自贡市普高2024届第三次诊断性考试
数学试题（文科）
本试卷共6页，23题（含选考题），全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．（-1，3） B．（-3，3） C．[-1，3） D．[-1，3]
2．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．如图是2024年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m、n均为数字中的一个），在去掉一个最高分和一个最低分后，下列说法正确的是（ ）
A．甲选手得分的方差与n的值无关
B．甲选手得分的中位数一定不大于乙选手得分的中位数
C．甲选手得分的众数与m的值无关
D．甲选手得分的平均数一定小于乙选手得分的平均数
6．已知向量，，，若，则实数k的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．2 D．
7．某几何体的三视图如图，则该几何体的所有棱中，最长棱的长度为（ ）
A． B． C． D．4
8．已知角满足，则（ ）
A． B． C． D．
9．设，分别为双曲线C：（，）的上，下焦点，过点的直线l与C的一条渐近线交于点P，若轴，且点到l的距离为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知球O半径为4，圆与圆为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为4，若，，则两截面圆的圆心距（ ）
A． B． C． D．
11．函数（，）的部分图象如图所示，的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数
12．定义在R上的偶函数满足，当时，若，下列命题：
①是周期函数；
②函数的图象在处的切线方程为；
③函数的图象与函数的图象的所有交点的横坐标之和为12；
④．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若x，y满足，则的最大值为________．
14．函数，则________．
15．已知圆C的圆心是抛物线的焦点，直线与圆C相交于A，B两点，，则圆C的半径为________．
16．如图，D为的边AC上一点，，，，则|BD|的最小值为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17．（12分）
某公司是无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业，产品无人机主要应用于森林消防、物流运输、航空测绘、军事侦察等领域，该公司生产的A、B两种类型无人运输机性能都比较出色．该公司分别收集了A、B两种类型无人运输机在5个不同的地点测试的某项指标数，（），数据如下表所示：
地点1 地点2 地点3 地点4 地点5
A型无人运输机指标数 2 4 5 6 8
B型无人运输机指标数 3 4 4 4 5
附：相关公式及数据：，．
（1）试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若，则线性相关程度很高）
（2）从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，A型无人运输机指标数均高于B型无人运输机指标数的概率．
18．（12分）
已知数列的前项和为，且．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最大值．
19．（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是正方形，E是棱PB上一点．
（1）若平面ACE，证明：E是PB的中点．
（2）若，，问线段PB上是否存在点E，使点E到平面PAD的距离为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
20．（12分）
已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）函数有唯一零点，函数在R上的零点为．证明：．
21．（12分）
已知椭圆E：，（）的左、右焦点分别为、，上、下顶点分别为、，四边形的面积为且．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点A（1，3）的直线与椭圆E相交于两点P、Q（P在Q上方），线段PQ上存在点M使得，求的最小值．
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，与相交于M、N两点．
（1）把和的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点M、N的直角坐标；
（2）若P为上的动点，求的取值范围．
23．选修4-5：不等式选讲（10分）
已知函数的最小值为m．
（1）求实数m的值；
（2）若实数a，b，c满足，证明：．
2024届“三诊”数学参考答案
一、选择题（60分）
文科 CDBAA DCDBD CB
二、填空题（20分）
13．6 14．2 文科15． 16．
三、解答题（70分）
略
