浙教版初中数学八年级下册第五单元《平行四边形》单元测试卷
考试范围：第五单元；考试时间：120分钟；总分：120分
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，矩形的对角线，相交于点，若，，则的周长为
( )
A. B. C. D.
2.如图，在矩形中，是的中点，动点从点出发，沿运动到点时停止，以为边作，且点，分别在，上．在动点运动的过程中，的面积
( )
A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 不变 D. 先增大，再减小
3.如图，增加下列一个条件可以使成为矩形的是
( )
A. B.
C. D.
4.四边形的对角线，，下面给出的三个条件中，选取两个，能使四边形是矩形，互相平分；；则正确的选法是
( )
A. B. C. D. 以上都可以
5.如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长( )
A. B. C. D.
6.如图是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识将它裁剪成一个菱形．甲、乙两位同学的作法如下：
甲：连结，作的中垂线，交，于点，，则四边形是菱形．
乙：作与的平分线，，分别交于点，交于点，则四边形是菱形．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是
( )
A. 甲正确，乙错误． B. 甲错误，乙正确． C. 甲、乙均正确． D. 甲、乙均错误．
7.如图，已知是菱形的边上一点，且，那么的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图，菱形中，对角线、交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于
( )
A. B. C. D.
9.如图，在菱形中，，，则以为边长的正方形的周长为
( )
A. B. C. D.
10.如图，在矩形内有一点，与分别平分和为矩形外一点，连结，有下列条件：
，
，
，
，．
其中能判定四边形是正方形的条件是( )
A. ． B. ． C. ． D. ．
11.如图，在矩形内有一点，与分别平分和．为矩形外一点，连结，有下列条件：
，；
，；
，；
，．
其中能判定四边形是正方形的条件是
( )
A. B. C. D. ．
12.如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，添加一个条件，仍不能证明四边形为正方形的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，若，则 ______度
14.如图，在中，，，分别是，和边的中点．请添加一个条件：__________________，使四边形为矩形填一个即可．
15.如图，菱形中，对角线，，、分别是、的中点，是线段上的一个动点，则的最小值是____．
16. 如图，正方形的边长是，对角线，相交于点，点，分别在边，上，且，则四边形的面积为________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知：如图，在中，，，分别平分和，交于点，求证：四边形是矩形．
18.本小题分
如图，，分别为的边，的中点，延长到，使得，连结，，．
求证：四边形是平行四边形
若，试说明四边形是矩形．
19.本小题分
如图，在矩形中，是边上的一点，是边上的一点，，且，，矩形的周长为，求的长．
20.本小题分
如图，，分别是菱形的边，的中点，且，．
求对角线的长
求证：四边形为菱形．
21.本小题分
已知：如图，在中，，分别是，的中点，．延长到点，使得，连结．
求证：四边形是菱形．
若，，求菱形的面积．
22.本小题分
如图，已知在中，，，分别是，，的中点，连结，，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，求四边形的周长．
23.本小题分
如图，在四边形中，，，是对角线上的一点，且．
求证：四边形是菱形
如果，且，求证：四边形是正方形．
24.本小题分
如图，等边三角形的顶点，在矩形的边，上，且，求证：矩形是正方形．
25.本小题分
如图，在正方形中，点在对角线上不与点，重合，于点，于点，连接．
写出线段，，长度之间的等量关系，并说明理由
若正方形的边长为，，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，，，
，，
，
的周长．
故选：．
由矩形的性质得出，由勾股定理求出，得出，即可求出的周长．
本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，故选项A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，故选项C符合题意；
D、四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，故选项D不符合题意；
故选：．
由矩形的判定、菱形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：当具备两个条件，能得到四边形是矩形．理由如下：
对角线、互相平分，
四边形为平行四边形．
又，
四边形为矩形．
故选：．
根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断即可．
本题主要考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】，，四边形是平行四边形．四边形是矩形，，，，，四边形是菱形，四边形的周长为．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
根据菱形的四条边都相等求出，再根据菱形的对角线互相平分可得，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
【解答】
解：菱形的周长为，
，，
为边中点，
是的中位线，
．
故选A．
9.【答案】
【解析】解：由四边形为菱形可得，
又，为等边三角形，
，正方形的周长为．
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识点，能灵活运用判定定理进行推理是解此题的关键．
求出，，再根据正方形的判定方法逐个判断即可．
【解答】
解：四边形是矩形，
，
与分别平分和，
，，
，
，；
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形，故符合题意；
，，，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形，故符合题意；
，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，故符合题意；
，，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，故符合题意．
故选D．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有，进而得出四边形是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．
【解答】
解：垂直平分，
，，
，
，
四边形是菱形；
当时，
，
则时，菱形是正方形．
，，
菱形是正方形．
故选项A正确，但不符合题意；
当时，利用正方形的判定得出，菱形是正方形，故选项B正确，但不符合题意；
当时，利用正方形的判定得出，菱形是正方形，故选项C正确，但不符合题意；
当时，无法得出菱形是正方形，故选项D错误，符合题意．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：连接，如图：
四边形是矩形，
．
是的中点，
，
，．
，关于对称，
，
．
，，，
．
．
，
．
，
．
设，则，
．
，
．
．
故答案为：．
连接，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得和为等腰三角形，，；由折叠可知，可得；由，，，可得，进而得到；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得；最后在中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．
本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形内角和定理列出方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，，分别是，和边的中点，
、都是的中位线，
，，
四边形为平行四边形，
当时，，
平行四边形为矩形，
故答案为：．
证、都是的中位线，得，，则四边形为平行四边形，当时，，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】略
【解析】略
17.【答案】略
【解析】略
18.【答案】证明：，分别为的边，的中点，，，
，，
，四边形是平行四边形
，，四边形是平行四边形，
，，，四边形是矩形．
【解析】略
19.【答案】解：由和，知．
．
而．
．
在与中，
，，，
．
．
矩形的周长为．
，即，整理得，解得．
【解析】略
20.【答案】解：四边形是菱形，，，，，，，，证明：，分别是，中点，，，同理可得，，四边形是平行四边形，又，，四边形为菱形．
【解析】见答案
21.【答案】【小题】是的中位线，则，且，得与平行且相等，
所以四边形是平行四边形又，所以四边形是菱形．
【小题】
【解析】 略
略
22.【答案】证明：，，分别是，，的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形；
解：，是的中点，，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
四边形的周长为．
【解析】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据三角形的中位线的性质得到，，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据直角三角形的性质得到，推出四边形是菱形，于是得到结论．
23.【答案】证明：在与中，，，，
，．
，，，．
，，四边形为平行四边形．
，四边形是菱形．
，．
，．
由知，四边形是菱形，，，．
，，．
，，
，．
四边形是菱形，四边形是正方形．
【解析】略
24.【答案】 证明四边形是矩形，
．
是等边三角形，
，．
又，
，
，
，
，
矩形是正方形
【解析】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和正方形的判定，根据矩形的性质，得出，根据等边三角形的性质，可知，结合已知角度，进一步判定，根据全等三角形的性质和正方形的判定即可证明结论．
25.【答案】解：．
理由如下：连接，由正方形性质知，，
在和中，
所以，
所以．
由题意知，
所以四边形为矩形，
所以．
在中，根据勾股定理，得，
所以．
作于点，
由题意知，，
所以为等腰直角三角形，为含角的直角三角形，
因为，
所以，，
所以．
【解析】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、直角三角形度的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
结论：只要证明，四边形是矩形，推出，在中，利用勾股定理即可证明；
过点作，在、中，求出、即可解决问题
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
