第十章 概率全章综合测试卷（提高篇）
【人教A版（2019）】
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（23-24高二上·新疆·期中）下列说法正确的是
A．袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球
B．天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨
C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，一定会中奖
D．连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
2．（5分）（23-24高二下·湖北襄阳·阶段练习）已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取，则是必然事件；
②若任取，则是不可能事件；
③若任取，则是随机事件；
④若任取，则是必然事件．
其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（5分）（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知小华每次投篮投中率都是，现采用随机模拟的方法估计小华三次投篮恰有两次投中的概率.先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示投中，4，5，6，7，8，9表示未投中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数
531 297 191 925 546 388 230 113 589 663
321 412 396 021 271 932 800 478 507 965
据此估计，小华三次投篮恰有两次投中的概率为（ ）
A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.45
4．（5分）（2023高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件
B．若，为两个事件，则
C．若事件，，两两互斥，则
D．若事件，满足，则与相互对立
5．（5分）（22-23高一下·广东肇庆·期末）给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件“这个数为偶数”，事件“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是（ ）
A．若，，则至少存在一个，使事件和事件不独立
B．若，，则存在无穷多个，使事件和事件独立
C．若为奇数，则至少存在一个，使事件和事件独立
D．若为偶数，则对任意的，事件和事件独立
6．（5分）（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（23-24高三上·山东·阶段练习）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）
A．与为对立事件 B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（22-23高三下·安徽芜湖·阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法正确的有（ ）
A．与不互斥 B．与相互独立
C．与互斥 D．与相互独立
10．（5分）（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（ ）
A．学生成绩众数估计为75分
B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分
C．在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01
D．从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13
11．（5分）（23-24高三上·江苏常州·阶段练习）如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→3→4→5→6→7→8→9就是一条移动路线，（ ）
A．从1移动到9，一共有34条不同的移动路线
B．从1移动到9过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线有15条．
C．若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的概率为
D．若每次移动都是随机的，记为经过的概率，则
12．（5分）（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（ ）
A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分
C．甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 D．甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（22-23高一下·山西晋中·期末）已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为 .
14．（5分）（23-24高三下·上海·阶段练习）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面朝上”，事件B是“第二枚为正面朝上”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有
（用数字①②③作答）
①事件A与事件B；②事件A与事件C；③事件C与事件B.
15．（5分）（22-23高二下·山东烟台·期中）现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过第关.假定每次过关互不影响，则直接挑战第2关并过关的概率为 ，若直接挑战第4关，则过关的概率为 .
16．（5分）（22-23高二下·福建厦门·阶段练习）A与B二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A手中有3张两两不同的牌，B手上有4张牌，其中3张牌与A手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为：
（ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A先从B手中抽取；
（ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃；
（ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家；
假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A获胜的概率为 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（22-23高一下·全国·开学考试）记三名射手甲、乙、丙在一次射击训练中，甲击中目标、乙击中目标、丙击中目标分别为事件，，，指出下列事件的含义：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
18．（12分）（23-24高一上·全国·课时练习）如下图，从地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从地到火车站的人进行调查，调查结果如下表：
所用时间 分组/分
选择的人数 6 12 18 12 12
选择的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率．
19．（12分）（23-24高二上·宁夏·期中）某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按，，，，，，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
（2）若从打分区间在的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间的概率.
20．（12分）（22-23高一下·云南楚雄·期末）袋中装有大小完全相同的6个红球，3个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2.
(1)每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率；
(2)从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字1的球，求，并判断事件与事件是否相互独立.
21．（12分）（23-24高二上·湖北黄冈·阶段练习）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？
这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组．
(1)若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
22．（12分）（2024·安徽黄山·二模）设是给定的正整数（），现有个外表相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）．
（1）若，假设已知选中的恰为第2个袋子，求第三次取出为白球的概率；
（2）若，求第三次取出为白球的概率；
（3）对于任意的正整数，求第三次取出为白球的概率．第十章 概率全章综合测试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（23-24高二上·新疆·期中）下列说法正确的是
A．袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球
B．天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨
C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，一定会中奖
D．连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
【解题思路】根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可.
【解答过程】A选项，袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，是红球的概率是，故本项错误； B选项, 天气预报“明天降水概率”，是指明天有的概率会下雨，故本选项错误；C选项，某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，可能会中奖，故本选项错误；D选项，连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正确.
故选D.
2．（5分）（23-24高二下·湖北襄阳·阶段练习）已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取，则是必然事件；
②若任取，则是不可能事件；
③若任取，则是随机事件；
④若任取，则是必然事件．
其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】
由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.
【解答过程】因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韦恩图如图：
对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取，则是必然事件，故①正确；
对于②：任取，则是随机事件，故②不正确；
对于③：因为集合A是集合B的真子集，
集合B中存在元素不是集合A中的元素，
集合B中也存在集合A中的元素，
所以任取，则是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，
任取，则是必然事件，故④正确；
所以①③④正确，正确的命题有3个．
故选：C．
3．（5分）（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知小华每次投篮投中率都是，现采用随机模拟的方法估计小华三次投篮恰有两次投中的概率.先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示投中，4，5，6，7，8，9表示未投中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数
531 297 191 925 546 388 230 113 589 663
321 412 396 021 271 932 800 478 507 965
据此估计，小华三次投篮恰有两次投中的概率为（ ）
A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.45
【解题思路】由题意知，模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的可以通过列举得到共6组随机数，根据概率公式，得到结果．
【解答过程】由题意，20组随机数中，小华三次投篮恰有两次投中有6组，即531，191，412 ，271，
932 ，800 ，所以小华三次投篮恰有两次投中的概率为.
故选：A.
4．（5分）（2023高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件
B．若，为两个事件，则
C．若事件，，两两互斥，则
D．若事件，满足，则与相互对立
【解题思路】
根据互斥事件与对立事件的概念判断A，根据和事件的概率公式判断B，利用反例说明C、D.
【解答过程】对于A，若事件与互斥，则与不一定相互对立，
但与相互对立，则与一定互斥，故“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件，故A正确；
对于B，若，为两个事件，则，故B错误；
对于C，若事件，，两两互斥，则不一定成立，
如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记“向上的点数为1”，“向上的点数为2”，“向上的点数为3”，
事件，，两两互斥，但.故C错误；
对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，
抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是与不对立，故D错误.
故选：A.
5．（5分）（22-23高一下·广东肇庆·期末）给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件“这个数为偶数”，事件“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是（ ）
A．若，，则至少存在一个，使事件和事件不独立
B．若，，则存在无穷多个，使事件和事件独立
C．若为奇数，则至少存在一个，使事件和事件独立
D．若为偶数，则对任意的，事件和事件独立
【解题思路】
主要是用判断事件的相互独立性.
【解答过程】对于A，对于任意，，
即事件和事件独立， A不正确.
对于B，当时，满足；
当时，满足；
以此类推，当时，，，满足；
故存在无穷多个，使事件和事件独立，B正确.
对于C，当时，，
此时显然；
当时，，
此时显然；
当时，，
此时显然；
综上可知，对任意奇数，事件和事件都不独立；C不正确.
对于D，当时， D不正确.
故选：B.
6．（5分）（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，根据题意列出的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解.
【解答过程】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，
则甲最终获胜的概率为
.
故选：D.
7．（5分）（23-24高三上·山东·阶段练习）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可.
【解答过程】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物，
基本事件总数为：种
事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：
烟、糖、糖、糖：种
糖、烟、糖、糖： 种
糖、糖、烟、糖：种
包含的基本事件个数为：54，
所以，其概率为
故选：D.
8．（5分）（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）
A．与为对立事件 B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件
【解题思路】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D.
【解答过程】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下：
，共36个．
则事件包括，共6个，，
事件包括
，共18个，，
事件包括，共5个，，
事件包括，共6个，.
对于A，，所以与不为对立事件，故A错误；
对于B，事件且包括，则，又，，
所以，即与不相互独立，故B错误；
对于C，事件且包括，则，又，，
所以，即与相互独立，故C正确；
对于D，事件且包括，则，即与不为互斥事件，故D错误.
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（22-23高三下·安徽芜湖·阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法正确的有（ ）
A．与不互斥 B．与相互独立
C．与互斥 D．与相互独立
【解题思路】利用互斥事件与独立事件的定义与概率公式，对选项一一验证即可.
【解答过程】对于AB，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，
第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥，
第一次与第二次的结果互不影响，即与相互独立，故AB正确；
对于C，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，
若第一次的点数为2，第二次的点数3点，
则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即与不互斥，故C错误；
对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，其总的基本事件为件，
事件 “第一次出现2点”的基本事件有，故，
事件“两次点数之和为奇数” 的基本事件有，故，
事件“第一次出现2点，且两次点数之和为奇数” 的基本事件有，故，
所以，则与相互独立，故D正确.
故选：ABD.
10．（5分）（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（ ）
A．学生成绩众数估计为75分
B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分
C．在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01
D．从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13
【解题思路】根据频率分布直方图估计出众数，第75百分位数可判断AB；利用频率估计概率，古典概型等知识可判断CD.
【解答过程】由频率分布直方图得，成绩在的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确；
因为，所以估计第75百分位成绩为80分，故B正确；
因为成绩在内的人数为，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为，故C错误；
记从抽取的1名学生为a，从抽取的1名学生为b，从抽取的2名学生为c,d,则从这4人中抽取2人，所有的可能结果为
ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，
其中不同组的有ab，ac，ad，bc，bd，共5种，
所以这2人来自不同组的概率为，故D错误；
故选：AB.
11．（5分）（23-24高三上·江苏常州·阶段练习）如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→3→4→5→6→7→8→9就是一条移动路线，（ ）
A．从1移动到9，一共有34条不同的移动路线
B．从1移动到9过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线有15条．
C．若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的概率为
D．若每次移动都是随机的，记为经过的概率，则
【解题思路】画出树状图，结合图形及古典概型即可求解.
【解答过程】画出树状图，结合图形
则从1移动到9，一共有34条不同的移动路线，A正确；
从1移动到9过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线，
即上图倒数第三行有9的路线，有15条，B正确；
若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的路线共有10条，
则其概率为，C错误；
若每次移动都是随机的，记为经过的概率，则为最大值，，D错误.
故选：AB.
12．（5分）（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（ ）
A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分
C．甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 D．甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为
【解题思路】
若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，结合独立事件的概率公式运算判断A；举例比赛的各种得分情况判断B；由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断CD．
【解答过程】
对于选项A：若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，
所以甲队积分为9分的概率为，故A正确；
对于选项B：四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，
则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，
所以四支球队的积分总和可能为15分，故B正确；
对于选项C：每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，
则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为，故C错误；
对于选项D：甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分，
三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲，
若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分，
这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意，
在丙输的情况下，乙、丁已有3分，
那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意；
若甲全赢（概率是）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分，
这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输，
①若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率；
②若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意；
③若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是；
综上概率为，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（22-23高一下·山西晋中·期末）已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为 0.3 .
【解题思路】确定随机数组中以恰有两个数字是2，4，6，8，再由概率公式计算．
【解答过程】由题意，随机数组421，292，274，632，478，663共6个，表示恰有两次命中十环，
所以概率为．
故答案为：0.3．
14．（5分）（23-24高三下·上海·阶段练习）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面朝上”，事件B是“第二枚为正面朝上”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有 ①②③
（用数字①②③作答）
①事件A与事件B；②事件A与事件C；③事件C与事件B.
【解题思路】利用古典概型分别求得事件的概率，再利用独立事件的概率公式逐一判断即可得解.
【解答过程】依题意，，
，
对于①，，所以与是相互独立本件；
对于②，，所以与是相互独立事件；
对于③，，所以与是相互独立事件.
故答案为：①②③.
15．（5分）（22-23高二下·山东烟台·期中）现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过第关.假定每次过关互不影响，则直接挑战第2关并过关的概率为 ，若直接挑战第4关，则过关的概率为 .
【解题思路】由古典概型，独立事件的乘法公式逐一计算即可.
【解答过程】第一空，直接挑战第二关过关需两次点数之和大于，两次点数满足要求的有如下几种情况：（1，6），（2，5），（2，6），（3，4）……（6，5），（6，6），
则概率为：；
第二空，直接挑战第四关过关需四次点数之和大于，四次点数满足要求的有如下几种情况：（5，5，5，6）四种，（4，5，6，6）十二种，（5，5，6，6）六种，（3，6，6，6）四种，（4，6，6，6，）四种，（5，6，6，6）四种，（6，6，6，6）一种，合计35种，故概率为：.
故答案为：；.
16．（5分）（22-23高二下·福建厦门·阶段练习）A与B二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A手中有3张两两不同的牌，B手上有4张牌，其中3张牌与A手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为：
（ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A先从B手中抽取；
（ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃；
（ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家；
假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A获胜的概率为 ．
【解题思路】
A获胜分为3种情况，利用概率的加法公式求解即可.
【解答过程】记初始手上张牌时， 胜的概率为，
①当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为
若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在，
所以，解得,
②当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为
若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在，
所以，解得,
③当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为
若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜的概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”，此轮结束后有3张牌，包含一张“鬼牌”， 有2张牌，当再抽一次时，有2张牌，包含一张“鬼牌”， 有1张牌，
有2张牌，包含一张“鬼牌”， 有1张牌，此时胜的对立事件为当有1张牌，
有2张牌，包含一张“鬼牌”，此时胜，
则若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 胜的概率为，
所以，解得,
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（22-23高一下·全国·开学考试）记三名射手甲、乙、丙在一次射击训练中，甲击中目标、乙击中目标、丙击中目标分别为事件，，，指出下列事件的含义：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解题思路】（1）由交事件的定义求解即可.
（2）结合对立事件概率公式求解即可.
（3）结合对立事件，并事件的概率公式求解即可.
（4）由对立事件，互斥，独立事件概率公式求解即可.
【解答过程】（1）显然表示即满足甲击中目标、乙击中目标的事件，故为甲和乙都击中目标”.
（2）显然表示甲击中，丙击中，乙未击中，故为甲和丙都击中目标，乙未击中目标”.
（3）由对立事件公式得表示乙和丙都未击中目标”.
（4）由对立事件，互斥，独立事件概率公式求解得甲、乙、丙三人中至少有一人未击中目标”.
18．（12分）（23-24高一上·全国·课时练习）如下图，从地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从地到火车站的人进行调查，调查结果如下表：
所用时间 分组/分
选择的人数 6 12 18 12 12
选择的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率．
【解题思路】先依题意把所用时间落在和这两个区间段内的人数相加（包括选择的人数以及选择的人数）再除以总人数来算出频率，以此来估计概率即可.
由频率定义或者公式结合表中数据即可得解
【解答过程】（1）由题意一共调查了100人，其中共有（人）40分钟内不能赶到火车站，对应的频率为，故用频率估计相应的概率为
（2）调查人数中有60人选择路线，40人选择路线，所以由调查结果得频率如下表所示：
所用时间 分组/分
选择的人数 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
选择的人数 0 0.1 0.4 0.4 0.1
19．（12分）（23-24高二上·宁夏·期中）某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按，，，，，，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
（2）若从打分区间在的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间的概率.
【解题思路】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，由求得a，然后利用中位数公式求解.
（2）先分别得到打分区间在和打分区间在的同学的人数，然后利用古典概型的概率公式求解.
【解答过程】（1）因为频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，
所以，
解得，
所以中位数为；
（2）打分区间在的同学共有人，分别记为，
打分区间在的同学共有人，分别记为，
从这6人中随机抽出两位同学，共有以下15种情况：
，，，，；，，，；，，；，；
其中，至少有一位同学来自打分区间共有14种情况：
，，，；，，，；，，；，；
所以至少有一位同学来自打分区间的概率为.
20．（12分）（22-23高一下·云南楚雄·期末）袋中装有大小完全相同的6个红球，3个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2.
(1)每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率；
(2)从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字1的球，求，并判断事件与事件是否相互独立.
【解题思路】
（1）分部分类抽取，然后概率相加求解；
（2）分别求取概率，然后验证的关系判断事件与事件是否相互独立.
【解答过程】（1）第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3，即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率：，
第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3即抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率，
则所求的概率为.
（2）“第一次取到的是红球”的概率，
“第二次取到了标记数字1的球”即取到的是数字2,1或者1,1，,概率，
“第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1，概率.
因为成立，所以事件与事件相互独立.
21．（12分）（23-24高二上·湖北黄冈·阶段练习）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？
这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组．
(1)若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
【解题思路】（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式求获得冠军的概率；
（2）分别求出不同赛制下获得冠军的概率，研究哪种赛制下获得冠军的概率更大，即可得结论.
【解答过程】（1）获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，
获得冠军的概率为，
获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，
获得冠军的概率为.
（2）淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为，
“双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况，
当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军；
若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军；
当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军；
综上，获得冠军的概率.
令，
若为强队，则，故，
所以，双败赛制下对强者更有利.
22．（12分）（2024·安徽黄山·二模）设是给定的正整数（），现有个外表相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）．
（1）若，假设已知选中的恰为第2个袋子，求第三次取出为白球的概率；
（2）若，求第三次取出为白球的概率；
（3）对于任意的正整数，求第三次取出为白球的概率．
【解题思路】（1）时，第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，利用相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式能求出第三次取出为白球的概率．
（2）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率．
（3）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率．
【解答过程】解：（1）时，第二个袋中有2白2红，共4个球，从中连续取出三个球（每个取后不放回）．
第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，
∴第三次取出为白球的概率．
（2）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），取法数为，
（白，红，白），取法数为，
（红，白，白），取法数为，
（红，红，白），取法数为，
从而第三次取出的是白球的种数为：
，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，故所求概率为：
．
（3）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），取法数为，
（白，红，白），取法数为，
（红，白，白），取法数为，
（红，红，白），取法数为，
从而第三次取出的是白球的种数为：
，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，故所求概率为：
．
