天津市耀华中学2024届高三年级第一次校模拟考
数学学科试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．
第I卷（选择题 共45分）
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题纸上．
1．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
3．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A． B． C． D．1
5．下列说法正确的序号是（ ）
①在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位；
②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；
③已知是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值k越大，则“X与Y有关系”的把握程度越小；
④已知随机变量服从正态分布，且，则．
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②④
6．已知F为抛物线的焦点，过点F的直线与抛物线C及其准线l的交点从上到下依次为，若，则以F为圆心，半径的圆F方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A．直线是函数图象的对称轴 B．在区间上有两个极值点
C．在区间上单调递减
D．函数的图象可由向左平移个单位长度得到
8．如图，已知四棱柱的体积为V，四边形为平行四边形，点E在上且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知第一象限内的点P在双曲线上，点P关于原点的对称点为是双曲线C的左、右焦点，点M是的内心（内切圆圆心），M在x轴上的射影为，记直线，的斜率分别为，且，则C的离心率为（ ）
A．2 B．8 C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共105分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上．
10．已知（i是虚数单位），则复数________．
11．的展开式中的系数是________．
12．某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动．男生甲或女生乙被选中的概率为________；设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则________．
13．若．且，则的最小值为________．
14．如图，在中，是边上一点，且．若，记，则________；若点P满足与共线，，则的值为________．
15．定义，已知，若恰好有3个零点，则实数m的取值范围是________．
三、解答题：本大题共5小题，共75分，将解题过程及答案填写在答题纸上．
16．（本小题满分14分）
已知的内角的对边分别为，已知．
（I）求的值
（Ⅱ）若，
（i）求a的值；
（ii）求的值．
17．（本小题满分15分）
已知如图，四边形为矩形，为梯形，直线平面，．
（Ⅰ）若M为中点，求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点Q（除去端点），使得平面与平面的夹角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分15分）
已知椭圆的离心率为，且经过点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，直线l与椭圆C相切于点P（点P在第一象限），过原点O作直线l的平行线与直线相交于点Q，问：线段的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
19．（本小题满分15分）．
有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为，公差为，并且成等差数列．
（I）当时，求以及；
（Ⅱ）证明（是m的多项式），并求的值；
（Ⅲ）当时，将数列分组如下：
，…（每组数的个数构成等差数列），
设前m组中所有数之和为，求数列的前n项和．
20．（本小题满分16分）
定义：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，已知函数，曲线在点处的曲率为．
（I）求实数a的值；
（Ⅱ）对任意恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设方程在区间内的根为，比较与的大小，并证明．
天津市耀华中学2024届高三年级第一次校模拟考
数学学科参考答案
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．
1 2 3 4 5 6 7 8 9
B A C B D A C A A
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
10． 11．240 12． 13．
14．或 15．
三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分14分）
解：（I）由，且C是三角形的内角，则，
因为，由正弦定理得，
所以．
（Ⅱ）（i）因为，所以，又，
由余弦定理，
即，解得或（舍去），
所以；
（ii）由（Ⅰ）知，由知A为锐角，得，
所以，
，
所以．
17．（本题满分15分）
如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，
（I）证明：根据题意，有
，
设平面的一个法向量为，
，
取，得，
又平面平面；
（Ⅱ）解：，设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角的平面角为，
则．
直线与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）解：假设存在点，满足题意，设此时，则，
即，解得，
则，
假设平面的一个法向量为，
则，取，得，
又平面的一个法向量为，
平面与平面所成锐二面角的大小为，
根据题意，则有，解得，
在线段上存在一点Q（除去端点），使得平面与平面的夹角的大小为，．
18．（本题满分15分）
解：（I）由题意知椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设，题意可知，切线l的方程为，
过原点O且与l平行的直线的方程为，
椭圆C的右焦点，所以直线的方程为，
联立，所以，
所以
为定值．
19．（本题满分15分）
解：（I）当时，，
，
；
（Ⅱ）由题意知．
，
同理，，
．
又成等差数列，
．
故，即是公差为的等差数列．
．
令，则，此时；
（Ⅲ）当时，．
数列分组如下：，…，
按分组规律，第m组中有个奇数，
所以第1组到第m组共有个奇数，
注意到前k个奇数的和为，
所以前个奇数的和为，即前m组中所有数之和为，
所以，
因为，所以，从而，
所以，
，
故
，
所以．
20．（本题满分16分）
解：（I）由已知，
所以，解得（舍去），所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
则，
对任意的，即恒成立，
令，则，不等式恒成立，
当时，，原不等式化为，
令，
则
，
所以在区间单调递增，所以，
所以，综上所述，实数m的取值范围为；
（Ⅲ），证明如下：
由已知方程可化为，
令，则，
因为，所以，
所以，所以在区间上单调递减．
故
，
所以存在唯一，使得，
又，
则
由单调递减可得，所以．
