性及最值】
1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
1．（23-24高三上·江西赣州·阶段练习）已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．40
【答案】C
【解析】等差数列中，公差，即数列是递减等差数列，
显然，而，且，解得，则，
，由，得，
因此数列前9项均为非负数，从第10项起均为负数，
所以的最大值为.故选：C.
2．（23-24高三下·重庆·月考）已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，且,，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为数列是公差为的等差数列，是其前项和，且，，
则，
所以，，所以，，A对；
，则，B错；
，C对；
因为，则，
又因为，所以，数列是单调递增数列，
当时，；当时，.
综上所述，，D错.故选：C.
3．（2024·黑龙江吉林·二模）（多选）已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
因为，
所以当时，，当时，，
所以，所以，故D正确.故选：ACD.
4．（23-24高三下·安徽·阶段练习）（多选）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C．当时，取最大值 D．当时，的最小值为19
【答案】ABD
【解析】对A，则，
由等差数列性质可得，即.
因为，若公差，则，不满足，故，则.
则，故A正确；
对B，由A，，故.
则，则，
又，故，故B正确；
对C，由可得，故当时，取最大值，故C错误；
对D，由，，可得.
故当时，需要满足，故的最小值为19，故D正确.故选：ABD
5．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则为等差数列
B．若，则为递增数列
C．若，则当且仅当时取得最小值
D．“”是“数列为递增数列”的充要条件
【答案】ACD
【解析】由，当时，，
当时，，
若，则，符合，故为等差数列，A正确；
若，则，，所以不是递增数列，B错误；
若，则，当时，，为公差为2的等差数列，
且，所以当且仅当时取得最小值，C正确；
当时，，故数列为递增数列等价于，
即，可得，故D正确.故选：ACD
【题型5 等差数列的判定与证明】
1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
1．（23-24高二上·云南昆明·期中）数列满足.
（1）求的值；
（2）设，证明是等差数列.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）数列满足
所以，
（2）∵，∴为等差数列.
2．（2024高三·江苏·专题练习）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由已知得，且，，
取，由得，
由于为数列的前n项积，
所以，故，
所以，
由于，所以，即，其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，，
当时，，
当时，，显然对于不成立，
∴
3．（23-24高三上·海南·期末）设数列的前项和为，若，且．
（1）证明数列是等差数列，并求的表达式；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）证明见解析，；（2）
【解析】（1）证明：由于，且，，
两边同乘，得：，
所以数列是等差数列，其首项，公差为2．
，
所以.
（2）当时，
，
当时，不适合上式．
综上，
4．（23-24高三上·海南·阶段练习）已知数列的前n项和为，，，，其中为常数．
（1）证明：；
（2）是否存在，使得为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，当时为等差数列
【解析】（1）因为，所以，
两式相减可得：，
又因为，所以.
（2）设存在使得为等差数列，
因为，所以，
又因为，所以，
若为等差数列，则有，解得，
当为奇数时，是首项为，公差为的等差数列，
所以；
当为偶数时，是首项为，公差为的等差数列，
所以；
所以的通项公式即为，
显然，所以为等差数列，
综上所述，当时，为等差数列.
【题型6 含绝对值等差数列求和】
含绝对值等差数列求和步骤： 第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
1．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
2．（2024·四川成都·二模）已知数列的前n项和，且的最大值为．
（1）确定常数，并求；
（2）求数列的前15项和．
【答案】（1）；；（2）
【解析】（1）由数列的前n项和，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最大值，
即，解得，所以，
当时，，
当时，（符合上式），
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，可得，
且当且时，可得；当且时，可得，
所以数列的前15项和：．
3．（23-24高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设的公差为，依题意得，
所以，即，
化简得，解得或（舍去），，
所以经检验满足题意.
（2）依题意得，，，
其前项和，
当时，，，
故，
当时，，
故
所以.
4．（23-24高三上·湖北·期中）已知为等差数列的前项和，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设的公差为，
则：，.
（2），
令，
当时，，
，
当时，，
综上所述：.
考点三：等比数列及其前n项和
知识点1 等比数列的概念及公式
1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。
数学语言表达式： (，为非零常数)．
2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.
注意：同号的两个数才有等比中项。
3、通项公式及前n项和公式
（1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；
通项公式的推广：.
（2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
知识点2 等比数列的性质
已知是等比数列，是数列的前项和．
1、等比数列的基本性质
（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为.
（2）若，(项数相同)是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
（3）若，则有，推广：
（4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。
（5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。
2、等比数列前项和的性质
（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；
（2）对，有；
（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和；
（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）
【题型1 等比数列的基本量求解】
注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论. 1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键． 2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论．
1．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】
【解析】若，则由得，则，不合题意.所以.
当时，因为，所以，
即，即，即，解得.
2．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
【答案】C
【解析】当时，，所以，即，
当时，，
所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
则.故选：C.
3．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知是正项等比数列的前项和，且，，则（ ）
A．212 B．168 C．121 D．163
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
因为数列为正项等比数列，所以，
因为，又，
所以，因为，所以或，
若，则，解得，，
所以，
若，则，解得，，
所以，所以，故选：C.
4．（2024·陕西西安·二模）已知等比数列中，公比，其前项和 ，则（ ）
A． B． C． D．24
【答案】C
【解析】因为等比数列前项和，
所以，
所以，
因为，所以，所以.故选：C.
5．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）设各项均不相等的等比数列的前n项和为，若，则公比（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由数列为各项均不相等的等比数列，设公比为，
由，得，又因为，
当时，则，化简得，解得，或（舍）；
当，则，化简得，
因，所以无解；
综上可得，故C正确.故选：C.
【题型2 等比数列的性质及应用】
若成等比数列，则为和的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项， “”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、应用等比数列性质解题时的2个注意点 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质， 特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
1．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．故选：C．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知是正项等比数列，且，则=（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】C
【解析】是正项等比数列，由，
得，得．故选：C
3．（2024·湖北武汉·二模）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若、均为等比数列且公比相等，则也是等比数列
B．若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列
C．若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列
D．若数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件
【答案】BD
【解析】A：若且、公比相等，则，显然不满足等比数列，错；
B：若的公比为，而，
，
所以，，是公比为的等比数列，对；
C：同B分析，，，，
若为偶数，时，显然各项均为0，不为等比数列，错；
D：当，则且，易知为递增数列，充分性成立；
当为递增数列，则且，
显然为满足，但不恒成立，必要性不成立，
所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，对.故选：BD
4．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）等比数列中，为的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为为等比数列，，设，
所以构成等比数列.
所以构成等比数列，所以，所以.故选：A
5．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）在等比数列中，若，，则 ．
【答案】
【解析】因为为等比数列，则，可得，
又因为，可得，即，
所以.
【题型3 等比数列的判定与证明】
1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.
1．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知数列满足，.
（1）求，；
（2）求，并判断是否为等比数列.
【答案】（1）；（2），是等比数列
【解析】（1），
（2）因为，所以，
所以，，…，，
将以上各式相加得
.
因为，所以，
又也满足，所以，
所以，
所以是等比数列，且首项、公比均为2.
2．（2024·贵州毕节·一模）已知数列满足.
（1）设，证明：是等比数列；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为，
所以，
所以，
所以，所以，
又，则，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，，
由于，所以，
所以
.
3．（2024高三上·全国·竞赛）设数列满足：，，且，对成立.
（1）证明：是等比数列；
（2）求和的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2），
【解析】（1）移项得到，，
相加得，所以，
因为，所以是首项为5，公比为的等比数列；
（2），，所以对成立，
解得，对成立，
故和.
4．（2024高三·全国·专题练习）设数列满足，，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：由，，得，
由，得，
所以，
故数列是以为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）得，则，
则；；，
．
由累加法可得，
又，则，同时满足上式，
所以．
【题型4 等差与等比数列综合】
解决等差数列与等比数列的综合问题（即双数列问题）的关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间的关系。注意运用等差数列与等比数列的基本量来表示数列中的所有项，还应注意等差数列与等比数列之间的相关转化。
1．（23-24高三上·甘肃平凉·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式
（2）求的前项和
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设的公差是，则，∵，，
∴， ，
∴，，∴，
∴，
∴；
（2）由（1）可得，∴，
∵，
所以是等差数列，首项是，公差是，
所以.
2．（23-24高三上·山东济宁·期末）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设数列的首项为，公比为，
由条件可知，，即，
所以，得，
又因为，得，
所以；
（2）由（1）可知，，，
所以.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，且满足．设，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，，∴，
∵，∴，
又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，.
（2）∵，
∴当时，
，
又也满足上式，所以.
考点四：数列求和及其综合应用
知识点1 几种数列求和的常用方法
1、公式法
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
2、分组转化法求和：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
3、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
4、倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
5、裂项相消法求和：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和．
6、错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求.
【题型1 分组转化法求数列的前n项和】
分组转化法求和的常见类型： ①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列； ②通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.
1．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，
，
显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）数列满足，.
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和为．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由与，得，
，数列是首项、公差均为的等差数列，
，；
（2）由可得：，
当时，
，
故，
当时，，
综上，.
3．（23-24高三上·广西河池·阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为，，且，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题的：，解得：，
，即，
又，即，解得，
设等差数列的公差为，则，则，
则；
（2）由（1）得，设等差数列的公差为，则，
则，则，
由， ，，
4．（2024·福建莆田·二模）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意可得：，即，
且，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）可得，
可得
，
所以.
【题型2 裂项相消法求数列的前n项和】
在数列问题中，数列的通项与其前n 项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛｝的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验。 1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）设数列为等差数列，前项和为 ．
（1）求数列的通项公式；
（2）设的前项和为，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设数列的公差为，由，
则，解得，故；
（2）由（1）得．
.
2．（2024·陕西西安·二模）已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
则由题意得，即，解得，
数列的通项公式为
（2），则，
，
.
3．（2024·四川·模拟预测）已知正项数列满足，等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）由，得．
由，可得，又，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，得到，所以，
设等差数列的首项为，公差为，则，解得，
所以．
（2）由（1）可得，
所以
．
4．（23-24高三上·安徽池州·期末）已知正项数列的前n项和为．
（1）求数列的前n项和；
（2）令，求数列的前9项之和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）正项数列的前n项和为，满足，
可得，
两式相减可得，
所以，
因为，所以，
又因为，解得，
所以数列是以首项为1，公差为2的等差数列，
则数列的通项公式为，可得.
（2）由（1）知，
可得，
所以．
【题型3 错位相减法求数列的前n项和】
1、错位相减法解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：．
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知为数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，，可得，
当时，，可得，则，
是首项 公比都为的等比数列，故.
（2）由题设，，
，
则，
所以，
所以.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知正项数列是方程的根，数列满足公比是2的等比数列，.
（1）数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）因为，即，所以或，
因为，所以，
设数列的首项，则，解得，所以.
（2）由（1）可得：，
则，
，
上述两式相减得，
，
所以.
3．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，，
，即，．
4．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知是数列的前项和，满足；正项数列为等比数列，数列的前项和为，，．
（1）求数列和的通项公式：
（2）令，数列前项和为，求．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）当时，，
当时，也满足上式，
故数列的通项公式为，
设的公比为q，
因为，所以，所以，
所以，又数列为正项数列，所以，
又，所以，所以，
（2）由（1）得，则
①，
②
①—②得：
，
所以.
【题型4 数列与不等式证明问题】
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面： 一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解； 二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，解得，
当时，，
两式相减可得，，
则，
叠加可得，，则，而时也符合题意，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，可得，
故；
解法1：由，可得，
即，即则，又由，
当且仅当时取等号，故实数的取值范围为．
解法2：由，
可得，
当，即时，，
则，故实数的取值范围为．
2．（2024·福建厦门·一模）已知数列的前项和为，，当，且时，．
（1）证明：为等比数列；
（2）设，记数列的前项和为，若，求正整数的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）3.
【解析】（1）当时，，即，
又，故在上都成立，且，
所以是首项、公比均为2的等比数列.
（2）由（1）知：，则，
所以，
则，即，
所以，可得，而，故，正整数的最小值为3.
3．（23-24高三下·广东广州·月考）已知数列的首项，前n项和为，且．设．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）在数列中，①，
②，
由①-②得：，即，，
所以，即，
在①中令，得，即，而，故．
则，即，
又，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；
（2），
，
又因为，所以，所以.
4．（2024·广东佛山·二模）已知数列满足，，且．
（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，证明：当时，．
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，，
所以，，.
易知，所以，
因为．
所以是等比数列，首项，公比，所以．
（2）由（1）可得，
先证明左边：即证明，
当时，，
所以，
所以，
再证明右边：，
因为，
所以，
即，下面证明，
即证，即证，
设，，则，设，，
因为，所以函数在上单调递增，
则，即，，
所以，所以．
综上，．
【题型5 数列中的探究问题】
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤： ①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．
1．（2024·云南·一模）已知为等比数列，记分别为数列的前项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）是否存在整数，使对任意正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），；（2）存在，的最小值为3.
【解析】（1）设等比数列的公比为，根据已知得，且
解方程组得
的通项公式为.
，，解得，
且.
，即.
且，则，
整理得，故是以1为首项，2为公差的等差数列，
故，的通项公式为.
（2）设，
则.
，
.
恒成立，且,
存在整数，使对任意正整数都成立，且的最小值为3.
2．（2024·湖北武汉·二模）已知等比数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.
【解析】（1）由题意知当时，①
当时，②
联立①②，解得，；
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
所以，可得；
设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则，
所以，即；
又因为，，成等差数列，所以，
所以，化简得，即；
又，所以与已知矛盾；
所以在数列中不存在3项，，成等比数列．
3．（2024·江苏南通·二模）已知数列的前n项和为，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.
【解析】（1），，当时，，
两式相减得，即，
则有，当时，，则，即，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得，，则，数列是等差数列，
于是，解得，则，
所以的前项和.
（3）由（1）知，，
由成等差数列，得，整理得，
由，得，又，，不等式成立，
因此，即，令，则,
从而，显然，即，
所以存在，使得成等差数列.
4．（2024·湖南·二模）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）存在，
【解析】（1）由①，当时，②，
得，
当时，，
是首项为1，公比为的等比数列，故，
由③.
由得，又④.
④-③得，
的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：
所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.
得.
综上可得；
（2）（i）在和之间新插入个数，使成等差数列，
设公差为，则，
则.
⑤
则⑥
⑤-⑥得：，
所以可得
（ii）由（1），又，
由已知，
假设是数列或中的一项，
不妨设，
因为，所以，而，
所以不可能是数列中的项.
假设是中的项，则.
当时，有，即，
令，
当时，；
当时，，
由知无解.
当时，有，即.
所以存在使得是数列中的第3项；
又对于任意正整数均有，所以时，方程均无解；
综上可知，存在正整数使得是数列中的第3项.
【题型6 数列新定义问题】
数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
1．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）若有穷数列（是正整数），满足，，…，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”．
（1）已知数列是项数为8的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出的每一项．
（2）已知是项数为（其中，且）的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前项和．
【答案】（1），，，，，，，；（2）当时取得最大值，且
（3）答案见解析
【解析】（1）因为，，，成等差数列，，，设前项的公差为，
所以，所以，，
又数列是项数为的对称数列，
所以，，，，
所以的项依次为，，，，，，，.
（2）因为构成首项为，公差为的等差数列，
所以，
又，，，，
所以，
所以当时取得最大值，且.
（3）因为，，，，成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为，
所以这样的对称数列有：
①，，，，，，，，，，；
②，，，，，，，，，，；
因为，对于①，当时；
当时
，
所以；
对于②，当时；
当时
，
所以；
2．（2024·北京海淀·一模）已知：为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当时，均有.设，对于，定义，其中，表示数集M中最小的数.
（1）若，写出的值；
（2）若存在满足：，求的最小值；
（3）当时，证明：对所有.
【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析
【解析】（1）由，，则，故，
则，故，
则，故；
（2）由题意可知，，当时，由，，
故，则，
由题意可得，故、总有一个大于，即或，
，由，故、、总有一个大于，
故，故当时，，不符，故，
当时，取数列，
有，，，即，符合要求，故的最小值为；
（3）因为，所以，
(i)若，则当时，至少以下情况之一成立：
①，这样的至少有个，
②存在，这样的至多有个，
所以小于的至多有个，所以，
令，解得，所以，
(ii)对，若，且，
因为，所以当时，
至少以下情况之一成立：
①，这样的至多有个；
②存在且，这样的至多有个，
所以，
令，解得，即，
其中表示不大于的最大整数，
所以当时，；
综上所述，定义，则，
依次可得：，
，
所以.
3．（2024·江苏徐州·一模）对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．
（1）若数列为2，4，3，7，求的值；
（2）对于每项均是正整数的有穷数列，令，．
（i）探究与的关系；
（ii）证明：．
【答案】（1）172；；（2）（i）；（ii）证明见解析.
【解析】（1）依题意，，，
.
（2）（i）记，
，
，
，
，所以.
（ii）设是每项均为非负整数的数列，
当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，
则，
当存在，使得时，若记数列为，则，
因此，从而对于任意给定的数列，
由，，由（i）知，
所以.
4．（2024·海南省直辖县级单位·一模）若有穷数列（是正整数），满足（，且，就称该数列为“数列”.
（1）已知数列是项数为7的数列，且成等比数列，，试写出的每一项；
（2）已知是项数为的数列，且构成首项为100，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求这些数列的前2024项和.
【答案】（1）答案见解析；（2）当或25时，取得最大值2500；（3）答案见解析
【解析】（1）设的公比为，
则，解得，
当时，数列为；
当时，数列为；
综上，数列为或.
（2）解法一：因为构成首项为100，公差为的等差数列，
所以
，
又，所以当或时，取得最大值.
解法二：当该数列恰为或时取得最大值，
此时或，
所以当或25时，.
（3）依题意，所有可能的“数列”是：
①；
②；
③
④
对于①，当时，；
当时，
；
对于②，当时，；
当时，
；
对于③，当时，；
当时，
；
对于④，当时，；
当时，
.
