八下第五章特殊平行四边形
一．选择题（共10题）
1．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
2．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
3．菱形的两条对角线长分别为9cm与4cm，则此菱形的面积为（ ）cm2．
A．12 B．18 C．20 D．36
4．根据特殊四边形的定义，在图中的括号内①、②、③、④处应填写的内容是（ ）
A．平行四边形；一个角为60°；矩形；一组邻边相等
B．平行四边形；一组邻边相等；矩形；一组邻边相等
C．矩形；一个角为60°；平行四边形；一组邻边相等
D．矩形；一组邻边相等；平行四边形；一组邻边相等
5．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
6．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）
（﹣，1） B．（﹣1，）
C．（，1） D．（﹣，﹣1）
7．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
8．把一个长方形的纸片按如甲乙图形对折两次，然后剪下图丙中的①部分，为了得到一个锐角为30°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）
A．60°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．75°或15°
9．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
B． C． D．
10．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（ ）
A.cm2 B．cm2
C．cm2 D．cm2
二．填空题（共6题）
11．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC＝10cm，边BC＝8cm，则△ABO的周长为 ．
12．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．请你添加一个适当的条件： ，使四边形ABCD成为菱形．
13．在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB＝120°，AB＝1，则AC＝ ；AD＝ ．
14．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等于 度．
15．如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是 ．
已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且PB＝PD＝2，那么AP的长为 ．
三．解答题（共5题）
17．图1，图2是三张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，A，C两点都在格点上，连接AC，请完成下列作图：
（1）以AC为对角线在图1中作一个正方形，且正方形各顶点均在格点上．
（2）以AC为对角线在图2中作一个矩形，使得矩形面积为6，且矩形各顶点均在格点上．
18．如图，将长方形纸片ABCD沿着EF折叠，使得点C与点A重合．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AB＝3，BC＝9，试求CF的长；
（3）在（2）的条件下，试求EF的长．
19．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求PD．
20．我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠B＝80°．求∠C，∠D的度数．
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立．请你证明此结论．
②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝5．求对角线AC的长．
21．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点，过点P作PE⊥PB交边DC于点E．
（1）如图①，当点E在边CD上时，求证：PB＝PE；
（2）如图②，在（1）的条件下，连接BE交AC于点F，若CE＝1，求PF的长；
八下第五章特殊平行四边形参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B A A B D D C
二、填空题
11、16cm 12、 AB＝AD 13、;
14、65 15、 5 16、 4或2
三、解答题
17、解：（1）如图1，正方形ABCD为所求作的正方形．
（2）如图2所示，矩形ABCD为所求作的矩形．
18、解：（1）由题意得：∠AFE＝∠CFE；
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF．
由题意得：∠B＝90°，AF＝CF=x，则BF＝9﹣x；
根据勾股定理得：x2＝32+（9﹣x）2，解得：x＝5，即CF＝5．
如图，连接AC、CE．
由题意知：AC⊥EF；
由勾股定理得：CA2＝32+92＝90，
∴AC＝3；
根据面积公式：CF AB＝AC EF，
∴EF＝．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBE，
∵∠ABF＝∠FBE
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，同理AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°，
∵AB＝4，∴AP＝2，
如图，过点P作PM⊥AD于M，
∴PM＝，AM＝1，
∵AD＝6，
∴DM＝5，
∴PD＝＝＝2．
20、解：（1）∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∴∠D＝∠B＝80°，
∴∠A＝75°，
∴∠C＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝360°﹣75°﹣80°﹣80°＝125°，
∴∠C，∠D的度数分别为75°，125°．
①证明：如图2，连结BD，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB，
∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD．
②她的猜想不正确，如图3，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠BAD＝105°，∠B＝∠D＝90°，AB＝CB，
连结AC，则∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DAC＝30°，
∴AC＝2AD，
∴CD＝＝＝AD，
∴CD≠AD，
∴对于任意“等对角四边形”，当一组邻边相等时，而另一组邻边不一定相等，∴她的猜想不正确．
当∠ABC＝∠ADC＝90°时，如图4，延长AD、BC交于点E，
∵∠DAB＝60°，AB＝7，AD＝5，
∴∠E＝90°﹣∠DAB＝30°，
∴AE＝2AB＝2×7＝14，
∴DE＝AE﹣AD＝14﹣5＝9，
∵∠EDC＝90°﹣∠ADC＝90°，∠E＝30°，
∴CE＝2CD，
∵DE2+CD2＝CE2，
∴92+CD2＝（2CD）2，
∴CD2＝27，
∴AC＝＝＝2；
当∠DAB＝∠DCB＝60°时，如图5，作DF⊥AB于点F，DG⊥CB于点G，
∵∠DFB＝∠ABC＝∠BGD＝90°，
∴四边形BFDG是矩形，
∵∠AFD＝∠DGC＝90°，∠DAB＝∠DCB＝60°，
∴∠ADF＝∠CDG＝90°﹣60°＝30°，
∴AF＝AD＝×5＝，
∴DG＝BF＝AB﹣AF＝7﹣＝，BG＝DF＝＝＝，
∵DG2+CG2＝CD2，CD＝2CG，
∴（）2+CG2＝（2CG）2，
∴CG＝，
∴BC＝BG+CG＝+＝4，
∴AC＝＝＝，
综上所述，对角线AC的长为2或．
21、（1）证明：连接PD，如图①所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠PCB＝∠PCD＝45°，
在△PCB和△PCD中，，
∴△PCB≌△PCD（SAS），
∴PB＝PD，∠CBP＝∠CDP，
∵PE⊥PB，
∴∠BPE＝∠BCE＝90°，
∴∠CBP+∠CEP＝180°，
∵∠CEP+∠PED＝180°，
∴∠PED＝∠CBP，
∴∠PED＝∠CDP，
∴PE＝PD，
∴PB＝PE；
解：过点P作PL⊥BE于L，过点F作FQ⊥CD于Q，FJ⊥BC于J，如图②所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝3，∠BCE＝90°，
∴BE＝＝＝，
∵PB＝PE，PE⊥PB，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∵PL⊥BE，
∴BL＝EL＝PL＝BE＝，
∵FC平分∠BCE，FQ⊥CD，FJ⊥BC，
∴FQ＝FJ，∵＝＝＝＝，
∴EF＝BE＝，
∴FL＝EL﹣EF＝﹣＝，
∴PF＝＝＝
