压轴题 05
圆的综合
目 录
题型一 切线的判定
题型二 圆中求线段长度
题型三 圆中的最值问题
题型四 圆中的阴影部分面积
题型五 圆中的比值（相似）问题
题型解读： 圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高．多考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点，以及数形结合、整体代入等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①切线的判定；②计算线段长及证明线段比例关系；③求三角函数值；④利用“辅助圆”求最值.右图为圆的综合问题中各题型的考查热度. 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的考查热度.
题型一 切线的判定
解题模板：
技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90°，如已有90°角，可以尝试证平行） 没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等）
【例1】1．（2023-四川攀枝花-中考真题）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切．
【答案】见详解
【分析】由等腰三角形的性质和圆周角定理得出，则，再由切线的判定即可得出结论．
【详解】证明：如图，连接，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
即，
，
是的半径，
直线与相切．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．
【变式1-1】（2023-辽宁-中考真题）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．
求证：与相切；
【分析】连接，由是的直径可得，进而可得，再根据圆周角定理可得，进而可证，，即可证明与相切；
【详解】证明：如图，连接，
是的直径，
，
平分交于点E，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定理是解题的关键．
【变式1-2】（2023-辽宁-中考真题）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．
(1)求证：EF与相切；
(2)若，求的长．
【分析】利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立；
【详解】证明：连接，
∵，∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴EF与相切；
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式1-3】（2023-湖北鄂州-中考真题）如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
【分析】连接，根据弦、弧、圆周角的关系可证，根据圆的性质得，证明，得到，根据切线的判定定理证明；
【详解】证明：连接，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∵为半径，
∴为切线；
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
题型二 圆中求线段长度
解题模板：
【例2】（2023-西藏-中考真题）如图，已知为的直径，点C为圆上一点，垂直于过点C的直线，交于点E，垂足为点D，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，根据角平分线的定义有，根据圆周角定理有，可得，进而有，进而可得，则有半径，问题得证；
（2）连接，，，利用勾股定理可得，进而有，，根据，即，进而可得，根据四边形内接于，可得，即，再在中，可得．
【详解】（1）连接，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）连接，，，如图，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，，
∵平分，
∴，即，
∵在中，，
∴，
∵四边形内接于，
∴，即，
∵在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，圆内接四边形的性质以及圆周角定理等知识，灵活运用解直角三角形，是解答本题的关键．
【变式2-1】（2023-内蒙古-中考真题）如图，是⊙的直径，为⊙上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：为⊙的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据点是的中点可得，进而证，从而得证即可；
（2）解法一：连接交于，根据及勾股定理求出，再证明，从而得到，即可求出的值；解法二：过点作于点，按照解法一步骤求出，然后证明四边形是矩形，再证明，求得，进而求出的值．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解法一：连接交于，
，，
，
，
，
在中，
，
或（不符合题意，舍去），
点是的中点，是半径，
垂直平分，
，
是的中位线，
，
是直径，
，
，
，
，
；
解法二：过点作于点，
，，
，，
，
，
，
在中，，
，
或（不符合题意，舍去），
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查切线的判定，圆的相关性质，勾股定理，平行线间线段成比例，相似三角形的的判定与性质，掌握并理解相关性质定理并能综合应用是关键．
【变式2-2】（2023-辽宁大连-中考真题）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点E．
(1)求的度数；
(2)如图2，过点A作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；
（2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可．
【详解】（1）解： 为的直径，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
设，
则，，，
为的直径，
，
在中，，
由（1）得，，
，
，，
，
，
解得或（不合题意舍去），
，
，
是的切线，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
【变式2-3】（2023-湖北恩施-中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出，的长，勾股定理求出，连接，过O作于点H，利用面积法求出，勾股定理求出，即可根据等腰三角形的性质求出的长．
【详解】（1）证明：连接，过点O作于点P，
∵与相切于点D．
∴，
∵是等腰直角三角形，，点O为的中点，
∴，
∴，即是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，，
∵点O为的中点，
∴，
∵
∴，
在中，
连接，过O作于点H，
∴，
∴
∵，
∴．
【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键．
题型三 圆中的最值问题
解题模板：
技巧精讲： 辅助圆模型
【例3】（2023-湖南长沙-三模）如图1：在中，为直径，C是上一点，.过O分别作于点H，于点D，点E、F分别在线段上运动（不含端点），且保持．
(1)______；四边形是______（填矩形/菱形/正方形）； ______；
(2)当F和D不重合时，求证：；
(3)①在图1中，是的外接圆，设面积为S，求S的最小值，并说明理由；
②如图2：若Q是线段上一动点，且，，是四边形的外接圆，则当n为何值时，的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案．
【答案】(1)2.5；矩形；3；
(2)见解析
(3)①，理由见解析；②时，有最小值．
【分析】（1）根据圆周角定理及勾股定理得出，再由直角三角形斜边中线的性质得出；利用矩形的判定得出四边形的形状，再由相似三角形的判定和性质及矩形的面积求法即可得出结果；
（2）由圆周角定理及等量代换得出，再由相似三角形的判定即可证明；
（3）①由（2）得，，确定圆经过、、、，即为的外接圆，且为直径，由（1）得出取得最小值为，利用圆的面积求解即可；②根据题意得：当，时，圆的直径有最小值，再由三角函数得出，，利用勾股定理及二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，，
∴四边形是矩形；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理得，
∴；
故答案为：；矩形；3；
（2）证明：∵，，
∴，
又为直径，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
（3）①如图，∵，，
∴圆经过、、、，即为的外接圆，且为直径
∴当最小时，圆的面积S有最小值，
当和重合、和重合时，
由（1）得，取得最小值，
也取得最小值为，
此时为最小值．
②根据题意得：当，时，
圆的直径有最小值，
此时，，，，，
∴
∴
当最小时，最小，
令，则
为关于的二次函数，当，即时，有最小值，代入得最小值为．
．
【点睛】题目主要考查圆与四边形综合问题，包括圆周角定理，矩形的判定和性质，内接三角形和四边形，解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．
【变式3-1】（2023-安徽-模拟预测）如图，半圆的直径，弦，连接．
(1)求证：；
(2)当的面积最大时，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据同圆或等圆中弧、弦、圆周角的关系可得，从而用边边边定理证明三角形全等；
（2）连接，过点作，垂足为点，通过分析当且仅当时取等号时有最大值为2，分析求解．
【详解】（1）证明：，
，
，即，
．
又．
（2）解：连接，过点作，垂足为点．
．
，
∴．
，当且仅当时取等号，
此时最大值，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，同圆或等圆中弧、弦、圆周角的关系，解题的关键是根据图形题意，准确添加辅助线．
【变式3-2】（2023-四川-中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．
(1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 ；
(2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长；
(3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）在中，，，且，，可得，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）延长交于点，如图所示，在中，求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求解．
（3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，同（1）可得，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作，于点，分别求得,然后求得，最后根据正切的定义即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，且，，
∴，，
∴，，
∴
∴
∴，
故答案为：．
（2）∵，且，，
∴，，
延长交于点，如图所示，
∵，
∴，
∴在中，，，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，
同（1）可得
则，
∵，则，
在中，，，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，
在中，
∴,，
∵，
∴，
过点作，于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
中，．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式3-3】（2023-陕西西安-模拟预测）【问题情境】
如图，在中，，，，则的外接圆的半径值为______；
【问题解决】
如图，点为正方形内一点，且，若，求的最小值；
【问题解决】
如图，正方形是一个边长为的书展区域设计图，为大门，点在边上，，点是正方形内设立的一个活动治安点，到、的张角为，即，点、为另两个固定治安点，现需在展览区域内部设置一个补水供给点，使得到、、三个治安点的距离和最小，试求的最小值．（结果精确到，参考数据，）
【答案】（）；（）；（）．
【分析】（）作出三角形的外接圆，证明是等边三角形，利用三线合一性质计算即可；
（）点在以为直径的圆上，根据圆心，，，三点一线时最小，计算即可；
（）如图，设 所在圆的圆心为点，根据（）可得 所在圆的半径，以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，当，，，，共线时，最小，构造直角三角形求解即可．
【详解】（）如图，作的外接圆，作直径，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
设与交于点，，
在直角三角形中，
∵,
∴ ，
∴，
∴，
故答案为：；
（）如图2，∵，
∴点在以为直径的圆上，设圆心为点，
则，
∴，，三点一线时最小，
在直角三角形中，
，
∵，
AP的最小值为： ；
（）如图，设所在圆的圆心为点，根据（）可得所在圆的半径为，以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，当，，，，共线时，最小，过点作，交的延长线于点，连接，则是等边三角形，过点作，垂足为，交于点，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，且，，
∴，
∴，，
∴， ，
∴，
∴最小为．
【点睛】此题考查了外接圆的直径，圆中的最值计算，计算三线段和的最小值，旋转的思想，正方形的性质，三角函数，正确构造辅助圆，准确构造费马点，灵活运用三角函数是解题的关键．
题型四 圆中的阴影部分面积
技巧精讲：
【例4】（2024-西藏拉萨-一模）如图，等腰的顶点A，C 在上， 边经过圆心0且与 交于D 点，.
(1)求证：是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）连接，由，，可得，由，可得，即可求证；
（2）在中，利用勾股定理可求得，再根据，即可求解.
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是圆O的切线．
（2）解：∵，，
∴
∵，
∴
∴
∴．
【点睛】此题主要考查切线的判定定理、直角三角形的性质、勾股定理、扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键.
【变式4-1】（2023-陕西西安-一模）如图，正六边形内接于．
(1)若P是上的动点，连接，，求的度数；
(2)已知的面积为，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系．
（）在取一点，连接，利用弦和圆周角的关系即可求出的值；
（）证明是等边三角形，利用三角函数求出，，再根据的面积为求出圆的半径，即可求出面积．
【详解】（1）如图所示，在取一点，连接 ，
∵六边形是正六边形，
∴ ，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴是等边三角形，
∴；
∴，，
∴，
∴，
即的半径为．
面积为：
【变式4-2】（2023-浙江衢州-中考真题）如图，在中，为边上一点，连结．以为半径的半圆与边相切于点，交边于点．
(1)求证：．
(2)若．
①求半圆的半径．
②求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①2；②
【分析】（1）根据切线长定理可直接得出结论；
（2）①证明，可得，根据含直角三角形的性质求出，可得，然后可得答案；
②利用勾股定理求出，然后根据列式计算即可．
【详解】（1）证明：，点在圆上，
是圆的切线，
是圆的切线，
；
（2）解：①如图，连结．
∵，
∴．
∵，，
．
．
．
，
．
∴在中，．
，
，
，
∴半圆的半径为2；
②在中，．
，
．
，
，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积计算等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式4-3】（2023-辽宁阜新-中考真题）如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据，得出．根据平分，得出，则．根据得出，进而得出，即可求证；
（3）连接，过点O作于点F，通过证明为等边三角形，得出，．求出．最后根据即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴是的切线．
（2）解：连接，过点O作于点F，
∵，
∴．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，．
∵，，，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式．
【变式4-3】（2023-山东枣庄-中考真题）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．
(1)求证：是切线；
(2)若，求的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)
【分析】（1）连接OC，证明，即可得到结论；
（2）连接AC，证明，从而可得，再代入求值即可；
（2）连接，证明，从而可得，，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连接，
∵点C是的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴半径，
∴是切线；
（2）连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及判定、切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
题型五 圆中的比值（相似）问题
技巧精讲：
【例5】（2024-陕西西安-模拟预测）如图，为的直径， 点 D为上一点， 过点 B作切线交延长线于点 C，平分，交于F．
(1)求证：；
(2)若半径为2，，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则，由切线的性质得到，则，由角平分线的定义得到，据此可证明，则；
（2）过点E作于H，由角平分线的性质得到，解得到，设，由勾股定理得，解得（负值舍去），则，根据，求出，解得到，则．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解；如图所示，过点E作于H，
∵平分，，
∴，
∵半径为2，
∴，
在中，，
设，
由勾股定理得，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，角平分线的性质，等角对等边等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式5-1】（2023-湖南湘西-二模）如图，是的直径，点，在上，平分，交于点，连接．
(1)求证：．
(2)当，且时，求线段的长．
(3)点为线段上一点，且平分，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义，与圆周角定理得，进而结合公共角便可证明；
（2）由，得出与的数量关系，再由勾股定理求得、，过作于，在中由勾股定理求得、、，进而求得，再证，由相似比求得结果；
（3）由平分，平分，得，进而求得、的长度，由求得，再由便可求得结果．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
；
（2）解：为直径，
，
，
，
设，则，
，
，解得，
，，
过点作于点，如图所示：
平分，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，解得，
，，
，
，，
，
，即，
；
（3）解：平分，平分，
，
，
，
，
，
，
，即，则，
，
，
，
，即，
．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理的应用，解直角三角形的应用，关键在于运用相似三角形解决问题．
【变式5-2】（2024-陕西西安-一模）如图，是的直径与相切于点C，与的延长线交于点D，连接，点E在线段上，过点E作的垂线交的延长线于点F，交于点G．
(1)求证：；
(2)若，点E为的中点，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，则，由切线知，而，所以，再证，所以；
（2）如图，连接，由已知得，，由是直径得，进一步结合切线的性质，证得，从而，所以，可求，进一步求得，再证，所以，进一步求得．
【详解】（1）证明：连接，如图所示，
∵，
∴，
∵与相切于点C，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，连接，
∵，
∴，，
∵点E为的中点，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆周角定理及推论、切线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性质；能够灵活运用相关定理求证等角，证明相似三角形是解题的关键．
【变式5-3】（2024-陕西西安-一模）如图，是的直径，点在直径上（与不重合），且，连接，与交于点，在上取一点，使与相切．
(1)求证：；
(2)若是的中点，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）本题连接，根据切线的性质得到，由直角三角形性质得到，根据等腰三角形性质得到，推出，再根据等腰三角形性质即可证明；
（2）连接，利用圆周角定理，证明，推出，再根据线段中点的性质，以及勾股定理求出、，将、的值代入中求解，即可解题．
【详解】（1）解：连接，
与相切，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
是的直径，
，
，
，
，
是的中点，，
，，
，
，解得．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形性质和判定、相似三角形性质和判定、圆周角定理、线段中点的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题．
一、解答题
1．（2024-云南-模拟预测）如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点作的垂线交的延长线于点，为的中点，连接，，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，
（1）由圆周角定理得出，利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出，进而得出答案；
（2）过点O作于点G，由垂径定理可得，利用，可求半径为2，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接．
是的直径，
．
．
是的中点，
．
．
，
．
，
．
，即．
是的切线；
（2）解：如图，过点O作于点G．
由垂径定理，得．
设，则，．
，
，
整理，得，即．
，
．
，即的半径为2．
．
2．（2024-湖北黄冈-模拟预测）如图，平分，与⊙O相切于点，延长交于点，过点作，垂足为．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为4，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】由切线的性质得，而平分，，所以，则点在⊙O上，即可证明是⊙O的切线．
由，，得，，由，得即可．
【详解】（1）证明：与⊙O相切于点，且是⊙O的半径，
，
平分，于点，于点，
，
点在⊙O上，
是⊙O的半径，且，
是⊙O的切线．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
的长是12．
【点睛】本题重点考查切线的性质定理、角平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，根据角平分线的性质证明是解题的关键．
3．（2024-江苏淮安-模拟预测）如图，已知直线l与相离，于点A，交于点 P，点 B 是上一点，连接并延长，交直线l于点 C，使得．
(1)判断直线与的位置关系并说明理由；
(2)求线段 的长．
【答案】(1)直线是的切线；
(2)
【分析】此题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键，
（1）连接，根据得到，由得到，由此推出，得到，即，即可推出直线是的切线；
（2）过点O作于点H，如图，则，设的半径为r，则，根据勾股定理得到，求出r，再根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）直线是的切线，理由如下：
连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴即，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）过点O作于点H，如图，则，
设的半径为r，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
∴
4．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，是的直径，点P是延长线上一点，且与相切于点A，弦于点F，过D点作于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径和的长．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为3，的长为
【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，
（1）连接，根据是半径，是的切线得，，
即，根据于F得，则，根据得，即可得；
（2）在中，设，则，，由勾股定理可得，即，解得，则，，根据于F，得，，可得，在中，，，由勾股定理得，即可得，根据平分，，得；
掌握切线的性质，等边对等角，勾股定理，角平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是半径，是的切线，
∴，
∴，
即∴，
∵于F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，设，
∴，，
由勾股定理可得：，
即，
得，
∴，，
∵于F，
∴，
，
∴，
在中，，，由勾股定理得：
，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴的半径为3，的长为．
5．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，结合圆周角定理和直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得，从而可得，然后根据切线的判定定理分析证明；
（2）结合含的直角三角形性质及勾股定理分析计算求解．
【详解】（1）证明：连接，，
∵是的直径，
∴，
∴，
在中，E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵为半径，，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，，
设，则，
由勾股定理可得：，即，
解得，
∴，
∴，
同理在中，设，则，
由勾股定理可得：，即，
解得，即．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的性质及解直角三角形等知识． 正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6．（2024-山东泰安-一模）如图，是的两条直径，过点C的的切线交的延长线于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若B是的中点，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，可得，由，可得，进而结论得证；
（2）如图，连接，则，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，设的半径为，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∴，
∵过点C的的切线交的延长线于点E，
∴，
∵O是的中点，B是的中点，
∴，
设的半径为，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴的半径为．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等边对等角，切线的性质，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，等边对等角，切线的性质，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理是解题的关键．
7．（2024-福建南平-一模）如图1，点是的边上一点．，，是的外接圆，点在上（不与点，点重合），且．
(1)求证：是直角三角形；
(2)如图2，若是⊙的直径，且，折线是由折线绕点顺时针旋转得到．
①当时，求的面积；
②求证：点，，三点共线．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，圆的基本性质，勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形的特征，三点共线判定方法等；
（1）由圆的基本性质得，从而可得，即可求证；
（2）①由圆的性质得，从而可求，有直角三角形的特征得，由勾股定理得可求出的长，由即可求解；②由旋转的性质得，，从而可求，由三角形内角和定理得，等量代换得 即可求证；
掌握相关的性质及三点共线判定方法，能证出是解题的关键．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
是直角三角形；
（2）解：①是直径，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
②折线由折线旋转得到，
，
，
，
由①得，
，
，
，
，
，
点C，D，F三点共线．
8．（2023-四川甘孜-中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据圆周角定理得到．再根据切线的性质得到．然后利用等角的余角相等得到；
（2）先证明得到，则可证明，利用正切的定义，在中有，在中有，所以，然后求出的长，从而得到的半径．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴．
∵为的切线，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
即，
∴，
∴，
∴的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
9．（2023-湖北黄石-中考真题）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，再证，则，然后证，即可得出结论；
（2）由圆周角定理得，再证，然后证，得，即可得出结论；
（3）过P作于点E，证，再证，得，则，进而得，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2，过P作于点E，
由（2）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键．
10．（2023-辽宁鞍山-中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若．
(1)求证：为的切线．
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为
【分析】（1）连接，根据同角的补角相等，得到，等角的余角相等，得到，等边对等角，得到，推出，得到，即可得证；
（2）连接，推出，利用锐角三角函数求出的长，设的半径为，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，，
∴，
∵为的直径，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
又为的半径，
∴为的切线；
（2）连接，则：，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
设的半径为，则：，
∵，
∴，
∴，即：，
∴；
∴的半径为．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
11．（2023-湖南湘西-中考真题）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，再利用两角分别相等的两个三角形相似证明，利用相似三角形的性质即可求证；
（2）先利用勾股定理求出，再利用和正弦值即可求出．
【详解】（1）连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，连接，
∵的平分线交于点B，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正弦函数、圆周角定理的推论和勾股定理等知识，学生应理解与掌握正弦的定义、两角分别相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例、圆周角定理的推论，即同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12．（2023-辽宁沈阳-中考真题）如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，则的长为______ ．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【分析】(1)利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理，对顶角相等，三角形的内角和定理和圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
(2)利用直角三角形的边角关系定理得到设, 则, 利用x的代数式表示出线段，再利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论.
【详解】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
为的直径，
是的切线；
（2）解：，，
，
设，则，
，，
，
，
是的直径，
，
，
，
解得：不合题意，舍去或．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
13．（2023-黑龙江大庆-中考真题）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)证明，见解析
(2)证明，见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据平分，则，根据，得，根据平行线的判定和性质，即可；
（2）由（1）得，，根据，，相似三角形的判定和性质，即可；
（3）根据，则，设的半径为，则，根据勾股定理求出；根据，，根据勾股定理求出，再根据，在根据勾股定理求出，根据，即可．
【详解】（1）连接
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．
（2）证明，如下：
由（1）得，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
设的半径为，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查圆，相似三角形，锐角三角形函数的知识，解题的关键圆的切线定理的运用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的运用．
14．（2023-四川雅安-中考真题）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）连接，由圆周角定理得到，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得，由等腰三角形的性质得到，根据，得到，由切线的判定即可证得与相切；
（2）由直角三角形斜边中线的性质求出，根据三角函数的定义即可求出；，
（3）设的边高为，由可得，即可得出当取最大值时，取最大值，根据进而求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切；
（2）解：由（1）知，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
又∵在中，，即：，
∴（负值以舍去），
∴；
（3）设的边高为，
由（2）可知，
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴当取最大值时，也取最大值，
又∵，
∴当取最大值时，取最大值，
此时边高为取最大值为半径，
∴，
∴
∴，
∴，
综上所述：的最大值为．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定以及直角三角形的性质，解题的关键是：（1）熟练掌握切线的判定方法；（2）通过解直角三角形斜边中线的性质证得．（3）将的最大值转化为的面积最大值．
15．（2023-辽宁营口-中考真题）如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，，根据圆周角定理证明，再根据“三线合一”证明平分，即有，进而可得，根据，可得，问题得证；
（2）先证明，，即有，在中结合勾股定理，可求出，即同理在中，可得，进而有， ，即，证明，即有，即，问题即可得解．
【详解】（1）连接，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵在中，，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴半径，
∴为的切线；
（2）∵在中，，
∴，
在（1）中，，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，解得：（负值舍去），
即同理在中，可得，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得：（经检验，符合题意），
即．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定以及三角函数，是解答本题的关键．压轴题 05
圆的综合
目 录
题型一 切线的判定
题型二 圆中求线段长度
题型三 圆中的最值问题
题型四 圆中的阴影部分面积
题型五 圆中的比值（相似）问题
题型解读： 圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高．多考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点，以及数形结合、整体代入等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①切线的判定；②计算线段长及证明线段比例关系；③求三角函数值；④利用“辅助圆”求最值.右图为圆的综合问题中各题型的考查热度. 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的考查热度.
题型一 切线的判定
解题模板：
技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90°，如已有90°角，可以尝试证平行） 没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等）
【例1】1．（2023-四川攀枝花-中考真题）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切．
【变式1-1】（2023-辽宁-中考真题）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．
求证：与相切；
【变式1-2】（2023-辽宁-中考真题）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．
(1)求证：EF与相切；
(2)若，求的长．
【变式1-3】（2023-湖北鄂州-中考真题）如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
题型二 圆中求线段长度
解题模板：
【例2】（2023-西藏-中考真题）如图，已知为的直径，点C为圆上一点，垂直于过点C的直线，交于点E，垂足为点D，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【变式2-1】（2023-内蒙古-中考真题）如图，是⊙的直径，为⊙上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：为⊙的切线；
(2)若，，求的长．
【变式2-2】（2023-辽宁大连-中考真题）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点E．
(1)求的度数；
(2)如图2，过点A作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，，求的长．
【变式2-3】（2023-湖北恩施-中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．
题型三 圆中的最值问题
解题模板：
技巧精讲： 辅助圆模型
【例3】（2023-湖南长沙-三模）如图1：在中，为直径，C是上一点，.过O分别作于点H，于点D，点E、F分别在线段上运动（不含端点），且保持．
(1)______；四边形是______（填矩形/菱形/正方形）； ______；
(2)当F和D不重合时，求证：；
(3)①在图1中，是的外接圆，设面积为S，求S的最小值，并说明理由；
②如图2：若Q是线段上一动点，且，，是四边形的外接圆，则当n为何值时，的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案．
【变式3-1】（2023-安徽-模拟预测）如图，半圆的直径，弦，连接．
(1)求证：；
(2)当的面积最大时，求的度数．
【变式3-2】（2023-四川-中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．
(1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 ；
(2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长；
(3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．
【变式3-3】（2023-陕西西安-模拟预测）【问题情境】
如图，在中，，，，则的外接圆的半径值为______；
【问题解决】
如图，点为正方形内一点，且，若，求的最小值；
【问题解决】
如图，正方形是一个边长为的书展区域设计图，为大门，点在边上，，点是正方形内设立的一个活动治安点，到、的张角为，即，点、为另两个固定治安点，现需在展览区域内部设置一个补水供给点，使得到、、三个治安点的距离和最小，试求的最小值．（结果精确到，参考数据，）
题型四 圆中的阴影部分面积
技巧精讲：
【例4】（2024-西藏拉萨-一模）如图，等腰的顶点A，C 在上， 边经过圆心0且与 交于D 点，.
(1)求证：是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积
【变式4-1】（2023-陕西西安-一模）如图，正六边形内接于．
(1)若P是上的动点，连接，，求的度数；
(2)已知的面积为，求的面积．
【变式4-2】（2023-浙江衢州-中考真题）如图，在中，为边上一点，连结．以为半径的半圆与边相切于点，交边于点．
(1)求证：．
(2)若．
①求半圆的半径．
②求图中阴影部分的面积．
【变式4-3】（2023-辽宁阜新-中考真题）如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【变式4-4】（2023-山东枣庄-中考真题）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．
(1)求证：是切线；
(2)若，求的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
题型五 圆中的比值（相似）问题
技巧精讲：
【例5】（2024-陕西西安-模拟预测）如图，为的直径， 点 D为上一点， 过点 B作切线交延长线于点 C，平分，交于F．
(1)求证：；
(2)若半径为2，，求的长度．
【变式5-1】（2023-湖南湘西-二模）如图，是的直径，点，在上，平分，交于点，连接．
(1)求证：．
(2)当，且时，求线段的长．
(3)点为线段上一点，且平分，若，，求的长．
【变式5-2】（2024-陕西西安-一模）如图，是的直径与相切于点C，与的延长线交于点D，连接，点E在线段上，过点E作的垂线交的延长线于点F，交于点G．
(1)求证：；
(2)若，点E为的中点，求的长．
【变式5-3】（2024-陕西西安-一模）如图，是的直径，点在直径上（与不重合），且，连接，与交于点，在上取一点，使与相切．
(1)求证：；
(2)若是的中点，，求的长．
一、解答题
1．（2024-云南-模拟预测）如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点作的垂线交的延长线于点，为的中点，连接，，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
2．（2024-湖北黄冈-模拟预测）如图，平分，与⊙O相切于点，延长交于点，过点作，垂足为．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为4，，求的长．
3．（2024-江苏淮安-模拟预测）如图，已知直线l与相离，于点A，交于点 P，点 B 是上一点，连接并延长，交直线l于点 C，使得．
(1)判断直线与的位置关系并说明理由；
(2)求线段 的长．
4．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，是的直径，点P是延长线上一点，且与相切于点A，弦于点F，过D点作于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径和的长．
5．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求长．
6．（2024-山东泰安-一模）如图，是的两条直径，过点C的的切线交的延长线于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若B是的中点，，求的半径．
7．（2024-福建南平-一模）如图1，点是的边上一点．，，是的外接圆，点在上（不与点，点重合），且．
(1)求证：是直角三角形；
(2)如图2，若是⊙的直径，且，折线是由折线绕点顺时针旋转得到．
①当时，求的面积；
②求证：点，，三点共线．
8．（2023-四川甘孜-中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
9．（2023-湖北黄石-中考真题）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)已知，求的值．
10．（2023-辽宁鞍山-中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若．
(1)求证：为的切线．
(2)若，，求的半径．
11．（2023-湖南湘西-中考真题）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
12．（2023-辽宁沈阳-中考真题）如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，则的长为______ ．
13．（2023-黑龙江大庆-中考真题）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
14．（2023-四川雅安-中考真题）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值．
15．（2023-辽宁营口-中考真题）如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
