2023-2024学年度下学期期中考试高一年级数学科试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知为第四象限角，则点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象上所有点都向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．或
6．线段AB的长度为6，C，D为其三等分点（C靠近A，D靠近B），若P为线段AB外一点，且满足，则（ ）
A．36 B．－36 C．－8 D．8
7．已知某摩天轮的半径为\，其中心到地面的距离为，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（ ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
8．已知定义在上的偶函数，当时，，若对任意，总有成立，对任意的，恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若的终边经过，则
B．
C．若，则为第一或第四象限角
D．若角和角的终边关于轴对称，则
10．已知函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好为奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数满足：， ，，，则（ ）
A．为奇函数 B．
C．方程有且仅有三个实根 D．在上单调递增
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，则_____________.
13.函数相邻的两个零点分别为，则_____________.
14.已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值为_____________.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
单位向量，满足.
(1)求与夹角的余弦值：
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16．（本小题满分15分）
已知．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，求的值．
17．（本小题满分15分）
已知函数，图象上两相邻对称轴之间的距离为； ；
（Ⅰ）在①的一条对称轴；②的一个对称中心；③的图象经过点这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；
（Ⅱ）若动直线与和的图象分别交于、两点，求线段长度的最大值及此时的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．（本小题满分17分）
函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)函数的图象与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值；
(3)函数，若对于任意，当时，都有成立，求实数的最大值.
19．（本小题满分17分）
已知函数
(1)求方程在上的解集；
(2)设函数，.
①证明：在区间上有且只有一个零点；
②记函数的零点为，证明：.
