浙教版2024年八年级数学下册第5章《特殊平行四边形》单元测试卷（能力提升）
时间：100分钟 总分：120分
选择题（每题3分，共24分）
1．下列四边形：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，对角线一定相等的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①②③④
2．如图，在菱形中，，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，连接并延长交边于点，连接，．则四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→矩形→正方形→菱形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形
3．在下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形外侧，作等边，则为（ ）
A．75° B．55° C．15° D．25°
5．如图，在正方形中，为线段上一点且，连结，交于点，分别作，的中点M，N，连结，若，则为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．要求加工4个长为、宽为的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不合格的零件是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少
8．如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．如图，在矩形中，，为上一点，把沿翻折，点恰好落在边上的点处，则的长是 ．
10．如图，长方形中，，，长方形内有一个点，连接，，，已知，，延长交于点，则 ．
11．如图所示，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为 ．
12．如图，矩形中，，，是对角线上的两个动点，分别从同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若分别是的中点，且，当为顶点的四边形为矩形时，的值为 ．
13．如图，已知中，，，，以为边作正方形，连接，则的面积为 ．
14．如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，与y轴交于点E，若，则点E的坐标为 ．
15．如图，四边形为矩形，．将矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点．已知，，若直线与射线交于点，且是直角三角形时，则的长为 ．
16．如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点M．若，则的长为 ．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．已知：如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为E、F．求证：四边形是正方形．
18．如图，在四边形中，，平分，，E为的中点，连结．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求的面积．
19．已知点M，N在矩形的边上，利用直尺和圆规，按要求作图，保留作图痕迹．
(1)如图1，在矩形边上找点E，F，使得为平行四边形；
(2)如图2，在矩形边上找P，G，H三点，使得四边形为菱形．
20．如图，正方形中，E是上的一点，连接，过B点作，垂足为点G，延长交于点F，连接．
(1)求证：．
(2)若正方形边长是5，，求的长．
21．在下列特殊四边形中，图、图、图分别为菱形、正方形和直角梯形，请按下列要求解决问题．
(1)请在图中作出两条直线，使它们将菱形面积四等分；
(2)请在图中作出两条直线，其中一条要经过点使它们将正方形的面积四等分；
(3)在图直角梯形中，，，，，，点是的中点，试探究在边上是否存在一点，使所在直线将梯形的面积分成相等的两部分？如若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
22．如图，矩形中，，E是上一点，沿折叠，点A恰好落在线段的点F处，连接．
(1)求证：；
(2)设，，求m与k满足的关系式．
23．如图1，正方形中，，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交于点P，另一边交的延长线于点Q．（注：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
(1)求证：；
(2)如图2，作的平分线交于点E，连接，试探究和的数量关系；
(3)如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交的延长线于点P，另一边交的延长线于点Q，仍作的平分线交延长线于点E，连接，若，请求出的面积．
24．如图，在中，，，与关于对称，交边于点．
(1)求证：．
(2)延长到点，使得，连结，
若，求的长．
如图，若，记四边形的面积为，的面积为，求的值．（直接写出答案即可）
25．（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E、F．求证：四边形是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边、于点E、F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边、于点E、F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．
()
浙教版2024年八年级数学下册第5章《特殊平行四边形》单元测试卷（能力提升）
时间：100分钟 总分：120分
选择题（每题3分，共24分）
1．下列四边形：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，对角线一定相等的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对各小题分析判断后即可得解．
【解析】解：①平行四边形的对角线不一定相等，
②矩形的对角线一定相等，
③菱形的对角线不一定相等，
④正方形的对角线一定相等，
所以，对角线一定相等的是②④．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形，平行四边形，菱形，矩形的对角线的性质，熟记各性质是解题的关键．
2．如图，在菱形中，，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，连接并延长交边于点，连接，．则四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→矩形→正方形→菱形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形
【答案】B
【分析】根据对称中心的定义，菱形的性质，可得四边形形状的变化情况．
【解析】∵四边形的菱形，点为对称中心，
∴，
∵点从点出发沿向点移动，移动到点停止，连接并延长交边于点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，如图，
当时，平行四边形是矩形，如图，
∵点继续向点运动（没有与点重合），
∴，，
∴四边形是平行四边形，如图，
当点与点重合时，四边形是菱形，
∴四边形先是平行四边形，当对角线相等时是矩形，然后又是平行四边形，最后点与点重合时是菱形，
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称、平行四边形、菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质．
3．在下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据菱形的判定定理，即可进行解答．
【解析】解：A、若，则平行四边形为矩形；不符合题意；
B、若，则平行四边形为正方形；不符合题意；
C、若，则平行四边形为菱形；符合题意；
D、若，则平行四边形不是特殊的平行四边形；不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，解题的关键是掌握有一组另邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
4．如图，在正方形外侧，作等边，则为（ ）
A．75° B．55° C．15° D．25°
【答案】A
【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是求出，的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出即可．
【解析】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
在中，，，
∴，
，
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
5．如图，在正方形中，为线段上一点且，连结，交于点，分别作，的中点M，N，连结，若，则为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握正方形的性质，理解三角形的中位线定理是解决问题的关键．连接，根据正方形的性质得过点，，进而可求出 ，，再证为的中位线，然后根据三角形的中位线定理可得出的长．
【解析】连接，如图所示：
∵四边形为正方形，为对角线，点为的中点，
∴过点， ，
，
，
∵过点，
∴点为的中点，
又∵点为的中点，
∴ 为的中位线，
，
故选：B．
6．要求加工4个长为、宽为的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不合格的零件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形解答即可．熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键．
【解析】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，能判定矩形，不符合题意；
B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，不符合题意；
C、对角相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状，符合题意；
D、一组对边平行且相等，能判定平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，则能判定矩形，不符合题意．
故选：C．
7．如图，在中，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少
【答案】C
【分析】连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，线段的值大小变化情况．
【解析】如图，连接．
∵
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，最短，则线段的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是先减小后增大．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
8．如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，，根据正方形的对称性可得，进而可知，再利用，，三点共线时，的值最小，将转化为，最后运用勾股定理即可解答．
【解析】如图，连接，，
、关于对称，
，
当，，三点共线时，的值最小，
即的值最小，
，，
由勾股定理得：，
即的最小值为，
故选C．
【点睛】本题考查了运用轴对称解决最短路径问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当，，三点共线时，有最小值是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．如图，在矩形中，，为上一点，把沿翻折，点恰好落在边上的点处，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考出来了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，由折叠和矩形的性质得到，，利用勾股定理得出的长度，进而得到的长，在中求解的长即可得到答案．
【解析】解：∵在矩形中，，，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∴，
设，则．
在中，由勾股定理可得：
即
解得：，
∴，
故答案为：．
10．如图，长方形中，，，长方形内有一个点，连接，，，已知，，延长交于点，则 ．
【答案】
【分析】此题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，延长交于F，根据已知条件得到，根据矩形的性质得到，，根据余角的性质得到，进一步推出，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】解：延长交于点F，如图，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得．
故答案为：．
11．如图所示，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为 ．
【答案】
【分析】
由菱形的对角线互相垂直平分可得和，中由勾股定理求得，然后由面积代入求值即可；
【解析】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴中：，
∵面积，
∴，
故答案为：
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积计算；掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题关键．
12．如图，矩形中，，，是对角线上的两个动点，分别从同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若分别是的中点，且，当为顶点的四边形为矩形时，的值为 ．
【答案】或
【分析】
如图所示，连接，当为顶点的四边形为矩形时，则四边形的对角线相等，结合分类讨论即可求解．
【解析】解：如图所示，连接，
∵矩形中，，，分别是的中点，
∴，
∵是上的动点，速度均为，运动时间为秒，
∴，
当为顶点的四边形为矩形时，则，
∴①，解得，；
②，解得，；
综上所述，当为或时，为顶点的四边形为矩形，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
13．如图，已知中，，，，以为边作正方形，连接，则的面积为 ．
【答案】72
【分析】作于，根据等角的余角相等，得，证明，得到，再利用三角形的面积公式即可解答．
【解析】解：作于．
则，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴．
在和在中，
，
∴，
∴，
的面积为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形，求出三角形的高．
14．如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，与y轴交于点E，若，则点E的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得进行求解即可．
【解析】解：∵四边形是矩形，
，，
∵将纸片矩形沿折叠，使点B落在点D的位置，
,
,
，
∵点B的坐标为，
，，
设，则，
在中，，
解得，
∴点E的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质和平行线的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，再利用勾股定理列出等式进行求解即可．
15．如图，四边形为矩形，．将矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点．已知，，若直线与射线交于点，且是直角三角形时，则的长为 ．
【答案】1或9
【分析】本题主要考查矩形的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键；根据题意只有成立，此时又可分当点E在上和点E在的延长线上，进而分类求解即可．
【解析】解：由题意可知，当时，根据折叠的性质可知：，而，所以此时也不成立；
当时，且点E在上，如图所示：
∵四边形为矩形，，，
∴，，，
∴，
由折叠的性质可知，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点E在的延长线上，如图所示：
同理可得，
∴，
∴；
综上所述：当是直角三角形时，则的长为1或9；
故答案为1或9．
16．如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点M．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点M作于点N，设与交于点K，如图，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，．求得，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，设，则，，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】解：过点M作于点N，设与交于点K，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
由题意得：，
∴，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，以及勾股定理等知识，依据题意恰当的添加辅助线是解题的关键．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．已知：如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为E、F．求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【分析】
本题考查了正方形的判定，角平分线的性质和矩形的判定，要注意的一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
要证明四边形是正方形，则要先证明四边形是矩形，已知平分，，，故可根据由三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判定四边形是正方形．
【解析】证明：∵平分，，，
∴，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形．
18．如图，在四边形中，，平分，，E为的中点，连结．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
（1）先通过一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形．再结合角平分线的定义以及边的等量代换，得邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答．
（2）先由菱形的性质，证明是等边三角形．进而得出再结合勾股定理得，根据三角形的面积公式建立式子，进行计算，即可作答．
【解析】（1）证明：∵E为的中点，
∴
∵
∴
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴平行四边形是菱形．
（2）∵四边形是菱形，
∴
∴．
∴，是等边三角形．
∴．
∴．
∴
∴．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质以及角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
19．已知点M，N在矩形的边上，利用直尺和圆规，按要求作图，保留作图痕迹．
(1)如图1，在矩形边上找点E，F，使得为平行四边形；
(2)如图2，在矩形边上找P，G，H三点，使得四边形为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查尺规作图和菱形的判定：
（1）连接矩形的对角线交于点O，连接，分别延长交矩形的对边于点E，F，即可求解；
（2）连接矩形的对角线交于点O，连接，分别延长交矩形的对边于点G，再作的垂直平分线，分别交矩形的两边于点P，H，即可求解；
【解析】（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）解：如图，四边形即为所求．
20．如图，正方形中，E是上的一点，连接，过B点作，垂足为点G，延长交于点F，连接．
(1)求证：．
(2)若正方形边长是5，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据证明，可得结论；
（2）根据（1）得：，则，最后利用勾股定理可得的长．
【解析】（1）∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵正方形边长是5，
∴，
∵，
∴由（1）得，
∴，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明是解本题的关键．
21．在下列特殊四边形中，图、图、图分别为菱形、正方形和直角梯形，请按下列要求解决问题．
(1)请在图中作出两条直线，使它们将菱形面积四等分；
(2)请在图中作出两条直线，其中一条要经过点使它们将正方形的面积四等分；
(3)在图直角梯形中，，，，，，点是的中点，试探究在边上是否存在一点，使所在直线将梯形的面积分成相等的两部分？如若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)存在，3
【分析】本题考查菱形，正方形，直角梯形面积分割，涉及全等三角形的判定和性质，中心对称，线段的垂直平分线的判定和性质，掌握相关图形的性质是解题的关键．
（1）根据菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的三角形解答即可；
（2）根据正方形的中心对称性解答即可；
（3）在上取一点，使，连接，，根据，可以证明≌，≌，从而确定点即为所求的点，也可利用的长直接确定的长．
【解析】（1）解：如图，作出对角线和所在的直线，直线和将菱形面积四等分；
理由如下：
菱形的两条对角线把菱形分成个全等的三角形，
直线和将菱形面积四等分；
（2）如图，连接对角线，交于点，过点，作直线，分别交，于点，；
过点作，分别交，于点，，
则直线，将正方形的面积四等分；
理由如下：
由正方形性质和作图可知：
≌≌≌，
≌≌≌，
，
（3）存在．
如图，在上取一点，使，则点即为所求的点．
理由如下：
连接，，
，，
，
在和中，
≌，
，，
点是的中点，
，
是的垂直平分线，
≌，
，
，
即，
即所在直线将梯形的面积分成相等的两部分，
此时．
22．如图，矩形中，，E是上一点，沿折叠，点A恰好落在线段的点F处，连接．
(1)求证：；
(2)设，，求m与k满足的关系式．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质，掌握翻折变换的性质是解题的关键．
（1）根据折叠的性质得到，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理证明；
（2）根据题意用表示出、，根据勾股定理列式计算即可．
【解析】（1）证明：由折叠的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
在中，，即，
得．
23．如图1，正方形中，，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交于点P，另一边交的延长线于点Q．（注：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
(1)求证：；
(2)如图2，作的平分线交于点E，连接，试探究和的数量关系；
(3)如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交的延长线于点P，另一边交的延长线于点Q，仍作的平分线交延长线于点E，连接，若，请求出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
(3)
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线、勾股定理、解一元二次方程等知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、勾股定理等知识，进行解题．
（1）根据正方形和直角的性质，得；结合正方形的性质，利用证明，即可得出；
（2）根据角平分线的定义，得，结合（1）的结论，利用证明，即可得到；
（3）先根据和得出，再根据（1）和（2）的结论，得，，从而得，，设，再用含x的表示出有关线段的长，在中，根据勾股定理列方程并求解，从而求出的长，即可求出的面积，则可完成求解．
【解析】（1）证明：，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：，
证明：由（1）可知，，
平分，
，
在与中，
，
，
．
（3）解：解：，，
，，
与（1）同理，可以证明，
，
与（2）同理，可以证明，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，即，
．
24．如图，在中，，，与关于对称，交边于点．
(1)求证：．
(2)延长到点，使得，连结，
若，求的长．
如图，若，记四边形的面积为，的面积为，求的值．（直接写出答案即可）
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，由轴对称的性质得出，，则可证明；
（2）设，由勾股定理得出，解方程可得出答案；证明，由勾股定理求出，求出三角形的面积，根据则可得出答案．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
与关于对称，
，，
，，
在和中，
；
（2）解：与关于对称，
，
，
，
，，
，
设，则，
，
解得：负值舍去，
；
与关于对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
25．（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E、F．求证：四边形是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边、于点E、F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边、于点E、F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）利用矩形和垂直平分线的性质，证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，即可证平行四边形为菱形；
（2）过点F作于H，利用折叠的性质和勾股定理，求出，，再由平行线的性质和等角对等边的性质，得到，证明四边形是矩形，得到，再利用勾股定理，求出，即可得出四边形的周长；
（3）过点A作，交的延长线于N，过点F作于M，先求得，得出，由折叠的性质可知：，，再由等腰三角形的性质以及勾股定理，得出，证明四边形是矩形，通过勾股定理，，再在中，求出的长即可．
【解析】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：如图，过点F作于H，
由折叠可知：，，
，，
，
在中，，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的周长+；
（3）解：过点A作，交的延长线于N，过点F作于M，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可知：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
在中，．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，熟练掌握特殊的四边形的判定和性质是解题关键．
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