2024年春高河中学高二期中数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. 已知函数 则
A. B.- 2e C. D.
2.小赵、小钱、小李到3个景点旅游,每人只去1个景点,设事件A为"3个人去的景点不相同",事件B为"小赵独自去1个景点",则=( ).
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，若，则=( )
A.4 B. 60 C.68 D.136
4．函数的图象大致为（ ）
A B. C.. D.
5.将六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（ ）
A．12种 B．36种 C．18种 D．54种
6．已知函数 f (x) 为定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时， xf (x) 2 f (x) 0 ，则下列四个判断正确的为（ ）
A． f (2) 4 f (1) B． f (2) 4 f (1) C． D.
7.若为函数的极值点，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”.已知数列满足：则( )
A. 1 B. 2 C.3 D.4
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9.已知,则下列描述正确的是( )
A． 除以5所得的余数是1 B．
C. D.
10. 身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A. B与同学不相邻，共有种站法
B. B、C、D、E三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有30种站法
C. E不在排头，F不在排尾，共有504种站法
D. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
11. 已知函数，则下列说法正确的有
A. 在区间上单调递增 B. 无最大值
C. 有唯一零点 D. 为的一个极小值点
12.引导游客领略传统数学研究的精彩并传播中国传统文化，某景点推出了“解数学题获取名胜古迹入场码”的活动.活动规则如下：如图所示，将杨辉三角第行第个数记为，并从左腰上的各数出发，引一组平行的斜线，记第条斜线上所有数字之和为，入场码由两段数字组成，前段的数字是的值，后段的数字是的值，则（ ）
A． C．该景点入场码为
C． D．
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 展开式中的常数项为____________.
14.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，现从中不放回的取球2次，每次取球一次，则在第一次取到红球的条件下，第二次再次取到红球的概率为__________.
15.设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则__________．
16．已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________.
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17. 在二项式展开式中，第项的系数和第项的二项式系数比为．
(1)求的值及展开式中的无理项有几项；
(2)求展开式中系数最大的项是第几项．
18. 甲乙丙丁戊五个同学
（1）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？
（2）排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？
（3）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？
19. 已知为数列的前n项和，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
20.已知函数．
(1)，求函数的最小值；
(2)若在上单调递减，求的取值范围．
21.已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，
①求数列的前项和；
②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．
22已知函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，求的最小值.
高二数学答案
1-8：ABBBC, CBA 9.AC 10.ABC 11.ABD 12.ACD
13. 630 14. 15. 16.【解析】可变为，
再变形可得，，设，原不等式等价于
，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，而，，当时，，所以由可得，，因为，所以．设，，所以函数在上递增，在上递减，所以，即．当时，不等式在恒成立；
当时，，无论是否存在，使得在上恒成立，都可判断实数m的最小值为．故答案为：．
17.【详解】（1）解：二项式展开式的通项公式为，
第项的系数和第项的二项式系数比为，
所以，解得.
所以，
当为无理项时，不能为整数，
所以，，故展开式中的无理项有项.
（2）解：设展开式中系数最大的项是第项，
则，即，
整理可得，解得，
因为，所以，所以，展开式中系数最大的项是第项.
18.（1）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，因此每个人都有种选择，
所以不同游览方法有（种）.
（2）排成一排，无限制条件的排列有，
甲不在首位，乙不在末位的反面是甲在首位或乙在末位，共有，
则甲不在首位，乙不在末位的不同排法有（种）.
（3）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，则先把5人按分组，有种分组方法，
按分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为，
再把每一种分组安排到三个城市，有种方法，
所以不同分配方法种数是.
19.【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析
【分析】(1)取计算，得到，得到证明.
(2)确定，变换，利用裂项求和计算得到证明.
【详解】(1)，，．
由，得，
，
所以，故，
所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列．
(2)，
故，
所以
．
20.【答案】(1) (2)
【分析】（1）运用二次求导法进行求解即可；
（2）运用常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
令，则有，
当时，单调递减，当时，单调递增，
因此当时，则有，
因此当时，则有，
当时， 显然，于是有当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增，所以；
（2）由，
因为在上单调递减，所以在上恒成立，
由，
设，则有，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，
要想在上恒成立，只需，因此的取值范围为.
21.【答案】【小题1】； 【小题2】①；②．
【分析】(1)根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合等比中项进行求解；
(2)①先计算的通项公式，再用错位相减法求解；
②代入，得到对一切恒成立，构造函数，再求的最小值，即可求得结果.
【详解】(1)依题意得，解得，
，即．
(2)①，，
，
，
所以．
．
②由(1)易求得，所以不等式对一切恒成立，
即转化为对一切恒成立，
令，则，又，
当时，；时，，
所以，且，则．
所以实数的最大值为．
22.【解析】（1）因为，
所以,
令，则，
因为，
当时，，则，即，
此时在上单调递增，
当时，，由，得，且，
当或时，，即；
当时，，即，
所以在,上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，
当时，在,上单调递增，在上单调递减，
其中.
（2）由（1）可知，为的两个极值点，且，
所以，且是方程的两不等正根，
此时，，，
所以，，且有，，
则
令，则，令，
则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以，
所以的最小值为.
