2023-2024学年福建省厦门市同安一中高一（下）第一次月考数学试卷
1.复数，其中i为虚数单位，则( )
A. B. 2 C. D. 5
2.向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.中，，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于30km，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A. 30km
B.
C.
D.
6.已知所在平面内一点D满足，则的面积是的面积的( )
A. 5倍 B. 4倍 C. 3倍 D. 2倍
7.如图，在等腰直角中，斜边，M为AB的中点，D为AC的中点．将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则( )
A.
B.
C.
D.
8.在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为，点O满足，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
9.复数，i是虚数单位，则以下结论正确的是( )
A. B.
C. z的虚部为2 D. z在复平面内对应的点位于第一象限
10.已知向量，满足且，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的外接圆的面积为
B. 若，且有两解，则b的取值范围为
C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D. 若，且，O为的内心，则的面积为
12.已知复数是纯虚数，则实数______.
13.已知的夹角为，则三角形ABC的BC边上中线的长为______.
14.已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，若，则的取值范围是______.
15.如图，在平面四边形ABCD中，，，，
求线段AC的长度；
求的值.
16.已知平面向量是单位向量，且
求向量的夹角；
若，向量与向量共线，且，求向量
17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为
求A；
求周长的最大值.
18.在梯形ABCD中，，，，，P，Q分别为直线BC，CD上的动点.
当P，Q为线段BC，CD上的中点，试用和来表示；
若，求；
若为的重心，若D，G，B在同一条直线上，求的最大值.
19.如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知且，
求边b的长度；
求的面积；
点G为AD上一点，，过点G的直线与边AB，不含端点分别交于E，若，求的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，
则
故选：
结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由于向量，，且，则，解得
故选：
直接利用向量垂直的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为，
所以，
故
故选：
根据已知条件，结合平面向量的线性运算，即可求解．
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：向量，，
则，，
故在上的投影向量为：
故选：
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得，，，
由余弦定理得
，，
即灯塔A与灯塔B的距离为
故选：
先根据题意求得，进而根据余弦定理求得
本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：设AB的中点为M，
因为，
所以，
即，
所以，
即点D是线段CM的五等分点，
所以，
所以的面积是的面积的5倍．
故选：
利用平面向量的线性运算计算即可．
本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平面向量的线性运算及数量积计算，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
根据已知条件把所求问题转化为，再结合已知数据即可求解．
【解答】
解：连接MD，
等腰直角中，斜边，M为AB的中点，D为AC的中点，
，，
又由D为AC中点，则，
故选
8.【答案】A
【解析】解：因为，
由余弦定理得，
又因为是斜三角形，所以，所以，
由正弦定理得，因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
因为，
化简得，解得或舍去，
所以，
设BC边的中点为D，则，
因为，所以，
即O为AD的中点，所以：
故选：
通过正余弦定理转化得，对变形得，两边同时平方得，解出，再利用三角形面积公式和向量中线公式即可得到答案．
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查向量法在解三角形中的应用，考查三角形面积公式，属中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：因为，则，故A正确；
，故B错误；
的虚部为2，故C正确；
z在复平面内对应的点在第一象限，故D正确．
故选：
根据复数的几何意义及模长公式，逐一检验选项即可．
本题考查了复数的运算性质以及复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：因为，且，所以，
所以，所以，选项D正确；
因为，所以，故A正确；
因为，所以，故B错误；
因为，所以，故C错误．
故选：
由已知结合向量数量积的性质对各选项进行检验即可．
本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：因为，所以由正弦定理，得，
即，
因为，所以，且，所以
选项A：若，则，所以的外接圆的直径，所以，
所以的外接圆的面积为，选项A正确，
选项B：有两解，则，则，解得，错误，
选项C：由正弦定理，得，即，
因为为锐角三角形，所以，所以，
所以，故选项C正确，
选项D：，，，可得，由正弦定理可得，
由，可得：，
由，可得：，解得：，故，，
可得，
由正弦定理，可得：，，则，
，
设的内切圆半径为r，则，
，故D正确．
故选：
根据条件，求出
选项A：根据条件求角A，根据正弦定理求外接圆的半径，从而求外接圆的面积，
选项B：三角形有两解时，由此求出b的取值范围．
选项C：根据正弦定理把边c表示为，利用为锐角三角形求角A的范围，从而求边c的范围．
选项D：通过两角和与差的三角函数，正弦定理以及余弦定理，转化求解的面积判断D即可．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
12.【答案】1
【解析】解：复数是纯虚数，
，解得
故答案为：
由复数是纯虚数可得关于m的关系式，求解即可．
本题考查复数的概念，还考查了简单计算，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设D为BC的中点，
则，
所以，
所以，
所以
故答案为：
设D为BC的中点，则，再由向量数量积的运算性质求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了向量数量积的运算性质，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：由正弦定理得：，
又，即，可得，
又是锐角三角形，
可得，即，解得，
令，则，
则，开口向上，对称轴，
即在上单调递增，
所以，即
即的取值范围是
故答案为：
根据正弦定理以及二倍角公式得到，再结合二次函数的性质求解即可．
本题主要考查正弦定理的应用，二次函数的性质，考查计算能力，属于中档题．
15.【答案】解：由题意，，
解得，在中，由余弦定理可得：
，
解得，
故线段AC的长度；
由知，，
在中，由正弦定理可得：，
即，解得，
又，所以，
在中，由正弦定理可得：，
即，解得，
所以的值为
【解析】根据三角形面积公式求出BC，再利用余弦定理求出线段AC的长度；
在中，中利用正弦定理，通过，可以求出的值．
本题考查三角形面积公式、正弦定理及余弦定理的应用，属中档题．
16.【答案】解：因为，所以，
设的夹角为，结合是单位向量，可知，
解得，结合，可得；
因为，所以，可得，
设，则有…①，
因为向量与向量共线，所以…②，
①②组成方程组，解得或
所以向量或
【解析】设的夹角为，根据平面向量数量积定义与运算性质，建立关于的方程，解之可得答案；
利用平面向量共线的条件与向量的模的公式，列式算出向量的坐标，可得答案．
本题主要考查平面向量垂直与平行的条件、向量的坐标运算法则、平面向量数量积的定义与运算性质等知识，属于基础题．
17.【答案】解：已知向量，
则，
则，
所以，
则，
所以，
又，
故且，
所以，
又，
则；
由知：，
则，
由正弦定理可得：的外接圆半径为，
则，
即，
所以，
则，当且仅当时等号成立，
故三角形ABC周长的最大值为
【解析】由向量数量积的坐标表示得，代入已知等式，结合正余弦边角关系得，最后由三角形内角和性质求角的大小；
由得，再由外接圆面积列方程可得，结合基本不等式即可求周长的最大值．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了正弦定理及余弦定理，属中档题．
18.【答案】解：由已知可得，，
，；
，，
，，，，
，
；
设线段PQ的中点为E，连接AE，交BD与点G，由已知G为的重心，
由重心性质可得，
又，
，
，
，
设，，
，，可得，
，当且仅当时等号成立，的最大值为
【解析】结合条件证明，再用和来表示即可；
利用表示，根据模的性质和数量积的性质求；
由条件确定，的关系，结合基本不等式求的最大值．
本题主要考查平面向量基本定理，向量的线性运算，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：由及可知：
，
在中，由正弦定理，得，
由，得，
，又，
设，为BC边上中线，
则，
，
，①
，，
或，
由①得，，，，
设，，，，
则由E，G，F三点共线可设：，即
，
又，即，
，化简得，解得，，
，，
【解析】由条件式及正余弦定理即可求得；
本题考查用正余弦定理和向量的数量积等知识解三角形，属于中档题．
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