专题10.4 古典概型大题专项训练【四大题型】
【人教A版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（23-24高一下·广西·开学考试）某环保小组共有5名成员，其中男成员有2人，现从这5人中随机选出3人去某社区进行环保宣传.
(1)求所选的3人中恰有1名男成员的概率；
(2)求所选的3人中至少有2名女成员的概率.
2．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）为了防止注册账号被他人非法登录，某系统在账号登录前，要先输入验证码．已知该系统登入设置的每个验证码均由有序数字串组成，其中，某人非法登录一个账号，任选一组验证码输入．
(1)求这个人输入的验证码恰有两位正确的概率；
(2)若这个人通过技术获得了验证码的第一位数，求这个人输入的验证码正确的概率．
3．（23-24高二上·山东济宁·期末）一个不透明的箱子中有4个红球、2个蓝球(球除颜色外，没有其它差异)．
(1)若从箱子中不放回的随机抽取两球，求两球颜色相同的概率；
(2)若从箱子中有放回的抽取两球，求两球颜色相同的概率．
4．（24-25高一上·全国·课后作业）在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．求：
(1)取到的两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．
5．（2024·浙江·模拟预测）如图，小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏她们用四种字母做成10个棋子，其中A棋1个，B棋2个，C棋3个，D棋4个，
“字母棋”的游戏规则为：
①游戏时两人各摸一个棋子进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；
②A棋胜B棋，C棋；B棋胜C棋，D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋；
③相同棋子不分胜负，
(1)若小玲先摸，问小玲摸到C棋的概率是多少？
(2)已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少？
(3)已知小玲先摸一个棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率最大？
6．（23-24高一上·江西南昌·期末）如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C（点B对应的实数小于点C对应的实数）．
(1)记事件E为：线段OB的长小于等于2，写出事件E的所有样本点；
(2)记事件F为：线段OB，BC，CA能围成一个三角形，求事件F发生的概率．
7．（23-24高二上·广东广州·期末）网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人.
(1)利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；
(2)经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁.现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率.
8．（23-24高一上·广西桂林·期末）2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动.
(1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；
(2)求选出的2名教师中至多有1名男教师的概率.
9．（22-23高一·全国·随堂练习）甲、乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷3次，游戏规则有下述3种，这3种规则是否公平？对谁更有利？为什么？
(1)若三次掷出的点数之和为奇数，则甲获胜；若三次掷出的点数之和为偶数，则乙获胜．
(2)若三次掷出的点数为一奇两偶或两奇一偶，则甲获胜；若三次掷出的点数均为奇数或均为偶数，则乙获胜．
(3)若三次掷出的点数之和为3，4，5，6，7，14，15，16，17，18其中之一，则甲获胜；否则乙获胜．
10．（23-24高一·全国·课时练习）在编号分别为i（i＝0，1，2…，）的n名同学中挑选1名参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两枚骰子，若两枚骰子的点数之和除以n所得的余数为i，则选编号为i的同学．当时，这种规则对每名参加活动的同学公平吗？请说明理由．
11．（22-23高一下·重庆·期末）小颖的爸爸只有一张《阿凡达》的电影票，她和哥哥两人都很想去观看.哥哥想了一个办法，他拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小颖，将数字为4，6，7，10的四张牌给自己，并按如下游戏规则进行：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小颖去；如果和为奇数，则哥哥去.
(1)求小颖去看电影的概率；
(2)这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由，若不公平，在小颖和哥哥所拿4张牌不变的情况下，如何修改游戏规则使其对双方公平.
12．（22-23高二上·陕西西安·阶段练习）（1）小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子.当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分.这个游戏公平吗？
（2）盒子里装有3个红球，1个白球，从中任取3个球，求“3个球中既有红球又有白球”的概率.
13．（2024·广东·一模）甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明你的理由．
14．（22-23高一下·江西吉安·期末）（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
15．（23-24高一·全国·课时练习）下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？
游戏1 游戏2 游戏3
袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球
取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球
获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜
16．（2024·天津·一模）甲、乙两人玩一种游戏：在装有质地、大小完全相同，在编号分别为1，2，3，4，5，6的6个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数则甲赢，否则乙赢．
（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．
17．（2024高三上·广东·学业考试）在一次猜灯速的活动中，共有20道灯谜，甲同学知晓其中16道灯谜的谜底，乙同学知晓其中12道灯谜的谜底，两名同学之间独立竞猜，假设猜对每道灯谜都是等可能的.
(1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率.
18．（23-24高二上·云南大理·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位、……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”．
(1)求事件发生的概率；
(2)求事件或发生的概率．
19．（2023·全国·模拟预测）截至2022年年底，女足亚洲杯已经成功举办了20届．中国女子国家足球队在参赛的15届亚洲杯中共获得9次冠军、2次亚军和3次季军，其辉煌战绩每每给国人带来拼搏奋进的力量．在某届女足亚洲杯中，将甲、乙、丙3支队伍分到，，三个小组．
(1)求甲、乙、丙三支球队分到同一小组的概率；
(2)求甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率．
20．（22-23高一下·福建龙岩·期末）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
21．（2024高二下·全国·专题练习）受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌车保修期为3年，乙品牌车保修期为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取50辆，统计出在保修期内出现故障的车辆数据如下：
品牌 甲 乙
首次出现故障 的时间x(年)
轿车数量(辆) 2 1 3 44 2 3 45
（1）从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率．（将频率视为概率）
22．（2024·四川成都·一模）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为的五个小球.小球除编号不同外，其余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为，则获得奖金元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客依次有放回的抽奖两次.
（1）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；
（2）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为元的概率.
23．（23-24高二上·山东济宁·期中）在一个盒子中有3个红球（分别用，，表示）和2个黑球（分别用，表示），这5个球除颜色外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．
(1)求第一次取到红球的概率；
(2)求两次取到的球颜色相同的概率．
24．（23-24高二上·吉林·阶段练习）袋中有7只大小形状相同颜色不全相同的小猫摆件，分别为黑猫、白猫、红猫，某同学从中任意取一只小猫摆件，得到黑猫或白猫的概率是，得到白猫或红猫的概率是，试求：
(1)某同学从中任取一只小猫摆件，得到黑猫、白猫、红猫的概率各是多少？
(2)某同学从中任取两只小猫摆件，得到的两只小猫颜色不相同的概率是多少？
25．（2024·全国·模拟预测）亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示，
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)估计这600名学生成绩的中位数；
(3)根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率．
26．（2024·陕西商洛·三模）现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组，第2组，…，第6组．如图，这是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)试评估该校高三年级男生的平均身高；
(2)求这50名男生中身高在以上（含）的人数；
(3)从这50名男生身高在以上（含）的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在（含）以上的概率．
27．（2024·全国·模拟预测）2023年11月10日，第六届中国国际进口博览会圆满闭幕，在各方的共同努力和大力支持下，本届进博会办成了一届高标准、高质量、高水平的全球经贸盛会，为世界经济复苏和全球发展繁荣做出积极贡献．本届进博会优化了志愿者服务，为展客商提供了更加准确、细致的服务．为了解参会的展客商对志愿者服务的满意度，组委会组织了所有的展客商对志愿者服务进行评分（满分100分），并从评分结果中随机抽取100份进行统计，按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)求的值，并以样本估计总体，求所有展客商对志愿者服务评分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)在这100份评分结果中按照分层抽样的方法随机抽取20份，再从其中评分在和的评分结果中随机抽取2份，求这2份评分结果均不低于90分的概率．
28．（23-24高二下·云南昭通·阶段练习）Unidentified Flying Object，简称UFO，俗称飞碟，通常被人们看作是外地文明派到地球的使者．为了调查国内网友对UFO的了解情况，资深UFO爱好者李磊，在网上发起了一项“UFO”有奖问答，共有10000名网友参加，李磊随机抽取了1000名（得分都在60～100分之间），将得分分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)李磊决定根据得分从高到低，对参与活动的的高分网友发放奖品，试估计这次有奖问答的获奖分数线；（保留一位小数）
(2)用分层随机抽样的方法从，两个分数段共抽取出4名网友，再从这4名网友中随机抽取2名依次分享UFO时间供大家交流，求第一个分享的网友得分在的概率．
29．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)现从该样本成绩在与两个分数段内的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩之差的绝对值大于20的概率.
30．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界，赤峰市教育局组织了书香校园知识大赛，全市共有名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，组委会将初赛成绩分成组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这名学生初赛成绩的平均数及中位数（同一组的数据以该组区间的中间值作为代表）；（中位数精确到0.01）
(2)组委会在成绩为的学生中用分层抽样的方法随机抽取人，然后再从抽取的人中任选取人进行调查，求选取的人中恰有人成绩在内的概率.
31．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.
求：
(1)根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务.
(2)该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率.
(3)第一组中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差.
32．（23-24高二上·四川泸州·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的第85百分位数；
(2)为进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层随机抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率．专题10.4 古典概型大题专项训练【四大题型】
【人教A版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（23-24高一下·广西·开学考试）某环保小组共有5名成员，其中男成员有2人，现从这5人中随机选出3人去某社区进行环保宣传.
(1)求所选的3人中恰有1名男成员的概率；
(2)求所选的3人中至少有2名女成员的概率.
【解题思路】（1）（2）利用古典概型公式求解.
【解答过程】（1）由题意可知该环保小组女成员有3人，记为；男成员有2人，记为.
从5名成员随机选出3人的情况有，共10种.
所选的3人中恰有1名男成员的情况有，共6种，
则所选的3人中恰有1名男成员的概率.
（2）所选的3人中至少有2名女成员的情况有，共7种，
则所选的3人中至少有2名女成员的概率.
2．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）为了防止注册账号被他人非法登录，某系统在账号登录前，要先输入验证码．已知该系统登入设置的每个验证码均由有序数字串组成，其中，某人非法登录一个账号，任选一组验证码输入．
(1)求这个人输入的验证码恰有两位正确的概率；
(2)若这个人通过技术获得了验证码的第一位数，求这个人输入的验证码正确的概率．
【解题思路】（1）利用古典概型的概率求解；
（2）利用古典概型的概率求解.
【解答过程】（1）解：由题可知，所有的验证码包括111，112，113，121，122，123，131，132，133，211，212，213，221，222，223，231，232，233，311，312，313，321，322，323，331，332，333，共27种．
不妨设正确的验证码为111，则恰有两位正确的验证码包括112，113，121，131，211，311，共6种，
故这个人输入的验证码恰有两位正确的概率为．
（2）不妨设正确的验证码为111，这个人通过技术获得的验证码的第一位数为1，
则这个人输入的验证码可能为111，112，113，121，122，123，131，132，133，共9种，
则这个人输入的验证码正确的概率为．
3．（23-24高二上·山东济宁·期末）一个不透明的箱子中有4个红球、2个蓝球(球除颜色外，没有其它差异)．
(1)若从箱子中不放回的随机抽取两球，求两球颜色相同的概率；
(2)若从箱子中有放回的抽取两球，求两球颜色相同的概率．
【解题思路】
（1）根据题意写出从箱子中随机抽取两球的样本空间，从而得到答案；
（2）分别计算“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为红球”和“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为蓝球”的概率，利用互斥事件的概率公式计算即可.
【解答过程】（1）
把4个红球标记为,，,2个蓝球标记为,
从箱子中随机抽取两球的样本空间为:
，共有15个样本点，
设事件“从箱子中随机抽取两球且颜色相同”，
则事件，包含7个样本点，
∴．
（2）
设事件 “从箱子中有放回地抽取两球且颜色相同”，
事件 “从箱子中有放回地抽取两球且两球都为红球”，
事件 “从箱子中有放回地抽取两球且两球都为蓝球”，
则，且与互斥．
所以，，
则．
4．（24-25高一上·全国·课后作业）在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．求：
(1)取到的两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．
【解题思路】
（1）（2）（3）根据题意列出试验的样本空间，利用古典概率模型概率计算公式进行计算即可.
【解答过程】（1）由前面的分析可知试验的样本空间，
共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率．
设事件A表示“取到的两个球都是白球”，则，
共含有6个样本点，所以，即取到的两个球都是白球的概率为；
（2）设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则，
共含有8个样本点，所以，即取到的两个球颜色相同的概率为；
（3）设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”，
则，
共含有18个样本点，所以，即取到的两个球至少有一个是白球的概率为.
5．（2024·浙江·模拟预测）如图，小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏她们用四种字母做成10个棋子，其中A棋1个，B棋2个，C棋3个，D棋4个，
“字母棋”的游戏规则为：
①游戏时两人各摸一个棋子进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；
②A棋胜B棋，C棋；B棋胜C棋，D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋；
③相同棋子不分胜负，
(1)若小玲先摸，问小玲摸到C棋的概率是多少？
(2)已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少？
(3)已知小玲先摸一个棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率最大？
【解题思路】
（1）（2）利用古典概型的概率公式即可得解；
（3）分别分析小玲摸到不同棋子胜小军的概率，从而得解.
【解答过程】（1）依题意，一共有10个棋子，其中C棋3个，
所以小玲摸到棋的概率等于；
（2）因为C棋胜D棋，D棋4个，
所以小玲在这一轮中胜小军的概率是；
（3）若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；
若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；
若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；
若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；
由此可见，小玲希望摸到棋，小玲胜小军的概率最大.
6．（23-24高一上·江西南昌·期末）如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C（点B对应的实数小于点C对应的实数）．
(1)记事件E为：线段OB的长小于等于2，写出事件E的所有样本点；
(2)记事件F为：线段OB，BC，CA能围成一个三角形，求事件F发生的概率．
【解题思路】（1）分别令或，一一列举，写出事件的所有样本点；
（2）按古典概型的概率计算公式进行计算.
【解答过程】（1）事件E的样本点有：．
（2）样本空间为：，
其中事件F包含的样本点只有：，
所以事件F发生的概率．
7．（23-24高二上·广东广州·期末）网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人.
(1)利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；
(2)经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁.现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率.
【解题思路】（1）用容斥原理求出样本中移动支付和共享单车两种都没使用的人数，从而利用频率估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；
（2）利用列举法结合古典概型概率公式计算概率即可.
【解答过程】（1）样本中使用过移动支付的人组成集合，使用共享单车的人组成集合，
表示集合中的元素，由题意，，，
所以，
所以样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为，
从而估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为；
（2）由（1）知样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生有人，记为A，B，C，D，E，
其中有3人坐过高铁的学生记为A，B，C.
则从5人中抽取2人的所有抽取情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种，
其中2名学生都坐过高铁的有AB，AC，BC，共3种，故所求概率为.
所以这2名学生都坐过高铁的概率为.
8．（23-24高一上·广西桂林·期末）2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动.
(1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；
(2)求选出的2名教师中至多有1名男教师的概率.
【解题思路】（1）写出所有可能发生的情况即可；
（2）写出所有满足题意的情况数，根据古典概型即可计算概率.
【解答过程】（1）将2位男教师记为，3位女教师记为，
则样本空间，共10个样本点.
（2）设事件表示“选出的2名教师中至多有1名男教师”,
则，
中包含9个样本点,所以.
9．（22-23高一·全国·随堂练习）甲、乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷3次，游戏规则有下述3种，这3种规则是否公平？对谁更有利？为什么？
(1)若三次掷出的点数之和为奇数，则甲获胜；若三次掷出的点数之和为偶数，则乙获胜．
(2)若三次掷出的点数为一奇两偶或两奇一偶，则甲获胜；若三次掷出的点数均为奇数或均为偶数，则乙获胜．
(3)若三次掷出的点数之和为3，4，5，6，7，14，15，16，17，18其中之一，则甲获胜；否则乙获胜．
【解题思路】
（1）求出概率，根据概率的意义判断；
（2）求出概率，根据概率的意义判断；
（3）求出概率，根据概率的意义判断．
【解答过程】（1）把一枚均匀的骰子连续抛掷3次，基本事件的总数是，而中有3个奇数3个偶数，
事件“三次掷出的点数之和为奇数”，即三个奇数或一奇两偶，含有基本事件的个数是，概率，
事件“三次掷出的点数之和为偶数”，即三个偶数或一偶两奇，含有基本事件的个数是，概率，
，该规则公平；
（2）事件“三次掷出的点数为一奇两偶或两奇一偶”，含有的基本事件个数为，概率为，
事件“三次掷出的点数均为奇数或均为偶数”含有的基本事件个数为，概率为，
，该规则不公平，对甲更有利；
（3）和为3只有，和为4只有，和为5有113和122两种情形，和为6有114，123，222三种情形，和为7有115，124，133，223四种情形，由对称性，和为18，17，16，15，14含有的基本事件个数分别与和为3，4，5，6，7相同，
因此事件“三次掷出的点数之和为3，4，5，6，7，14，15，16，17，18其中之一”含有的基本事件个数是，概率为，显然，因此该规则不公平，对乙更有利．
10．（23-24高一·全国·课时练习）在编号分别为i（i＝0，1，2…，）的n名同学中挑选1名参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两枚骰子，若两枚骰子的点数之和除以n所得的余数为i，则选编号为i的同学．当时，这种规则对每名参加活动的同学公平吗？请说明理由．
【解题思路】用列举法列举出抛掷两枚骰子的所有可能的情况，从而求出两枚骰子的点数之和除以6所得的余数的情况及概率，得到相应的结论.
【解答过程】当时，设事件表示“所得的余数为i，i＝0，1，2，3，4，5”．
由题意知抛掷两枚骰子的所有可能的情况如下表．
（1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
（2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
（3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
（4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
两枚骰子的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．
设事件表示“两枚骰子的点数之和为j，j＝2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12”，则，，，，，，，，，，．
所以，
，
，
，
，
，
所以当时，这种规则对每名参加活动的同学都是公平的．
11．（22-23高一下·重庆·期末）小颖的爸爸只有一张《阿凡达》的电影票，她和哥哥两人都很想去观看.哥哥想了一个办法，他拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小颖，将数字为4，6，7，10的四张牌给自己，并按如下游戏规则进行：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小颖去；如果和为奇数，则哥哥去.
(1)求小颖去看电影的概率；
(2)这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由，若不公平，在小颖和哥哥所拿4张牌不变的情况下，如何修改游戏规则使其对双方公平.
【解题思路】（1）利用树状图展示所有的结果数，再找出两数和为偶数的结果数，利用古典概型概率公式直接计算即可；
（2）根据两人看电影的概率大小判断是否游戏规则公平，然后根据数字和是不是3的倍数修改规则，使得两人看电影概率一样即可.
【解答过程】（1）由题意画树状图:
两张牌的数字之和所对应16种结果分别为6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19，
其中和为偶数的结果有6,8,12,10,12,16共6种，所以小颖去看电影的概率为；
（2）哥哥设计的游戏规则不公平，因为小颖去看电影的概率为，
哥哥去看电影的概率为，，此规则对哥哥更有利；
因为在所拿的牌不变的情况下，两张牌的数字之和所对应16种结果分别为6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19，其中和为3的倍数的结果有8个，
故可修改规则为：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，
如果和为3的倍数，则小颖去；如果和不是3的倍数，则哥哥去.
12．（22-23高二上·陕西西安·阶段练习）（1）小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子.当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分.这个游戏公平吗？
（2）盒子里装有3个红球，1个白球，从中任取3个球，求“3个球中既有红球又有白球”的概率.
【解题思路】（1）通过列表得出所有情况，在对比两者的概率即可判段；
（2）通过树状图得出全部情况，在得出3个球中既有红球又有白球的情况即可得出概率.
【解答过程】（1）用列表的方法得：
一共36种情况，和为奇数的共18种，则小刚得一分的概率为，小明得一分的概率为，两者概率相同，所以公平；
（2）用画树状图的方法得：
一共24种情况，又有红又有白为一白二红共有18种，则概率为.
13．（2024·广东·一模）甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明你的理由．
【解题思路】（1）根据抽取的方法写出样本空间.
（2）根据古典概型的概率问题计算公式，计算出所求答案.
（3）根据甲、乙的胜率进行说明.
【解答过程】（1）用a表示方片4，2，3，4分别表示红桃2、红桃3、红桃4，
则甲、乙两人抽到的牌的样本空间为：
．
（2）甲抽到3，乙抽到的只能是2，4，a，所以乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为．
（3）甲抽到的牌的牌面数字比乙大的样本点有，
所以甲胜的概率为，乙胜的概率为，故游戏不公平．
14．（22-23高一下·江西吉安·期末）（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
【解题思路】利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可，若概率相同，则游戏公平，否则不公平
【解答过程】（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，所有情况有：{（正正），（正反），（反正），（反反）}．
记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，则，
这个游戏公平的．
（2）拋掷三枚质地均匀的硬币，所以有情况有：{（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）}．
记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，
则，．这个游戏不公平．
15．（23-24高一·全国·课时练习）下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？
游戏1 游戏2 游戏3
袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球
取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球
获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜
【解题思路】利用古典概型的概率公式分别计算三个游戏中甲获胜的概率，根据甲乙对应的概率是否相等判断游戏的公平性.
【解答过程】解：游戏1中，甲获胜的概率为；
游戏2中，甲获胜的视率为；
游戏3中，甲获胜的概率为，
所以游戏1和游戏3是公平的.
16．（2024·天津·一模）甲、乙两人玩一种游戏：在装有质地、大小完全相同，在编号分别为1，2，3，4，5，6的6个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数则甲赢，否则乙赢．
（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．
【解题思路】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有种等可能的结果，满足条件的事件可以通过列举法得到，根据古典概型的概率公式得到结果；
（2）要判断这种游戏是否公平，只要做出甲胜和乙胜的概率，先根据古典概型做出甲胜的概率，再由1减去甲胜的概率，得到乙胜的概率，得到两个人胜的概率相等，得到结论．
【解答过程】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有（个等可能的结果，
设“两个编号和为8”为事件，
∴事件包含的基本事件为，，，，共5个，
∴根据古典概型概率公式得到
（2）这种游戏规则是公平的．
设甲胜为事件，乙胜为事件，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有18个：，，，，，，，，，，，，，，，，，
甲胜的概率，乙胜的概率，
这种游戏规则是公平的．
17．（2024高三上·广东·学业考试）在一次猜灯速的活动中，共有20道灯谜，甲同学知晓其中16道灯谜的谜底，乙同学知晓其中12道灯谜的谜底，两名同学之间独立竞猜，假设猜对每道灯谜都是等可能的.
(1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率.
【解题思路】
（1）根据古典概型的知识求得正确答案.
（2）利用对立事件的知识求得正确答案.
【解答过程】（1）甲猜对的概率为，乙猜对的概率为.
（2）甲乙都没有猜对的概率为，
所以甲和乙至少一人猜对的概率为.
18．（23-24高二上·云南大理·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位、……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”．
(1)求事件发生的概率；
(2)求事件或发生的概率．
【解题思路】（1）所有组成的三位数的个数是，只需个位数是5的数的个数即可得解.
（2）由题意先求得，，再根据和事件的概率公式结合（1）中结论即可得解.
【解答过程】（1）只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，三位数的个数是，
要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可，
而这些数中个位数是5的数的个数为，
所以事件发生的概率.
（2）由题意要使得组成的三位数能被3整除，则只能同时出现3个1或者同时出现3个5，即111和555共两个数，
即组成的三位数能被3整除的数的个数为2个，
所以，
又555既能被3整除，又能被5整除，即，
所以事件或发生的概率为.
19．（2023·全国·模拟预测）截至2022年年底，女足亚洲杯已经成功举办了20届．中国女子国家足球队在参赛的15届亚洲杯中共获得9次冠军、2次亚军和3次季军，其辉煌战绩每每给国人带来拼搏奋进的力量．在某届女足亚洲杯中，将甲、乙、丙3支队伍分到，，三个小组．
(1)求甲、乙、丙三支球队分到同一小组的概率；
(2)求甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率．
【解题思路】（1）古典概型求事件概率，将所有基本事件均列出，然后将符合题意的基本事件列出，即可求符合题意的事件的概率；
（2）可以直接求符合题意的事件的概率，也可以先求互斥事件的概率，间接求符合题意的事件概率.
【解答过程】（1）当甲球队分到A组时，乙、丙两支球队分到的小组有，，，，，，，，共9种情况．
同理，当甲球队分到B组或C组时，乙、丙两支球队分到的小组也分别有9种情况，
故甲、乙、丙三支球队的分组情况共有（种）．
又因为甲、乙、丙三支球队分到同一小组有，，和共3种情况，
所以甲、乙、丙三支球队分到同一小组的概率为．
（2）方法一 当甲、乙两支球队都分到A组而丙球队分到B组或C组时有2种情况．
同理，当甲、乙两支球队都分到B组或C组而丙球队不与它们一组时也分别有2种情况．
故甲、乙两支球队同组，而丙球队不与它们一组的概率为．
同理，甲、丙两支球队同组，而乙球队不与它们一组的概率也为，
乙、丙两支球队同组，而甲球队不与它们一组的概率也为．
又因为上述三种情况互斥，所以甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率为．
方法二 甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的对立事件是甲、乙、丙三支球队都分到不同小组和甲、乙、丙三支球队都分到同一小组．
甲、乙、丙三支球队都分到不同小组的情况有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6种，
所以甲、乙、丙三支球队都分到不同小组的概率为．
所以甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率为．
20．（22-23高一下·福建龙岩·期末）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
【解题思路】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，根据为两两互斥事件， 由求解.
（2）（i）根据红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，列举出来；（ii）由（i）利用古典概型的概率求解.
【解答过程】（1）解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，
因为为两两互斥事件，
由已知得，
解得.
∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；
（2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间
.
（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以
所以
因为，所以此游戏不公平.
21．（2024高二下·全国·专题练习）受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌车保修期为3年，乙品牌车保修期为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取50辆，统计出在保修期内出现故障的车辆数据如下：
品牌 甲 乙
首次出现故障 的时间x(年)
轿车数量(辆) 2 1 3 44 2 3 45
（1）从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率．（将频率视为概率）
【解题思路】（1）设A，B，C分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第1年，第2年和第3年之内，设D表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内，分别计算出，相加即可得结果；（2）乙品牌轿车首次出现故障未发生在保修期内的概率为，利用对立事件的概率计算公式可得结果.
【解答过程】（1）设A，B，C分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第1年，第2年和第3年之内，
设D表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内，
因为A，B，C是互斥的，其概率分别为，，，
所以，
即首次出现故障发生在保修期内的概率为．
（2）乙品牌轿车首次出现故障未发生在保修期内的概率为，
故首次出现故障发生在保修期内的概率为．
22．（2024·四川成都·一模）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为的五个小球.小球除编号不同外，其余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为，则获得奖金元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客依次有放回的抽奖两次.
（1）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；
（2）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为元的概率.
【解题思路】（1）用列举法得到所有的基本事件数，然后根据古典概型概率公式可得事件发生的概率；（2）根据互斥事件的概率加法公式求解可得结果．
【解答过程】（1）由题意得，该顾客有放回的抽奖两次的所有可能结果为：
共有25种情况．
设“该顾客两次抽奖后都没有中奖”为事件A，则事件A包含的结果为，共4种，
所以．
即该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率为．
（2）两次抽奖奖金之和为100元包括三种情况：
①第一次奖金为100元，第二次没有获奖，其包含的情况为，概率为；
②第一次没中奖，第二次奖金为100元，其包含的情况为，概率为；
③两次各获奖金50元，包含的情况有，概率为．
由互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为，
即该顾客两次抽奖后获得奖金之和为元的概率为．
23．（23-24高二上·山东济宁·期中）在一个盒子中有3个红球（分别用，，表示）和2个黑球（分别用，表示），这5个球除颜色外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．
(1)求第一次取到红球的概率；
(2)求两次取到的球颜色相同的概率．
【解题思路】（1）根据古典概型求解即可；
（2）根据互斥事件的概率加法公式求解.
【解答过程】（1）两次取球的基本事件为，，共20个，
所以第一次取到红球的概率.
（2）两次取到的球颜色相同，分全取红球与全取黑球两个互斥事件，
由（1）可知两次取到红球的概率，
两次取到黑球的概率，
所以两次取到的球颜色相同的概率.
24．（23-24高二上·吉林·阶段练习）袋中有7只大小形状相同颜色不全相同的小猫摆件，分别为黑猫、白猫、红猫，某同学从中任意取一只小猫摆件，得到黑猫或白猫的概率是，得到白猫或红猫的概率是，试求：
(1)某同学从中任取一只小猫摆件，得到黑猫、白猫、红猫的概率各是多少？
(2)某同学从中任取两只小猫摆件，得到的两只小猫颜色不相同的概率是多少？
【解题思路】（1）从中任取一只小猫摆件，分别记得到黑猫、白猫、红猫为事件，由已知列出的方程组即可得解；
（2）求出从只小猫摆件中取出两只小猫摆件的基本事件总数，再求出两只小猫颜色相同的基本事件总数，从而利用古典概型与对立事件的概率公式即可得解.
【解答过程】（1）从中任取一只小猫摆件，分别记得到黑猫、白猫、红猫为事件，
由于为互斥事件，
所以由题意得，，解得，
所以任取一只小猫摆件，得到黑猫、白猫、红猫的概率分别是，，.
（2）由（1）知黑猫、白猫、红猫摆件的个数别为，
记黑猫摆件为，白猫摆件为，红猫摆件为，
则从只小猫摆件中取出两只小猫摆件的基本事件有：，
，，，，共有件，
其中两只摆件是黑猫的基本事件有：，共3件，
两只白猫的基本事件有：，共1件，两只红猫的基本事件有：，共1件，
于是两只小猫摆件同色的概率为，
则两只小猫摆件颜色不相同的概率是.
25．（2024·全国·模拟预测）亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示，
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)估计这600名学生成绩的中位数；
(3)根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率．
【解题思路】（1）根据各矩形面积之和为1，列式计算，即可求得a的值；
（2）根据频率分布直方图，结合中位数的求解方法，即可求得答案；
（3）求出内的人数之比，根据分层抽样可求得两组各抽取的人数，列举出从这5人中任意选取2人的所有可能情况，再列举出这2人中至少有1人成绩不低于90分的情况，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【解答过程】（1）由频率分布直方图，得，
解得；
（2）由频率分布直方图，得，
，
则估计这600名学生成绩的中位数为80；
（3）由题意得，成绩在的频率为，
成绩在的频率为，频率之比为，
所以按分层抽样的方法从中选取5人，成绩在的学生有2人，分别记为，
成绩在的学生有3人，分别记为，
从这5人中任意选取2人，有，共10种选法，
其中至少有1人成绩不低于90分的选法有，，共9种，
所以这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率.
26．（2024·陕西商洛·三模）现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组，第2组，…，第6组．如图，这是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)试评估该校高三年级男生的平均身高；
(2)求这50名男生中身高在以上（含）的人数；
(3)从这50名男生身高在以上（含）的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在（含）以上的概率．
【解题思路】（1）取各小组两端点的中间值为该组男生的身高，由频率分布直方图中平均数的计算公式计算即得；
（2）由频率分布直方图，求得身高在以上的男生所占的频率，结合样本总数计算即得；
（3）先计算出50人中以上和以上的人数，再用字母表示，列出试验表示的样本空间中的所有基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式计算即得.
【解答过程】（1）由频率分布直方图，可得该校高三年级男生的平均身高为：.
（2）由频率分布直方图知，身高在以上的男生分布在后2组，其频率为，则人数为，
即这50名男生身高在以上（含）的人数为6．
（3）由（2）知，在所抽样本50人中以上的有6人，以上的有2人．设这6人分别为其中表示以上的2人.
任取2人的取法为 共15种，
恰有1人在180以上的取法为 共8种，
故所求概率为：.
27．（2024·全国·模拟预测）2023年11月10日，第六届中国国际进口博览会圆满闭幕，在各方的共同努力和大力支持下，本届进博会办成了一届高标准、高质量、高水平的全球经贸盛会，为世界经济复苏和全球发展繁荣做出积极贡献．本届进博会优化了志愿者服务，为展客商提供了更加准确、细致的服务．为了解参会的展客商对志愿者服务的满意度，组委会组织了所有的展客商对志愿者服务进行评分（满分100分），并从评分结果中随机抽取100份进行统计，按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)求的值，并以样本估计总体，求所有展客商对志愿者服务评分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)在这100份评分结果中按照分层抽样的方法随机抽取20份，再从其中评分在和的评分结果中随机抽取2份，求这2份评分结果均不低于90分的概率．
【解题思路】（1）利用频率和等于即可求出的值；根据频率分布直方图得出各组的频率，再计算各组中间值乘以频率的和即可解答.
（2）先根据分层抽样的特点得出评分在和的数量并进行编号；再根据古典概型的概率公式即可求解.
【解答过程】（1）由频率分布直方图可得：
，
即评分在的频率为0.2，
故，
故各组频率依次为：，，，，。
所以平均值为．
（2）由题可知：抽取的20份评分结果中，评分在的份数为，分别记为，
评分在的份数为，分别记为.
则从这8份评分结果中任取2份，不同取法有：
，
，共28种，
记“这2份评分结果均不低于90分”为事件，
则事件包含的基本事件有：
，，共15种，
故所求概率．
28．（23-24高二下·云南昭通·阶段练习）Unidentified Flying Object，简称UFO，俗称飞碟，通常被人们看作是外地文明派到地球的使者．为了调查国内网友对UFO的了解情况，资深UFO爱好者李磊，在网上发起了一项“UFO”有奖问答，共有10000名网友参加，李磊随机抽取了1000名（得分都在60～100分之间），将得分分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)李磊决定根据得分从高到低，对参与活动的的高分网友发放奖品，试估计这次有奖问答的获奖分数线；（保留一位小数）
(2)用分层随机抽样的方法从，两个分数段共抽取出4名网友，再从这4名网友中随机抽取2名依次分享UFO时间供大家交流，求第一个分享的网友得分在的概率．
【解题思路】（1）根据给定的频率分布直方图，利用面积法列式计算即得.
（2）求出两段抽取的人数，再利用列举法求出古典概率.
【解答过程】（1）分数在的频率为0.3，依题意，有奖问答的获奖分数线，
则，解得，
所以这次有奖问答的获奖分数线约为.
（2）分数在的频率分别为，因此抽取的4人中，分数在内的抽1人，记为，
分数在内的抽3人，依次记为，
抽取2人依次分享的试验样本空间，共12个结果，
第一个分享的得分在的事件，共9个结果，
所以第一个分享的网友得分在的概率.
29．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)现从该样本成绩在与两个分数段内的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩之差的绝对值大于20的概率.
【解题思路】（1）利用频率分布直方图每组小矩形的面积之和为1列式求解即可；
（2）利用频率分布直方图结合第75百分位数的计算公式求解即可；
（3）根据分层抽样的概念和古典概型的概率计算公式求解即可.
【解答过程】（1）因为频率分布直方图每组小矩形的面积之和为1，
所以，
解得.
（2）成绩落在内的频率为,
落在内的频率为,
设第75百分位数为，由，解得，
故第75百分位数为84.
（3）由图可知成绩在与的频率比为，
根据分层抽样在内选取2人,记为,
在内选取4人,记为，
从这6人中选取2人的所有选取方法:
,共15种，
其中2人成绩之差的绝对值大于20的选取方法:
共8种.
所以从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩之差的绝对值大于20的概率为.
30．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界，赤峰市教育局组织了书香校园知识大赛，全市共有名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，组委会将初赛成绩分成组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这名学生初赛成绩的平均数及中位数（同一组的数据以该组区间的中间值作为代表）；（中位数精确到0.01）
(2)组委会在成绩为的学生中用分层抽样的方法随机抽取人，然后再从抽取的人中任选取人进行调查，求选取的人中恰有人成绩在内的概率.
【解题思路】（1）利用频率分布直方图，根据平均数和中位数的计算方法即可求得答案；
（2）确定成绩为的学生中成绩在和内的人数比例，即可确定抽查的5人中各组抽的人数，列举出抽取的人中任选取人的所有可能情况，再列出选取的人中恰有人成绩在内的情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【解答过程】（1） ，
设中位数为，因为前组的频率之和为，
而前2组的频率之和为，所以，
由，
解得：，
故可估计这500名学生初赛成绩的中位数约为；
（2）根据分层抽样，由频率分布直方图知成绩在和内的人数比例为，
所以抽取的5人中，成绩在内的有人，记为，；
成绩在内的有人，记为，，，
从5人中任意选取2人，有，，，，，，，，，，共10种可能；
其中选取的2人中恰有1人成绩在区间内的有，，，，，，共6种可能；
故所求的概率为．
31．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.
求：
(1)根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务.
(2)该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率.
(3)第一组中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差.
【解题思路】（1）根据频率之和为1求得所求区间的频率，由题意求得的推销员不能完成月销售额目标得销售额即可求解；
（2）利用举所有的基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式求解；
（3）将数据代入平均数公式和总体方差公式求解即可.
【解答过程】（1）月销售额在小组内的频率为，
若要使的推销员完成月销售额目标，则意味着的推销员不能完成月销售额目标，
根据题图所示的频率分布直方图知，和两组的频率之和为，
和及三组的频率之和为，
故估计月销售目标应定为万元；
（2）第一组3人记为，第七组2人，
则选取2位推销员有
共10种情形，
“选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组”记为事件M，
则事件M包含有共6种情形，
所以；
（3）第一组3人，第七组2人，
则这两组中所有推销员的销售金额的平均数为，
方差.
32．（23-24高二上·四川泸州·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的第85百分位数；
(2)为进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层随机抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率．
【解题思路】（1）首先根据频率和为1，求的值，再确定第85百分位数所在的组数，代入百分位数公式，即可求解；
（2）首先确定3组所抽取的人数，再通过列举样本点的方法，代入古典概型概率公式，即可求解.
【解答过程】（1）由题意可知，，得，
前3组的频率和为，前4组的频率和为，
所以第85百分位数在第4组，设为，
则，解得：，
所以这100位年轻人每天阅读时间的第85百分位数为85；
（2）由于，和的频率之比为，
故抽取的5人中，和分别为1人，2人，2人，
记的1人为，的2人为，的2人为，
故随机抽取2人的所有样本点为，
，共包含10个样本点，
其中至少有1人每天阅读时间位于的样本点为，
，共包含7个样本点，
故至少有1人每天阅读时间位于概率.
