第10章《二元一次方程组》单元综合测试专项提升卷（原卷版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知3x－y＝4．用含x的代数式表示y，则y＝（ ）
A．3x－4 B．3x＋4 C．3x D．－3x
2．已知方程组，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3． 《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知关于x，y的方程组 给出下列结论：
① 是方程组的解；②无论 取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③a=1时，方程组的解也是方程 的解；④x，y都为自然数的解有4对.其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．下列四组数值中，属于二元一次方程
的解的是（ ）
①②③④
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
6．用加或减法解方程组 时，有以下四种变形的结果：
①②③④
其中变形正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
7．对于代数式ax+b(a，b是常数)，当x分别等于3，2，1，0时，小虎同学依次求得下面四个结果：3，2，-1，-3.若其中有一个是错误的，则错误的结果是（ ）
A．3 B．2 C．-1 D．-3
8．栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？歌谣大意是：一群乌鸦落在一片树上，如果三个乌鸦落在一棵树上，那么就有五个乌鸦没有树可落；如果五个乌鸦落在一棵树上，那么就有一棵树没有落乌鸦，请问乌鸦和树各多少？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
9．小江去商店购买签字笔和笔记本(签字笔的单价相同，笔记本的单价相同)．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱会不足95元 B．他身上的钱会剩下95元
C．他身上的钱会不足105元 D．他身上的钱会剩下105元
10．利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．84cm B．85cm C．86cm D．87cm
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．已知二元一次方程2x+3y＝12，用含y的代数式表示x为 ，这个方程的正整数解为 .
12．请写出一个解为的二元一次方程组： ．
13．已知方程组的解是，则方程组的解 .
14．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高 ，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低 ，则每块墙砖的截面面积是 .
15．某家具厂有22名工人，每名工人每天可加工3张桌子或10把椅子，1张桌子与4把椅子配成一套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套而没有剩余，若设安排x名工人加工桌子，y名工人加工椅子，则列出的方程组为 ．
16．一条两边互相平行的纸带按如图所示的方式折叠，已知∠DAB-∠ABC=10°，且DF∥CG，则3∠DAB+2∠ABC= °.
17．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个简单的二阶幻圆模型，若内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ； ．
18．若关于x，y的方程组
的解为
则方程组
的解为 .
三、综合题（本大题共6小题，共58分）
19．（6分）常德市某校购进一批甲、乙两种中考排球，已知一只甲种排球的价格与一只乙种排球的价格的和为40元，用900元购进甲种排球的件数与用1500元购进乙种排球的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种排球的价格分别是多少元？
（2）该校计划用3500元购买甲、乙两种排球，由于采购人员把甲、乙两种排球的只数互换了，结果需4500元，求该校原计划购进甲、乙两种排球各多少只？
20．（9分）如图，，两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地距离的倍，现该食品厂从地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗卖到地，两次运输第一次：地食品厂，第二次：食品厂地共支出公路运费元，铁路运费元．已知公路运费为元千米吨，铁路运费为元千米吨．
（1）求该食品厂到地，地的距离分别是多少千米？
（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
（3）若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润总售价总成本总运费）
21．（9分）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为丰富学生课余生活，计划到甲超市购买一批象棋和围棋．已知购买2副象棋和3副围棋共需140元，购买4副象棋和1副围棋共需130元．
（1）求每副象棋和围棋的单价；
（2）若学校准备购买象棋和围棋共80副，总费用不超过2250元，那么最多能购买多少副围棋？
（3）若甲超市对围棋进行促销：方案一：围棋一律打九折：方案二：办理超市会员卡60元，围棋一律打七折．则学校选用哪种方案购买围棋花费少？
22．（10分）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种材质 B种材质
第一个月 3套 5套 1800元
第二个月 4套 10套 3100元
（1）求A、B两种材质的围棋每套的售价．
（2）若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求A种材质的围棋最多能采购多少套？
（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1300元的目标？请说明理由．
23．（12分）阅读下列材料：
解答“已知 ，试确定 的取值范围”有如下解法：
解：∵ ，∴x=y+2，又∵ ，∴ ，即
又 ，∴ .…①
同理得： .…②
由①+②得
∴ 的取值范围是 .
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于 的方程组 的解都是正数.
（1）求 的取值范围；
（2）已知 且 ，求 的取值范围；
（3）已知 （ 是大于0的常数），且 的最大值.（用 含的式子表示）
24．（12分）某市为了美化亮化某景点，在两条笔直的景观道MN、QP上，分别放置了A、B两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动a度，B灯每秒转动b度，且满足 ，若这两条景观道的道路是平行的，即MN∥QP.
（1）求a、b的值；
（2）若B灯先转动10秒，A灯才开始转动：
当A灯转动5秒时，两灯的光束AM′和BP′到达如图①所示的位置，试问AM′和BP′是否平行？请说明理由；
（3）当B灯光束第一次达到BQ之前，两灯的光束是否能互相垂直，如果能互相垂直，那么此时A灯旋转的时间为 秒.（不要求写出解答过程）
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第10章《二元一次方程组》单元综合测试专项提升卷（答案解析版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知3x－y＝4．用含x的代数式表示y，则y＝（ ）
A．3x－4 B．3x＋4 C．3x D．－3x
【答案】A
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵3x-y=4，
∴y=3x-4，
故答案为：A．
【分析】将x当作常数，再利用一元一次方程的解法求解即可。
2．已知方程组，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：方程组，
三个方程相加得：，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用三元一次方程组的解法求解即可。
3． 《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根据题意，得：
；
故答案为：A．
【分析】根据上等稻子三捆，打出来的谷子再加六斗，相当于十捆下等稻子打出来的谷子；下等稻子五捆，打出来的谷子再加一斗，相当于两捆上等稻子打出来的谷子．列出方程组即可．
4．已知关于x，y的方程组 给出下列结论：
① 是方程组的解；②无论 取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③a=1时，方程组的解也是方程 的解；④x，y都为自然数的解有4对.其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将
代入方程组
得
由第一个式子得 ，由第二个式子得 ，故①不正确；
解方程组
两式相减，得
，
解得
.
将
的值代入
，得
，
所以 ，故无论 取何值，x，y的值都不可能互为相反数，故②正确；
将a=1代入方程组，得
解得
将 代入方程 ，方程左边 右边，故(③正确；
因为
，所以x，y都为自然数的解有
故④正确.
则正确的有②③④.
故答案为：B.
【分析】①将x=5，y=-1代入方程组中进行验证即可判断；②先将x和y分别用a表示出来，再将其相加得x+y=3，即无论a取何值，x和y都不会为相反数；③将a=1代入方程组求出方程组的解，再将方程组的解代入方程x+y=4-a中进行验证即可判断；④由x+y=3，x和y都为自然数，即当x=0，y=3；x=1，y=2；x=2，y=1；x=3，y=0. 据此即可判断正确选项.
5．下列四组数值中，属于二元一次方程
的解的是（ ）
①②③④
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将①代入二元一次方程x-3y=1中，得：2-3×1=-1≠1；
将②代入二元一次方程x-3y=1中，得：4-3×1=1；
将③代入二元一次方程x-3y=1中，得：10-3×3=1；
将④代入二元一次方程x-3y=1中，得：5-3×（-2）=11≠1；
∴①和④不是二元一次方程x-3y=1解，②和③是二元一次方程x-3y=1的解，
故答案为：C.
【分析】将已知中各组x、y值分别代入二元一次方程中验证，使得方程左右相等的x、y值即为方程的解，据此判断即可.
6．用加或减法解方程组 时，有以下四种变形的结果：
①②③④
其中变形正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【知识点】解二元一次方程组；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：①利用等式的性质把y的系数化为互为相反数，正确；
②第一个方程右边的1漏乘了2，第二个方程右边的8漏乘了3，错误；
③是利用等式的性质把x的系数化为互为相反数，正确；
④第一个方程右边的1漏乘了3，第二个方程右边的8漏乘了2，错误；
综上，正确的是 ①③ .
故答案为：C.
【分析】根据等式的基本性质把方程组中的每个方程分别变形，但要注意不能漏乘项，依此分别判断即可.
7．对于代数式ax+b(a，b是常数)，当x分别等于3，2，1，0时，小虎同学依次求得下面四个结果：3，2，-1，-3.若其中有一个是错误的，则错误的结果是（ ）
A．3 B．2 C．-1 D．-3
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：设y=ax+b，把x=3，y=3；x=2，y=2；x=1，y=-1；x=0，y=-3分别代入y=ax+b，得3a+b=3；2a+b=2；a+b=-1；0+b=-3.分别组方程组得：
；
解得：
；
解得：
解得：
∵四个结果中只有一个是错误的，
∴错误的结果是2
故答案为：B.
【分析】把x的四个值分别代入ax+b，会得到四个不同的方程。然后分别用两个组方程组解出，看有一个方程组的解与其他的不同，说明这个结果是错误的.
8．栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？歌谣大意是：一群乌鸦落在一片树上，如果三个乌鸦落在一棵树上，那么就有五个乌鸦没有树可落；如果五个乌鸦落在一棵树上，那么就有一棵树没有落乌鸦，请问乌鸦和树各多少？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意设若设乌鸦有x只，树有y棵，则可列出方程组为：
故答案为：D.
【分析】题目中若设乌鸦有x只，树有y棵，利用题中描述关系语句”三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树“分别列出方程：，从而联立方程组即可.
9．小江去商店购买签字笔和笔记本(签字笔的单价相同，笔记本的单价相同)．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱会不足95元 B．他身上的钱会剩下95元
C．他身上的钱会不足105元 D．他身上的钱会剩下105元
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解设签字笔单价为a ，笔记本的单价为b，他身上带的钱为m， 则m=20a+15b-25， m=19a+13b+15；
20a+15b-25=19a+13b+15， 得a+2b=40， 则17a+9b=19a+13b-2a-4b=m-15-2(a+2b)=m-15-80=m-95；
故答案为：B
【分析】本题需设几个未知量，但设而不求，用整体变形和代换求出具体数据，这是很实用的一种方法。
10．利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．84cm B．85cm C．86cm D．87cm
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设长方形的长为a， 宽为b， 高为h，
由图①得：h-b+a=90，
由图②得：h+b-a=80，
所以：h-b+a+h+b-a=90+80，
2h=170，
h=85cm，
故答案为：B.
【分析】设长方形的长为a， 宽为b， 高为h， 根据如图的两种情况列式，将两式相加即可得出h的长。
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．已知二元一次方程2x+3y＝12，用含y的代数式表示x为 ，这个方程的正整数解为 .
【答案】；
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程
【解析】【解答】解：2x+3y=12，
2x=12-3y，
x=6 1.5y；
当y=2时，x=3；
故这个方程的正整数解为.
故答案为：x=6 1.5y；.
【分析】将含x的项留在方程的一边，其它项放到方程的另一边，进而方程两边同时除以2将x项的系数化为1即可得出第一空的答案；进而根据方程解的定义及正整数的定义即可得出方程的正整数解.
12．请写出一个解为的二元一次方程组： ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：根据题意只要使方程组中的每个方程满足即可，
则，
将代入原方程验证，符合要求．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据二元一次方程组的定义及二元一次方程组的解求解即可。
13．已知方程组的解是，则方程组的解 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：令，
∴方程组可转化为：，
∵方程组的解是，
∴，即，
解得：.
【分析】令，原方程组可转化为：，由方程组的解是，可得m=3=x-2，n=-4=y+1，据此即可求解.
14．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高 ，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低 ，则每块墙砖的截面面积是 .
【答案】525cm2
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：
，
计算得出： ，
则每块墙砖的截面面积是35×15=525（cm ）
因此，本题符合题意答案是：525cm .
【分析】设每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm”列方程组求解可得.
15．某家具厂有22名工人，每名工人每天可加工3张桌子或10把椅子，1张桌子与4把椅子配成一套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套而没有剩余，若设安排x名工人加工桌子，y名工人加工椅子，则列出的方程组为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】设安排x名工人加工桌子，y名工人加工椅子，
根据题意得： ．
故答案为： ．
【分析】根据人数之和为22，1张桌子与4把椅子配成一套，可以列出二元一次方程组.
16．一条两边互相平行的纸带按如图所示的方式折叠，已知∠DAB-∠ABC=10°，且DF∥CG，则3∠DAB+2∠ABC= °.
【答案】230
【知识点】解二元一次方程；平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据翻折得，∠BAE=180°-2∠DAB，∠ABH=180°-2∠ABC，
∵ DF∥CG，BH∥CG，AE∥DF，
∴AE∥BH
∴ ∠BAE+∠ABH=180°，
即180°-2∠DAB+180°-2∠ABC=180°，
即∠DAB+∠ABC=90°，
又 ∵ ∠DAB-∠ABC=10°，
∴ ∠DAB=50°，∠ABC=40°，
∴ 3∠DAB+2∠ABC=230°.
故答案为：230.
【分析】根据翻折的性质得∠BAE=180°-2∠DAB，∠ABH=180°-2∠ABC，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得AE∥BH，由二直线平行，同旁内角互补得∠BAE+∠ABH=180°推出∠DAB+∠ABC=90°，与∠DAB-∠ABC=10°组成二元一次方程组，解方程可得∠DAB=50°，∠ABC=40°，再代入求值即可.
17．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个简单的二阶幻圆模型，若内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ； ．
【答案】；
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得：
化简得：
由②得：9+a=18
∴a=9
把a=9代入①得：14+c=18+b
∴b-c=14-18=-4
故答案为：9；-4.
【分析】由题意列出三元一次方程组并化简，观察第二个方程就可以求出a；把a代入第一个方程就可以求出b-c的值.
18．若关于x，y的方程组
的解为
则方程组
的解为 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将
代入方程组
，得：
，
将①+a1，②+a2得：
，
又∵，
∴3x=6，2y=6，
∴x=2，y=3，
∴方程组
的解为
.
故答案为：
.
【分析】将原方程组解代入方程得
，利用等式性质变形为
，再根据
，利用等式性质，对应项相等得3x=6，2y=6，解出x和y即可.
三、综合题（本大题共6小题，共58分）
19．（6分）常德市某校购进一批甲、乙两种中考排球，已知一只甲种排球的价格与一只乙种排球的价格的和为40元，用900元购进甲种排球的件数与用1500元购进乙种排球的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种排球的价格分别是多少元？
（2）该校计划用3500元购买甲、乙两种排球，由于采购人员把甲、乙两种排球的只数互换了，结果需4500元，求该校原计划购进甲、乙两种排球各多少只？
【答案】（1）解：设甲种排球的进价为x元/只，则乙种排球的进价为（40﹣x）元/只，
依题意得： ，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴40﹣x＝40﹣15＝25．
答：甲种排球的进价为15元/只，乙种排球的进价为25元/只．
（2）解：设该校原计划购进甲种排球a只，乙种排球b只，
依题意得： ，
解得： ．
答：该校原计划购进甲种排球150只，乙种排球50只．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】⑴设甲种排球的进价为x元/只，则乙种排球的进价为（40﹣x）元/只依据题意设立方程，并解得方程，代入符合题意.
⑵设该校原计划购进甲种排球a只，乙种排球b只，按照题意建立方程将方程联立并检验是否符合题意.
20．（9分）如图，，两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地距离的倍，现该食品厂从地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗卖到地，两次运输第一次：地食品厂，第二次：食品厂地共支出公路运费元，铁路运费元．已知公路运费为元千米吨，铁路运费为元千米吨．
（1）求该食品厂到地，地的距离分别是多少千米？
（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
（3）若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润总售价总成本总运费）
【答案】（1）解：设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里，
根据题意，得：，
解得：，
答：这家食品厂到地的距离是千米，到地的距离是千米．
（2）解：设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨，
由题意得：，
解得：，
答：该食品厂买进原料吨，卖出食品吨．
（3）解：设卖出的食品每吨售价为元，
由题意得：，
解得：，
答：卖出的食品每吨售价是元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设这家食品厂到地的距离是x公里，到地的距离是y公里，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）设该食品厂买进原料m吨，卖出食品n吨，根据题意列出方程组，再求解即可；
（3）设卖出的食品每吨售价为a元，根据题意列出方程，再求解即可。
21．（9分）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为丰富学生课余生活，计划到甲超市购买一批象棋和围棋．已知购买2副象棋和3副围棋共需140元，购买4副象棋和1副围棋共需130元．
（1）求每副象棋和围棋的单价；
（2）若学校准备购买象棋和围棋共80副，总费用不超过2250元，那么最多能购买多少副围棋？
（3）若甲超市对围棋进行促销：方案一：围棋一律打九折：方案二：办理超市会员卡60元，围棋一律打七折．则学校选用哪种方案购买围棋花费少？
【答案】（1）解：设每副象棋的单价为x元，每副围棋的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每副象棋的单价为25元，每副围棋的单价为30元．
（2）设购买m副围棋，则购买副象棋，
依题意得：，
解得：．
答：最多能购买50副围棋．
（3）设学校购买围棋副，则
方案一付款：（元），
方案二付款：元，
当，则，
当，则，
当，则，
∴学校购买围棋多于10副时，选择方案二，学校购买围棋小于10副时，选择方案一，学校购买围棋为10副时，两个方案都可．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设象棋的单价为x，围棋单价为y，根据题中的数量关系列出二元一次方程，解方程即可得到答案.
(2)设购买围棋的数量为m，再根据题中的数量关系，列出一元一次不等式，解出一元一次不等式即可得到答案.
(3)分别列出方案一与方案二的等式，再列出三种情况下的方程：①方案一＜方案二；②方案一＞方案二；③方案一=方案二，解方程即可得到答案.
22．（10分）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种材质 B种材质
第一个月 3套 5套 1800元
第二个月 4套 10套 3100元
（1）求A、B两种材质的围棋每套的售价．
（2）若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求A种材质的围棋最多能采购多少套？
（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1300元的目标？请说明理由．
【答案】（1）解：设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元；
（2）解：设A种材质的围棋采购a套，则B种材质的围棋采购套，
由题意得：，
解得：，
所以a的最大值为10，
答：A种材质的围棋最多能采购10套；
（3）解：商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标；
理由：设销售利润为w，
由题意得：，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∵a的最大值为10，
∴当时，w取最大值1300，
即商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 (1) 单价数量=总价，A的销售收入+B的销售收入=总销售收入，由这些基本的逻辑关系列方程组。
(2)不多于即小于等于，提示我们列不等式。
(3)单套利润=售价-进价，总利润是所有单套的利润和；根据一次函数性质判定可以实现利润目标。
23．（12分）阅读下列材料：
解答“已知 ，试确定 的取值范围”有如下解法：
解：∵ ，∴x=y+2，又∵ ，∴ ，即
又 ，∴ .…①
同理得： .…②
由①+②得
∴ 的取值范围是 .
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于 的方程组 的解都是正数.
（1）求 的取值范围；
（2）已知 且 ，求 的取值范围；
（3）已知 （ 是大于0的常数），且 的最大值.（用 含的式子表示）
【答案】（1）解：解这个方程组的解为
由题意，得
则原不等式组的解集为a＞1
（2）解：∵a-b=4，a＞1，
∴a=b+4＞1，
∴b＞-3，
∴a+b＞-2，
又∵a+b=2b+4，b＜2，
∴a+b＜8.
故-2＜a+b＜8
（3）解：∵a-b=m，
∴a=b+m.由∵b≤1，
∴最大值为
【知识点】二元一次方程组的解；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）先求出方程组的解，用a表示出x、y，根据方程组的解都是正数，可得x＞0，y＞0，据此可得关于a的不等式组，求出解集即可；
（2） 由a-b=4，a＞1， 求出b＞-3，从而得出a+b＞-2， 由于a+b=2b+4，b＜2，得出a+b＜8，从而得出结论；
（3）先求出a=b+m，代入2a+b得2m+b，根据b≤1，即可求出其最大值.
24．（12分）某市为了美化亮化某景点，在两条笔直的景观道MN、QP上，分别放置了A、B两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动a度，B灯每秒转动b度，且满足 ，若这两条景观道的道路是平行的，即MN∥QP.
（1）求a、b的值；
（2）若B灯先转动10秒，A灯才开始转动：
当A灯转动5秒时，两灯的光束AM′和BP′到达如图①所示的位置，试问AM′和BP′是否平行？请说明理由；
（3）当B灯光束第一次达到BQ之前，两灯的光束是否能互相垂直，如果能互相垂直，那么此时A灯旋转的时间为 秒.（不要求写出解答过程）
【答案】（1）解：∵
∴ ，
解得
（2）解：AM′和BP′平行，理由如下
由题意，得∠MAM′＝5×3°＝15°，
∠PBP′＝10°+5×1°＝15°，
连结AB∵MN∥QP，
∴∠MAB＝∠PBA，
∵∠MAM′=∠PBP′
∴∠M’AB＝∠ABP′，
∴AM′∥BP′
（3）50或65或110或140
【知识点】解二元一次方程组；垂线；平行线的判定与性质
【解析】【解答】（3）t的值为50秒或65秒或110秒或140秒.
能，设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷1＝180（秒），
∴t≤180﹣10，即t≤170.
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相垂直：
①180-3t+10+t＝90，解得t＝50；
②3t﹣180+10+t＝90，解得t＝65；
③180-10-t+360-3t＝90，解得t＝110；
④180-10-t+3t-360＝90，解得t＝140；
故答案为：50秒或65秒或110秒或140秒.
【分析】（1）根据已知条件，利用幂的性质求出a，b的值。
（2）利用已知求出∠MAM′和∠PBP′的度数，连结AB，利用平行线的性质，可证得∠MAB＝∠PBA再证明∠M’AB＝∠ABP′，利用平行线的判定可证得结论。
（3）设A灯旋转时间为t秒，可求出B灯光束第一次到达BQ需要的时间，即可求出t≤170。分情况讨论，根据两灯的光束能互相垂直，分别建立关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值即可。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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