专题15 图形的相似
一．选择题
1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若AB＝1，AD＝BC＝2，则的值（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
2．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm，他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为4cm的像，蜡烛与纸筒的距离应该为（ ）
A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm
3．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，若AB＝3，则DE的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
4．如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（ ）
A．CD2＝AD DB B．AC2＝BC CD C． D．
5．古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图1，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图2平放在地面上，人眼从矩的一端A望点B，使视线刚好通过点E，量出AC长，即可算得BC之间的距离．若a＝4cm，b＝5cm，AC＝20m，则BC＝（ ）
A．15m B．16m C．18m D．20m
6．如图，点O为四边形ABCD内的一点，连结OA，OB，OC，OD，若，则四边形A'B'C'D'的面积与四边形ABCD的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
7．已知Rt△ABC，∠BCA＝90°，过点C作一条射线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片，∠C＝90°，AB＝5米，BC＝3米，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，则面积最大的正方形不锈钢片的边长为（ ）
A． B． C． D．
9．数学课上，小慧用两张如图1所示的直角三角形纸片：∠A＝90°，AD＝2cm，AB＝4cm，斜边重合拼成四边形，如图2所示．接着在CB，CD上取点E，F，连AE，BF，使AE⊥BF，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
10．如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，点E为AC边上的三等分点（AE＜EC），连结AD，BE，交点为F，过D作DG∥EF，已知△AEF的面积为4，则S△ABC 为（ ）
A．144 B．120 C．60 D．48
11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝α （0°＜α＜90°）．点D，E在AB边上，点F，G分别在BC和AC边上．若四边形DEFG为正方形，则＝（ ）
A． B． C． D．
12．在尺规作图专题复习课上，老师出了一个作图题：“如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是△ABC的中线，用尺规作图作出线段AB的黄金分割点”小方和小程前面的作法都是：“以D为圆心，AD为半径画弧，交BD于点E．”，后面的作法不同．
小方的作法为：以B为圆心，BE为半径画弧，交AB于点M，则M为线段AB的黄金分割点；
小程的作法为：连结CE并延长交AB于点N，则N为线段AB的黄金分割点．则（ ）
A．小方、小程都正确 B．小方、小程都错误
C．小方错误，小程正确 D．小方正确，小程错误
13．如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为S1，正方形FPQG面积为S2，则S1：S2的值为（ ）
A．10：7 B．20：7 C．49：10 D．49：20
二．填空题
14．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，A，B，C为直线与五线谱横线相交的三个点，若AC＝12，则AB的长为 ．
15．如图，在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，D是AB上一点，连接CD．若AD＝2DB，且△BCD∽△BAC，则CD的长为 ．
16．如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连接BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2．
（1）若DE是△ABC的中位线，则S1：S2＝ ；
（2）若S1＝S2，CE＝4，则线段AE的长为 ．
17．将一副三角板按如图所示放置，使点A在边DE上，此时BC∥DE，则的值为 ．
18．如图1是某一遮阳篷支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳篷支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳篷支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形，展开时∠GHB为90度．
（1）若遮阳棚完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有 米（影子完全落在地面）．
（2）长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是 ．
19．如图1所示为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．现将△BCG向左平移，相应的△CDH和△ABF进行相似变换．如图2，当GE∥AD时，已知AE＝a，DE＝b，则EF＝ （结果用含a，b的代数式表示）．
20．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是 ．
三．解答题
21．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，已知∠ADB＝2∠ABD．
（1）求证：AB2＝AD AC；
（2）若DC＝2AD＝2，求∠A的度数．
22．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，AO平分∠BAC，以AC为腰作等腰三角形ACD，使AC＝CD，且CD交AO的延长线于点D，
（1）求证：BC⊥CD．
（2）设＝k，求k的值．
23．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，．
（1）若AB＝30，求线段BD的长．
（2）若△ADE的面积为2，求平行四边形BFED的面积．
24．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在AB边上，点E在AC边上（点E不与A，C重合），且∠AED＝∠B．
（1）求证：AD AB＝AE AC．
（2）若AE＝EC＝2AD，求的值．
（3）若AB＝6，AC＝4，求AD长的取值范围．
25．国旗上的每颗星都是标准五角星，圆圆对五角星进行了较深入的研究：延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE的边BA、
DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．
（1）求证：AE2＝EF EM；
（2）若AF＝1，求AE的长．
26．如图，△ABC内接于⊙O，点D为弦AB的中点，连接DO、OB，延长DO交弦AC的延长线于点E，DE与弦BC交于点F，DE与⊙O交于点G，已知AB＝6，DG＝9．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：∠E＝∠OBC；
（3）若OF＝3，求CF的长．
27．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别为对边AD，BC的中点，线段EF交AC于点O，延长CD于点G，连结GE并延长交AC于点Q，连结GF交AC于点P，连结QF．（1）若DG＝CD．
①求证：点Q为OA的中点．
②若OA＝1，∠ACB＝30°，求QF的长．
（2）求证：FE平分∠QFP．
（3）若CD＝mDG，求．（结果用含m的代数式表示）
28．【探究发现】如图1，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，M为DE中点，连结AM并延长交BC于点N，求证：BN＝CN．
【拓展应用】如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于N点，E，F分别是边AB，AD上的点，EF∥BD交AC于点M，若AD＝2，BC＝3，求的值．
【综合提升】如图3，平行四边形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，动点E在边AB上，过E作EF∥BD交AC于点F，过F作FG⊥EF交BC于点G，连结EG，求EG的最小值．
答案与解析
一．选择题
1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若AB＝1，AD＝BC＝2，则的值（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
【点拨】连接AE并延长，与直线c交于点H，利用相似三角形的性质得出的值，再根据CH与CF之间的大小关系即可解决问题．
【解析】解：连接AE并延长，交直线c与点H，
∵b∥c，
∴△ABE∽△ACH，
∴．
∵AB＝1，BC＝2，
∴．
又∵CF＜CH，
∴，
则．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，能通过辅助线构造相似三角形是解题的关键．
2．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm，他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为4cm的像，蜡烛与纸筒的距离应该为（ ）
A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm
【点拨】先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算．
【解析】解：如图，AB＝20cm，OF＝15cm，CD＝4cm，
∵AB∥CD，EF⊥AB
∴EF⊥CD，
∴△OAB∽△ODC，
∴＝，即＝，
解得OE＝75cm．
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
3．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，若AB＝3，则DE的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【点拨】利用相似三角形的性质求解即可．
【解析】解：由题意△ABC∽△DEF，
∴＝，
∵AB＝3，
∴DE＝4.5．
故选：B．
【点睛】本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
4．如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（ ）
A．CD2＝AD DB B．AC2＝BC CD C． D．
【点拨】根据相似三角形的判定定理依次判断即可．
【解析】解：由CD2＝AD DB，可得CD：AD＝BD：CD，由此得不出结论；
由AC2＝BC CD，可得AC：BC＝CD：AC，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC，故B选项正确；
由得不出结论；
由＝及∠BAC＝∠ADC＝90°可得结论，但题目中未提及．
故选：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质和判定，熟知相关判定定理是解题关键．
5．古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图1，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图2平放在地面上，人眼从矩的一端A望点B，使视线刚好通过点E，量出AC长，即可算得BC之间的距离．若a＝4cm，b＝5cm，AC＝20m，则BC＝（ ）
A．15m B．16m C．18m D．20m
【点拨】根据题意和图形，可以得到DE＝a＝4m，AD＝b＝5m，然后根据相似三角形的性质，可以得到BC．
【解析】解：由图2可得，DE＝a＝4m，AD＝b＝5m，
∵BC⊥AC，ED⊥AC，
∴CD∥EF，
∴△ADE∽△ACB，
∴，即，
解得BC＝16（m）．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．如图，点O为四边形ABCD内的一点，连结OA，OB，OC，OD，若，则四边形A'B'C'D'的面积与四边形ABCD的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【点拨】利用相似图形的定义得出四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为：1：4，进而得出面积比．
【解析】解：，
∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD相似，且相似比为1：4，
∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的面积比为1：16，
故选：D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据题意得出两个四边形的相似比是解题关键．
7．已知Rt△ABC，∠BCA＝90°，过点C作一条射线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【点拨】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
【解析】解：由①作图可知：CD⊥AB，可以推出∠CAD＝∠BCD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；
由②作图无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；
由③作图可知：AD⊥BA，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；
∴①③符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
8．如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片，∠C＝90°，AB＝5米，BC＝3米，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，则面积最大的正方形不锈钢片的边长为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】分两种情况：①过点C作CH⊥AB于H，根据等面积法求出CH的长，设FG＝GE＝x，CG＝y，再根据相似三角形的性质得出＝①，②，联立①②即可得出结果．②根据△AED∽△ABC，得出方程求解即可，再比较两种结果的大小即可得出选项．
【解析】解：如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵S，
∴CH＝，
∵四边形FDEG是正方形，
∴FG∥DE，FD∥EG，GF＝GE，
设FG＝GE＝x，CG＝y，
∴＝①，
∵GE∥CH，
∴，
∴②，
联立①②可得，x＝，
如图，设DE＝DC＝x，则AD＝4﹣x，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∴，
解得x＝，
∵，
即面积最大的正方形不锈钢片的边长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．注意分类讨论．
9．数学课上，小慧用两张如图1所示的直角三角形纸片：∠A＝90°，AD＝2cm，AB＝4cm，斜边重合拼成四边形，如图2所示．接着在CB，CD上取点E，F，连AE，BF，使AE⊥BF，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【点拨】连接AC，BD交于点G，利用勾股定理及面积法求得BD和AG的长，然后通过证明△BDF∽△ACE，利用相似三角形的性质列比例式求解．
【解析】解：如图2，连接AC，BD交于点G，设BD与AE交于点O，
由题意，AB＝BC＝4cm，AD＝CD＝2cm，
∴BD垂直平分AC，
在Rt△ABD中，BD＝＝2cm，
∴AB AD＝BD AG，
∴×4×2＝×2 AG，
解得：AG＝，
∴AC＝2AG＝，
∵AE⊥BF，BD⊥AC，
∴∠DBF+∠EOB＝90°，∠CAE+∠DOA＝90°，∠CDB+∠DCA＝90°，
又∵∠EOB＝∠DOA，
∴∠DBF＝∠CAE，
∵∠DCB＝90°，
∴∠ACE+∠DCA＝90°，
∴∠ACE＝∠CDB，
∴△BDF∽△ACE，
∴＝＝＝，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形判定和性质，准确识图，理解矩形的性质，通过添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
10．如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，点E为AC边上的三等分点（AE＜EC），连结AD，BE，交点为F，过D作DG∥EF，已知△AEF的面积为4，则S△ABC 为（ ）
A．144 B．120 C．60 D．48
【点拨】由点D为BC边上的中点，得到S△ABC＝2S△ACD，由平行线等分线段定理推出AF＝FD，得到EF是△ADG的中位线，因此EF＝DG，由△AFE∽△ADG，推出＝＝，求出S△ADG＝4S△AFE＝16，由S△ADG＝S△ACD，得到△ACD的面积＝24，于是得到S△ABC＝2S△ACD＝48．
【解析】解：∵点D为BC边上的中点，
∴S△ABC＝2S△ACD，
∵DG∥EF，BD＝CD，
∴CG＝EG，
∵E为AC边上的三等分点（AE＜EC），
∴CE＝2AE，
∴AE＝EG＝CG，
∵EF∥DG，
∴AF＝FD，
∴EF是△ADG的中位线，
∴EF＝DG，
∵FE∥DG，
∴△AFE∽△ADG，
∴＝＝，
∵△AEF的面积为4，
∴S△ADG＝4S△AFE＝16，
∵AG＝AC，
∴S△ADG＝S△ACD，
∴△ACD的面积＝24，
∴S△ABC＝2S△ACD＝48．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是由平行线等分线段定理推出EF是△ADG的中位线，由△AFE∽△ADG，推出＝＝，
11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝α （0°＜α＜90°）．点D，E在AB边上，点F，G分别在BC和AC边上．若四边形DEFG为正方形，则＝（ ）
A． B． C． D．
【点拨】作CH⊥AB于H，设正方形DEFG的边长为m，证明△ADG∽△AHC，根据相似三角形的性质得，根据锐角三角函数的定义得AG＝，求出HC＝m（1+sinα），表示出正方形DEFG和△ABC的面积，即可求解．
【解析】解：作CH⊥AB于H，设正方形DEFG的边长为m，
∵四边形DEFG为正方形，
∴∠EDG＝90°，
∴DG∥CH，DE∥FG，
∴△ADG∽△AHC，
∴，
∵DE∥FG，
∴∠B＝∠CFG，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠CFG，
∴CG＝FG＝m，
在Rt△ADG中，sinA＝，
∴AG＝，
∴，
∴HC＝m（1+sinα），
∴S正方形DEFG＝m2，S△ABC＝AB HC＝AC HC＝（+m） m（1+sinα），
∴＝．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
12．在尺规作图专题复习课上，老师出了一个作图题：“如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是△ABC的中线，用尺规作图作出线段AB的黄金分割点”小方和小程前面的作法都是：“以D为圆心，AD为半径画弧，交BD于点E．”，后面的作法不同．
小方的作法为：以B为圆心，BE为半径画弧，交AB于点M，则M为线段AB的黄金分割点；
小程的作法为：连结CE并延长交AB于点N，则N为线段AB的黄金分割点．则（ ）
A．小方、小程都正确 B．小方、小程都错误
C．小方错误，小程正确 D．小方正确，小程错误
【点拨】令AB＝AC＝2a，用a分别表示出BM和AN的长即可解决问题．
【解析】解：令AB＝AC＝2a，
∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD＝a，
由作图可知，
DE＝AD＝a．
在Re△ABD中，
BD＝，
∴BE＝BD﹣DE＝（）a，
∴BM＝BE＝（）a，
∴，
∴点M为线段AB的黄金分割点．
故小方的作法正确．
连接AE，过点E作AB的垂线，垂足为H，
∵EH∥AC，
∴△BEH∽△BDA，
∴，
又∵BE＝（）a，BD＝，AB＝2a，AD＝a，
∴，
则BH＝，EH＝，
∴AH＝2a﹣＝．
在Rt△AEH中，
tan∠EAH＝．
∵CD＝DE，AD＝DE，
∴∠DCE＝∠CED，∠DAE＝∠DEA，
∴∠CAE+∠ACE＝．
∵∠CAE+∠EAH＝90°，
∴∠EAH＝∠ACE，
∴tan∠ACE＝tan∠EAH．
在Rt△ACN中，
tan∠ACE＝，
∴，
∴AN＝（）a，
∴，
∴点N为线段AB的黄金分割点．
故小程的作法正确．
故选：A．
【点睛】本题考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
13．如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为S1，正方形FPQG面积为S2，则S1：S2的值为（ ）
A．10：7 B．20：7 C．49：10 D．49：20
【点拨】由相似三角形的性质和锐角三角函数可求DC＝2a＝b+b，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠A＝∠ADG＝∠C＝90°，
∵四边形FGQP是正方形，
∴∠PQC＝∠DQG＝90°，∠QGF＝90°，
∴∠ADE+∠QDG＝∠QDG+∠DGQ＝90°，
∴∠ADE＝∠DGQ，
∵∠A＝∠DQG＝90°，
∴△ADE∽△QGD，
∴，
设正方形ABCD的边长为2a，则AD＝DC＝AB＝2a，
∵E为AB中点，
∴AE＝a，
∴＝＝2，
设正方形FGQP的边长为2b，则FG＝QG＝2b，QD＝b，
∴DG＝＝＝b，
∵∠DGQ+∠FGC＝90°＝∠DGQ+∠GDQ，
∴∠GDQ＝∠FGC，
∴cos∠GDQ＝cos∠FGC＝，
∴＝，
∴GC＝b，
∵DC＝2a＝b+b，
∴2a＝b，
∴S1：S2＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．
二．填空题
14．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，A，B，C为直线与五线谱横线相交的三个点，若AC＝12，则AB的长为 8 ．
【点拨】过点A作AD⊥a于D，交b于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解析】解：过点A作AD⊥a于D，交b于E，
∵a∥b，
∴＝＝，
∵AC＝12，
∴AB＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，D是AB上一点，连接CD．若AD＝2DB，且△BCD∽△BAC，则CD的长为 ．
【点拨】根据AD＝2DB可设DB＝x，则AD＝2x，AB＝3x，再由△BCD∽△BAC可得出BD的长．
【解析】解：∵AD＝2DB，AC＝4，BC＝3，
∴设DB＝x，则AD＝2x，AB＝3x，
∵△BCD∽△BAC，
∴＝＝，即＝＝，
∴x2＝3，
解得x＝或x＝﹣（负值舍去），
∴＝，
解得CD＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连接BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2．
（1）若DE是△ABC的中位线，则S1：S2＝ 1：2 ；
（2）若S1＝S2，CE＝4，则线段AE的长为 ．
【点拨】（1）根据中位线定理得出DE＝BC，DE∥BC，于是证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可得出△ADE与△ABC面积之间的关系，再根据三角形中线的性质得出△BCE与△ABC面积之间的关系，从而得出△ADE与△BCE面积之间的关系；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，交DE于点F，过点E作EH⊥BC于点H，由DE∥BC证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得出，设，由S1＝S2可以求出m的值，再由相似三角形的性质得出，从而求出AE的长．
【解析】解：（1）∵DE是△ABC的中位线，
∵DE＝BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即，
∵点E是AC的中点，
∴，
∴S1：S2＝1：2，
故答案为：1：2；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，交DE于点F，过点E作EH⊥BC于点H，
∵DE∥BC，
∴AF⊥DE，
∴FG＝EH，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
设，即DE＝mBC，
∴，
∴，即AF＝，
∵S1＝S2，
∴，
∴mBC ＝BC EH，
∴，
整理得m2+m﹣1＝0，
解得，（舍去），
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∵CE＝4，
∴AE＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
17．将一副三角板按如图所示放置，使点A在边DE上，此时BC∥DE，则的值为 ．
【点拨】过F点作FH⊥BC于H点，如图，设FH＝x，利用平行线的性质得到∠FCH＝∠E＝30°，则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到CH＝x，再利用∠B＝45°得到BH＝x，BF＝x，所以BC＝（+1）x，接着利用△ABC为等腰直角三角形得到AB＝x，所以AF＝AB﹣BF＝x，然后证明△AEF∽△BCF，于是利用相似比得到＝＝．
【解析】解：过F点作FH⊥BC于H点，如图，设FH＝x，
∵BC∥DE，
∴∠FCH＝∠E＝30°，
∴CH＝x，
∵∠B＝45°，
∴BH＝FH＝x，
∴BF＝BH＝x，
∴BC＝x+x＝（+1）x，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝x＝x，
∴AF＝AB﹣BF＝x﹣x＝x，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
18．如图1是某一遮阳篷支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳篷支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳篷支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形，展开时∠GHB为90度．
（1）若遮阳棚完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有 2 米（影子完全落在地面）．
（2）长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是 +1 ．
【点拨】（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK可得四边形CESK是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得KS的长即可．
（2）由题意可知：CB＝FB＝GF，GH＝HB，则FH⊥GB，进而证明△MOK∽△FOH，再证明GH＝GF，最后找到
CE与AD的长度比即可．
【解析】解：（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK，
∴四边形CESK是平行四边形，
∴KS＝CE＝2，即CE在地面上影子的长为2米．
故答案为：2．
（2）连结FH，
设DE＝a，CD＝b，
由题意可知：BC＝a，BF＝a，GF＝a，BH＝b，GH＝b，
在△GHB中，HB＝GH，GF＝FB，
∴FH⊥GB，
又∵MK⊥GB，
∴MK∥FH，
∴△MOK∽△FOH．
∵FK＝MH，
∴OH＝OF，
∴∠OFH＝∠OHF，
又∵∠GFH＝90°，即∠GFO+∠OFH＝90°，
∴∠GFO+∠OHF＝90°，
又∵∠FGO+∠OHF＝90°，
∴∠GFO＝∠FGO，
即OG＝OF，
∴OH＝OF＝OG，
∴∠FGH＝45°，
∴GH＝GF．
即：b＝a，
∴＝＝＝+1，
∴CE：AD＝+1．
故答案为：+1．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
19．如图1所示为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．现将△BCG向左平移，相应的△CDH和△ABF进行相似变换．如图2，当GE∥AD时，已知AE＝a，DE＝b，则EF＝ （结果用含a，b的代数式表示）．
【点拨】根据平移的性质可得△AED≌△CGB，△CHD≌△AFB，△AED∽△DHC，△AFB≌△BGC，在根据正切的定义可得tan∠GEF＝tan∠DAE＝＝，在根据全等三角形的性质可得BG＝DC＝b，CG＝AE＝a，DH＝BF＝x，则HE＝GF＝b x，进而得到EF＝GF＝（b x）＝a x；在根据相似三角形的性质可得CH＝＝，AF＝CH＝x，进而得到EF＝AF AE＝x a，即a x＝x a可得x＝，最后代入EF＝a x即可解答．
【解析】解：由图形变换可知，在图2中，四边形ABCD为矩形，△AED≌△CGB，△CHD≌△AFB，△AED∽△DHC，△AFB≌△BGC，
∵AD∥EG，
∴∠GEF＝∠DAE，
∴tan∠GEF＝tan∠DAE＝＝，
∵△AED≌△CGB，
∴BG＝DC＝b，CG＝AE＝a，
∵△CHD≌△AFB，
∴设DH＝BF＝x，则HE＝GF＝b x，
∵tan∠GEF＝＝，
∴EF＝GF＝（b x）＝a x，
∵△AED∽△DHC，
∴＝，即：CH＝＝，
∵△CHD≌△AFB，
∴AF＝CH＝x，
∴EF＝AF AE＝x a，
∴a x＝x a，解得：x＝，
∴EF＝a x＝a ＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平移的性质、勾股定理、相似三角形的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
20．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是 ．
【点拨】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC EP，由此即可解决问题．
【解析】解：如图，作FH⊥PE于H．
∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴AC＝5，∠ACD＝∠FCH＝45°，
∵∠FHC＝90°，CF＝2，
∴CH＝HF＝，
∵CE＝4AE，
∴EC＝4，AE＝，
∴EH＝5，
在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5）2+（）2＝52，
∵∠GEF＝∠GCF＝90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠ECG＝45°，
∴∠ECF＝∠EFP＝135°，
∵∠CEF＝∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴＝，
∴EF2＝EC EP，
∴EP＝＝．
故答案为．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题
21．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，已知∠ADB＝2∠ABD．
（1）求证：AB2＝AD AC；
（2）若DC＝2AD＝2，求∠A的度数．
【点拨】（1）由∠ABC＝2∠ABD，∠ADB＝2∠ABD，得∠ADB＝∠ABC，而∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，得＝，所以AB2＝AD AC；
（2）由相似三角形的性质得∠ABD＝∠C，因为∠ABD＝∠DBC，所以∠C＝∠DBC，求得DB＝DC＝2，AD＝1，所以AC＝3，则AB2＝AD AC＝3，AD2＝1，DB2＝4，所以AB2+AD2＝DB2，则∠A＝90°．
【解析】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∵∠ADB＝2∠ABD，
∴∠ADB＝∠ABC，
∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∴＝，
∴AB2＝AD AC．
（2）解：∵△ADB∽△ABC，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠C＝∠DBC，
∵DC＝2AD＝2，
∴AD＝1，DB＝DC＝2，
∴AC＝AD+DC＝1+2＝3，
∵AB2＝AD AC＝1×3＝3，AD2＝12＝1，DB2＝22＝4，
∴AB2+AD2＝DB2＝4，
∴△ABD是直角三角形，且∠A＝90°，
∴∠A的度数是90°．
【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，证明△ADB∽△ABC是解题的关键．
22．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，AO平分∠BAC，以AC为腰作等腰三角形ACD，使AC＝CD，且CD交AO的延长线于点D，
（1）求证：BC⊥CD．
（2）设＝k，求k的值．
【点拨】（1）由角平分线的定义得∠BAO＝∠CAO，由等边对等角得∠CDA＝∠CAD，于是∠CDA＝∠BAO，进而可得AC∥CD，利用平行线的性质即可得证；
（2）根据等腰直角三角形的三边关系可知，结合AC＝CD即可得解．
【解析】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝90°，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAO＝∠CAO，
又∵AC＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD，
∴∠CDA＝∠BAO，
∴AC∥CD，
∴∠DCB＝∠ABC＝90°，即BC⊥CD．
（2）解：∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC，
∴AC＝AB，即，
又∵AC＝CD，
∴＝，即k＝．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟记等腰直角三角形的三边关系是解题关键．
23．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，．
（1）若AB＝30，求线段BD的长．
（2）若△ADE的面积为2，求平行四边形BFED的面积．
【点拨】（1）证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ABC的面积是16，同理可得△EFC的面积＝9，根据面积差可得答案．
【解析】解：（1）∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE∥BF，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵AB＝30，
∴AD＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝30﹣6＝24；
（2）∵△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△ADE的面积为2，
∴△ABC的面积是50，
∵四边形BFED是平行四边形，
∴EF∥AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴△EFC的面积＝32，
∴平行四边形BFED的面积＝50﹣32﹣2＝16．
【点睛】本题主要平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键．
24．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在AB边上，点E在AC边上（点E不与A，C重合），且∠AED＝∠B．
（1）求证：AD AB＝AE AC．
（2）若AE＝EC＝2AD，求的值．
（3）若AB＝6，AC＝4，求AD长的取值范围．
【点拨】（1）由∠AED＝∠B，∠A＝∠A可证得△AED和△ABC相似，再利用相似三角形的性质可得出结论；
（2）设AD＝k，则AE＝EC＝2k，AC＝4k，由（1）的结论得AD AB＝AE AC，则k AB＝2k 4k据此得AB＝8k，进而可得的值；
（3）由（1）结论得AD AB＝AE AC，将AB＝6，AC＝4代入得AD＝AE，然后根据点E在AC边上，AC＝4得0＜AE＜4，由此可得AD长的取值范围．
【解析】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴AD：AC＝AE：AB，
即AD AB＝AE AC；
（2）解：∵AE＝EC＝2AD，
∴设AD＝k，则AE＝EC＝2k，
∴AC＝AE+EC＝4k，
由（1）可知：AD AB＝AE AC，
∴k AB＝2k 4k，
∴AB＝8k，
∴＝＝；
（3）解：由（1）可知：AD AB＝AE AC，
∵AB＝6，AC＝4，
∴6 AD＝4 AE，
∴AD＝AE，
∵点E在AC边上，AC＝4，
∴0＜AE＜4，
∴0＜AD＜，
即0＜AD＜．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
25．国旗上的每颗星都是标准五角星，圆圆对五角星进行了较深入的研究：延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE的边BA、
DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．
（1）求证：AE2＝EF EM；
（2）若AF＝1，求AE的长．
【点拨】（1）根据正五边形的性质可得∠BAE＝∠AED＝108°，从而利用平角定义可得∠FAE＝∠AEF＝72°，进而利用三角形内角和定理可得∠F＝36°，然后利用角平分线的定义可得∠FAM＝∠MAE＝36°，从而可得∠F＝∠MAE，进而可证△AEM∽△FEA，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）设AE＝x，利用（1）的结论可得：∠F＝∠FAM＝36°，从而可得FM＝AM，在利用（1）的结论可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，从而可得FA＝FE＝1，然后利用三角形的外角性质可得∠AME＝∠AEF＝72°，从而可得AM＝AE，进而可得AM＝AE＝FM＝x，再利用线段的和差关系可得ME＝1﹣x，最后利用（1）的结论可得：AE2＝EF EM，从而可得x2＝1 （1﹣x），进行计算即可解答．
【解析】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝108°，
∴∠FAE＝180°﹣∠BAE＝72°，∠AEF＝180°﹣∠AED＝72°，
∴∠F＝180°﹣∠FAE﹣∠AEF＝36°，
∵AM平分∠FAE，
∴∠FAM＝∠MAE＝∠FAE＝36°，
∴∠F＝∠MAE，
∵∠AEM＝∠AEF，
∴△AEM∽△FEA，
∴，
∴AE2＝EF EM；
（2）解：设AE＝x，
由（1）可得：∠F＝∠FAM＝36°，
∴FM＝AM，
由（1）可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，
∴FA＝FE＝1，
∵∠AME＝∠F+∠FAM＝72°，
∴∠AME＝∠AEF＝72°，
∴AM＝AE，
∴AM＝AE＝FM＝x，
∴ME＝EF﹣FM＝1﹣x，
由（1）可得：AE2＝EF EM，
∴x2＝1 （1﹣x），
解得x＝或x＝（舍去），
∴AE＝，
∴AE的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，角平分线的性质，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26．如图，△ABC内接于⊙O，点D为弦AB的中点，连接DO、OB，延长DO交弦AC的延长线于点E，DE与弦BC交于点F，DE与⊙O交于点G，已知AB＝6，DG＝9．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：∠E＝∠OBC；
（3）若OF＝3，求CF的长．
【点拨】（1）利用垂径定理得到OD⊥AB，AD＝DB＝3，设⊙O的半径为r，利用勾股定理列出方程解答即可；
（2）延长BO交⊙O于点K，连接CK，利用直径所对的圆周角是直角和直角三角形的性质解答即可；
（3）连接OC，利用相似三角形的判定与性质求得OE＝，利用勾股定理求得BF，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【解析】（1）解：∵点D为弦AB的中点，O为圆心，AB＝6，
∴OD⊥AB，AD＝DB＝3，
设⊙O的半径为r，则OB＝OG＝r，OD＝DG﹣OG＝9﹣r，
∵BD2+OD2＝OB2，
∴32+（9﹣r）2＝r2，
∴r＝5．
∴⊙O的半径为5；
（2）证明：延长BO交⊙O于点K，连接CK，如图，
∵BK为⊙O的直径，
∴∠BCK＝90°，
∴∠OBC+∠K＝90°．
∵OD⊥AB，
∴∠E+∠A＝90°．
∵∠A＝∠K，
∴∠E＝∠OBC；
（3）解：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠E＝∠OBC，
∴∠OCB＝∠E．
∵∠COF＝∠EOC，
∴△COF∽△EOC，
∴，
∴，
∴OE＝．
∴EF＝OE﹣OF＝．
由（1）知：OB＝OC＝5，OD＝4，
∴DF＝OD+OF＝7，
∴BF＝＝．
∵∠E＝∠OBC，∠CFE＝∠OFB，
∴△CFE∽△OFB，
∴，
∴，
∴CF＝．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，连接直径所对的圆周角和利用勾股定理列出方程解答是解题的关键．
27．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别为对边AD，BC的中点，线段EF交AC于点O，延长CD于点G，连结GE并延长交AC于点Q，连结GF交AC于点P，连结QF．（1）若DG＝CD．
①求证：点Q为OA的中点．
②若OA＝1，∠ACB＝30°，求QF的长．
（2）求证：FE平分∠QFP．
（3）若CD＝mDG，求．（结果用含m的代数式表示）
【点拨】（1）①首先证明△QEO∽△QGC，根据该相似三角形的对应边成比例得到：，结合中点的性质推知，，最后根据等量代换推知Q为OA的中点．
②如图1，作 QH⊥BC 于点H，则OF∥QH，由平行线分线段成比例得到：．利用①题的结论和含30度角直角三角形的性质求得．
（2）如图2，延长QF与GC的延长线交于点I．构造相似三角形：△QOF∽△QCl，△QOE∽△QCG．根据该相似三角形的性质和等腰三角形的判定与性质推知∠QFE＝∠EFG．
（3）首先证得△QOE∽△QCG，则，同理，故．作QH⊥BC于点H，PJ⊥BC于点J，构造△QFH∽△PFJ，再次由相似三角形的对应边成比例推知．
【解析】（1）①证明：由题意，得EF与AC互相平分，EF∥CD且EF＝CD，
则△QEO∽△QGC，
∴，
又∵，，
∴，则
即点Q为OA的中点．
②解：如图1，作 QH⊥BC 于点H，
由题意，得OF∥QH，
所以．
由①，得 ，
∴，
∵∠ACB＝30°
则，，
∴，
∴．
（2）如图2，延长QF与GC的延长线交于点I．
因为EF∥CD，所以∠QFE＝∠1，∠EFG＝∠FGl；
且△QOF∽△QCl，△QOE∽△QCG．
∴，
∵OE＝OF，
∴Cl＝CG．
又∵FC⊥GI，
∴FI＝FG，
∴∠I＝∠FGI，则∠QFE＝∠EFG．
（3）解：因为CD＝mDG，
由 EF∥CD，得△QOE∽△QCG，
∴，
同理，
∴．
作QH⊥BC于点H，PJ⊥BC于点J，
∴∠QHF＝∠PJF＝90°
又由（2），得∠QFH＝∠PFJ，
∴△QFH∽△PFJ，
∴．
即＝．
【点睛】本题考查的是相似综合题，主要涉及到了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，解题的难点是作出辅助线，构造相似三角形．
28．【探究发现】如图1，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，M为DE中点，连结AM并延长交BC于点N，求证：BN＝CN．
【拓展应用】如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于N点，E，F分别是边AB，AD上的点，EF∥BD交AC于点M，若AD＝2，BC＝3，求的值．
【综合提升】如图3，平行四边形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，动点E在边AB上，过E作EF∥BD交AC于点F，过F作FG⊥EF交BC于点G，连结EG，求EG的最小值．
【点拨】【探究发现】由DE∥BC可得出两组三角形相似，从而得出线段之间的比例关系，，等量代换后得，结合DM＝ME可得结论．
【拓展应用】仿照（1）可证，再由AD∥BC可得，于是．
【综合提升】延长EF交AD于P，连结PG．由平行四边形性质知O为BD中点，再由EP∥BD结合（1）的结论可得EF＝FP，再结合FG⊥EF得EG＝PG，当PG⊥BC时PG取到最小值，即EG取得最小值，作AH⊥BC，AH在直角三角形ABH中可解得，于是可得结果．
【解析】【探究发现】证明：∵DE∥BC，则∠ADM＝∠ABN，∠AEM＝∠ACN，
∵∠DAM＝∠BAN，∠EAM＝CAN，
∴△ADM∽△ABN，△AME∽△ANC，
∴，，
∴．
∵M为DE中点，即DM＝ME，
∴BN＝NC．
【拓展应用】解：∵EF∥BD，
∴△AEM∽△ABN，△AMF∽△AND，
∴，
∴．
∵AD∥BC，AD＝2，BC＝3，
∴△ADN∽△CBN，
∴，
∴．
【综合提升】解：延长EF交AD于P，连结PG．如图3，
在ABCD中，AC，BD交于点O，则O为BD中点，
∵EP∥BD，由（1）可得EF＝FP，
∵FG⊥EF，
∴EG＝PG（线段垂直平分线上的任一点到线段两端点的距离相等），
∴当PG⊥BC时，PG取到最小值，即此时EG取得最小值．如图4，
过A作AH⊥BC，H为垂足，则AH＝PG（平行线之间的距离处处相等），
∵AB＝4，∠ABC＝60°，，
∴PG的最小值为．
即EG的最小值是．
【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、垂线段最短、三角函数的有关计算等，解题的关键是熟知相关知识点．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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