10.2 事件的相互独立性 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知事件和相互独立，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．甲乙两人独立的解答同一道题，甲乙解答正确的概率分别是，，那么只有一人解答对的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立，那么在一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是（ ）
A．0.06 B．0.38 C．0.56 D．0.94
4．将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“第二次出现奇数点”，则（ ）
A．与不独立 B．
C．与不互斥 D．
5．某射击运动员射击一次，命中目标的概率为p，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率，则p的值为（ ）
A． B． C． D．
6．掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ）
A．与是对立事件 B．与是互斥事件
C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件
7．甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立. 设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．
B．若为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥．
C．设样本数据的平均数和方差分别为2和8，若，则的平均数和方差分别为5和32
D．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分
10．已知事件A，B满足，，则（ ）
A．事件A与B可能为对立事件
B．若A与B相互独立，则
C．若A与B互斥，则
D．若A与B互斥，则
11．质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（ ）
A．事件、、两两互斥
B．事件与事件对立
C．
D．事件、、两两独立
12．下列各对事件中，，为相互独立事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件为“出现的点数为奇数”，事件为“出现的点数为偶数”
B．袋中有5个白球，5个黄球（球除颜色外完全相同），现不放回地依次摸出2个球，事件为“第一次摸到黄球”，事件为“第二次摸到黄球”
C．一枚硬币掷两次，事件为“第一次为正面”，事件为“两次抛掷的结果相同”
D．一枚硬币掷两次，事件为“第一次为正面”，事件为“第二次为反面”
三、填空题
13．A、B相互独立，，，则 .
14．某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为 ．
15．二维码是一种利用黑 白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为 .
16．已知在8个电子元件中，有3个次品，5个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到3个次品都找到为止，则经过4次测试恰好将3个次品全部找出的概率为 ．
四、解答题
17．某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）：
(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率；
(2)某煤矿不被关闭的概率；
18．某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.
(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？
(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？
19．近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下：
利润率 月数公司 -5%
A公司 3 2 1
B公司 2 2 2
利润率，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．
(1)比较两家旅游公司过去6个月平均每月利润率的大小；
(2)用频率估计概率，且假设两家旅游公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个月两家旅游公司至少有一家盈利的概率．
20．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
21．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
(1)求和的值；
(2)试求两人共答对3道题的概率．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】利用相互独立事件概率公式计算即可.
【详解】因为事件和相互独立，事件为和事件，则，
所以，解得；
故选：D
2．B
【分析】根据独立事件概率公式，即可求解.
【详解】只有1人答对的概率.
故选：B
3．B
【分析】根据题意按一个预报准确一个预报不准确分两类计算即可.
【详解】解：由题可得一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是：
，
故选：B.
4．C
【分析】由独立和互斥事件的性质可判断A错误，C正确；由可得B错误；由独立事件的乘法公式可得D错误.
【详解】A：事件和的发生没有影响，相互独立，故A错误；
B：，，故B错误；
C：事件和可以同时发生，所以与不互斥，故C正确；
D：，故D错误；
故选：C.
5．B
【分析】根据独立事件概率乘法公式可知：三次都未命中的概率为，根据题意结合对立事件概率公式可知，运算求解即可.
【详解】因为射击一次命中目标的概率为，所以射击一次未命中目标的概率为.
又因为每次射击结果相互独立，则三次都未命中的概率为.
若连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，
所以连续射击三次，至少有一次命中的概率，解得.
故选：B.
6．D
【分析】选项A和B，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A和B的正误；选项C和D，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果.
【详解】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，
即一次试验，事件和事件可以都不发生，所以选项A错误；
对于选项B，因为即两个点数都是偶数，即与可以同时发生，所以选项B错误，
对于选项C，因为，，又，所以，故选项C错误，
对于选项D，因为，，所以，所以选项D正确，
故选：D.
7．D
【分析】分情况讨论：三人中恰有两人获得一等奖、三人都获得一等奖，根据独立事件的概率乘法公式求解出对应概率即可.
【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是
则不获一等奖的概率分别是
则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：
这三人都获得一等奖的概率为
所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率
故选:D.
8．B
【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可分类求解.
【详解】设甲第局胜，，2，3，且，
则甲恰好连胜两局的概率，
故选：B．
9．ACD
【分析】利用频率分布直方图以及互斥事件和对立事件的概念即可判断AB，设样本数据的均值为，方差为，由已知得新样本的均值为，方差为即可判断C，先计算抽取的比例，再在高一高二两层内按比例抽取，求出高一高二的人数后再计算平均分即可判断D.
【详解】对于A，在频率分布直方图中，根据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等是正确的；
对于B，若A、B为互斥事件，根据互斥事件和对立事件的概念，可得则A的对立事件与B的对立事件不一定互斥，所以不正确；
对于C，设样本数据的均值为，则，方差为，则，
所以新样本的均值为，方差为，故C正确；
对于D，由题意，可得高一年级抽取的样本量为×450＝90，
高二年级抽取的样本量为×350＝70.
高一和高二数学竞赛的平均分约为×80＋×90＝84.375(分)，故D正确.
故选：ACD.
10．BC
【分析】根据对立事件的定义判断选项A；若相互独立，则相互独立，可以判断选项B;互斥，判断选项C和D.
【详解】对于A，由,则,故A错误；
对于B，与相互独立，则与相互独立，
故,故B正确；
对于CD，互斥，则,,故C正确，D错误.
故选：BC
11．ABC
【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念判断即可.
【详解】依题意抛掷一次可能出现的结果有、、、，
事件包含的基本事件有、，则；
事件包含的基本事件有、，则；
事件包含的基本事件有、，则；
显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生，
故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误；
事件包含的基本事件有、、，
事件包含的基本事件有，
当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥，
显然不对立，故B错误；
又事件包含的基本事件有，所以，
所以，故C错误；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
即事件、、两两独立，故D正确.
故选：ABC
12．CD
【分析】借助概率公式分别计算出、、，结合相互独立事件的定义判断即可得.
【详解】对A：，，，
故，所以，不相互独立，故A错误；
对B：，，，
故，所以，不相互独立，故B错误；
对C：，，，
有，所以，相互独立，故C正确；
对D：，，
有，所以，相互独立，故D正确.
故选：CD．
13．
【分析】由并事件的概率和相互独立事件的概率公式计算可得.
【详解】因为A、B相互独立，，，
所以，
所以，
故答案为：.
14．
【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可.
【详解】到达第3台阶的方法有两种：
第一种： 每步上一个台阶，上两步，则概率为；第二种：
只上一步且上两个台阶，则概率为，
所以到达第3阶台阶的概率为，
故答案为：.
15．7
【分析】根据题意可得，即可由不等式求解.
【详解】由题意可知的二维码共有个，
由可得，故，
由于，所以，
故答案为：7
16．
【分析】利用独立事件的乘法公式可求答案.
【详解】由题意可得，前3次抽到了2个次品，一个正品，且第4次抽到第3个次品，结合相互独立事件的概率乘法公式，
所求概率．
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用组合数及概率的意义可解.
（2）利用逆向思维求其对立事件的概率，从而得解.
【详解】（1）依题意，可知每家煤矿必须整改的概率为，且每家煤矿安检是否必须整改是相互独立的，
所以恰好有两家煤矿必须整改的概率为.
（2）某煤矿被关闭的原因是，两次安检都不合格，
所以某煤矿被关闭的概率为，
故某煤矿不被关闭的概率为.
18．(1)9种
(2).
【分析】（1）法一，利用分步乘法计数原理集合组合数的计算，即可求得答案；法二，利用间接法，即用不考虑队长人选对甲的限制的所有选法，减去甲担任队长的选法，即可得答案；
（2）考虑第一次传球，老师传给了甲还是传给乙、丙、丁中的任一位，继而确定第二次以及第三次传球后球回到老师手中的情况，结合乘法公式以及互斥事件的概率求法，即可求得答案.
【详解】（1）法一，先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为；
再选出副队长，方法数也是，故共有方法数为（种）.
方法二 先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为（种）；
若甲任队长，方法数为，故甲不担任队长的选法种数为（种）
答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.
（2）①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为；
第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为，
故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：.
②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为，
第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为，
第三次传球，甲将球传给老师，其概率为，
这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为，
所以，前三次传球中满足题意的概率为：.
答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是.
19．(1)A公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率
(2)
【分析】（1）由加权平均数的计算公式直接计算结果比较即可；
（2）由独立乘法公式以及对立事件概率的求法即可得解.
【详解】（1）A公司过去6个月平均每日的利润率为，
B公司过去6个月平均每月的利润率为，
因为，
所以A公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率．
（2）A公司过去6个月盈利的频率为，
B公司过去6个月盈利的频率为，
用频率代替概率，可知两公司未来某个月盈利的概率分别为．
设两家旅游公司盈利分别为事件，由题知与相互独立，
所以所求概率为．
20．(1)
(2)
(3)第41天该茶品价格“不变”的概率估计值最大
【分析】（1）计算表格中的“上涨”，“下跌”，“不变”的天数，利用频率估计概率即可求解；
（2）利用频率估计概率求相应的频率，结合独立事件概率乘法公式运算求解；
（3）通过统计表格中前一天上涨，后一天发生的各种情况的概率进行推断.
【详解】（1）由表知：40天中价格“上涨”15天，“下跌”15天，“不变”10天，
可知该茶品价格“上涨”、 “下跌”、“不变”的频率分别为为、、，
利用频率估计概率，所以估计该农产品价格“上涨”的概率为.
（2）由（1）利用频率估计概率可知：“上涨”、 “下跌”、 “不变”的概率分别为、、，
估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率为
.
（3）研究：40天中除去最后一天价格“上涨”的有14天，
价格“上涨”后仍“上涨”的有4次，概率为，
价格“上涨”后“下跌”的有2次，概率为，
价格“上涨”后“不变”的有8次，概率为，
所以第41天该茶品价格“不变”的概率估计值最大.
21．(1)
(2)．
【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可.
（2）两人共答对3道题，只可能为甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，列式解得即可.
【详解】（1）由题意可得
即解得或
由于，所以．
（2）设甲同学答对了道题乙同学答对了道题．
由题意得，，．
设甲、乙二人共答对3道题，则．
由于和相互独立，与互斥，
所以
所以甲、乙两人共答对3道题的概率为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
