安徽省合肥市部分学校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
2．已知,则( )
A.1 B.0 C.-1 D.-2
3．已知向量,,那么“”是“的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．在直角梯形ABCD中,,,,,M为腰BC的中点,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5．已知,则的值为( )
A. B. C. D.
6．向量,向量,则在上的投影向量是( )
A. B. C. D.
7．如图,在平行四边形ABCD中,M为AB的中点,AC与DM交于点O,则( )
A. B.
C. D.
8．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.若,点D在边AB上,,则的外接圆的面积是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列函数中,既是奇函数又是减函数的是( )
A. B. C. D.
10．已知是边长为2的等边三角形,若向量,满足,,则( )
A. B. C. D.
11．已知正的边长为2,D是边BC的中点,动点P满足,有,且,则( )
A.的最小值为-1 B.的最大值为
C.的最小值为 D.的最大值为
三、填空题
12．已知向量,,且,,若A,B,C三点共线,则实数x的值为______.
13．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则______.
14．如图,中,M为AB中点,,,EF为圆心为C,半径为1的圆的动直径,则的取值范围是______.
四、解答题
15．已知向量,,是同一平面内的三个向量,其中.
(1)若,且,求向量的坐标;
(2)若是单位向量,且,求与的夹角.
16．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足.
(1)求角A的值;
(2)若,,
(i)求的值;
(ii)求的值.
17．如图,A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现位于A点北偏东,B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,试求:
(1)轮船D与观测点B的距离;
(2)救援船到达D点所需要的时间.
18．已知函数是定义在上的奇函数,且.
(1)求函数的解析式;
(2)判断当时,函数的单调性,不需证明;
(3)若恒成立,求t的取值范围.
19．如图,A,B是单位圆上的相异两定点(O为圆心),且(为锐角).点C为单位圆上的动点,线段AC交线段OB于点M.
(1)求结果用表示)
(2)若
①求;
②设,记,求函数的值域.
参考答案
1．答案：D
解析：数量可以比较大小,向量不可以比较大小,故A,B,C错误;
D.向量的模是实数,可以比较大小,正确.故选D.
2．答案：A
解析：由题意得,而.
所以.
故选:A.
3．答案：A
解析：向量,,,则,解得,则“”是“”的充分而不必要条件,即向量,,那么“”是“”的充分而不必要条件,故选:A.
4．答案：B
解析：由已知得,,
所以
故选B.
5．答案：B
解析：因为,
所以.故选B.
6．答案：C
解析：由投影向量的定义知,
在上的投影向量为
故选C.
7．答案：A
解析：设,则,
因为O,D,M三点共线,
所以,解得,
则,
所以.
故选:A.
8．答案：B
解析：根据正弦定理,可化为,即,则.
由于,故,所以,
又B是的内角,,所以.
因为,所以.
又,所以.
在中,由正弦定理有,得.
因为,则,
在中,由余弦定理得
所以,
设外接圆的半径为R,则由正弦定理得,所以.
故的外接圆的面积为.
故选:B.
9．答案：CD
解析：A项,函数的图像不过原点,不关于原点对称,故不是奇函数,故A项错误;B项,函数是奇函数,但是在和上是减函数,在定义域上不具有单调性,故B项错误;
C项,设,因为,是奇函数,
由幂函数知:是增函数,故是减函数,故C项正确;
D项,函数可化为
其图象如图:
故既是奇函数又是减函数,故D项正确.
故选CD.
10．答案：AC
解析：因为,,
对于A：,故正确;
对于B：,故B错误;
对于C：,则,故C正确对于D：,即,故D错误;故选:AC.
11．答案：ABD
解析：以D为原点,BC、DA分别为x轴,y轴,建立如图所示平面直角坐标系.由于动点P满足,
且,所以点P在以点D为圆心,1为半径的圆上运动,
,,,设,,则,,,
,由,知,所以.,由,知,所以.,由,得,则,所以.
故选ABD.
12．答案：3
解析：向量,,且,,
,,
A,B,C三点共线,,
,解得.
故答案为:3.
13．答案：
解析：,
由正弦定理可得,.
,
.
,
.
故答案为.
14．答案：
解析：
又因为,
所以,
设向量与夹角为,
当时,即与同向时,有最大值为;
当时,即与反向时,有最小值为;
所以的取值范围为.
故答案为.
15．答案：(1),或
(2)
解析：(1)设,由,且,
得,
所以或,
故,或;
(2)因为,,且,
所以,
即,
所以,得,
即,
因为夹角,
所以与的夹角.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由正弦定理得:,化简得:,由余弦定理得:,又,所以.
(2)(i)由(1)知,,又,,
由正弦定理可得:;
(ii)因为,所以,
所以,,
所以.
17．答案：(1)
(2)1小时
解析：(1)由D在A的北偏东,在B的北偏西,
,,,
由正弦定理得,
,
又,
代入上式得:(海里),
轮船D与观测点B的距离为海里;
(2)中,海里,海里,,
,
,解得海里,
(小时),
救援船到达D所需的时间为1小时.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)函数是定义在上的奇函数,则,,解得,故,
时,,函数为奇函数,
综上所述:.
当时,函数单调递增,
设,则,
因为,故,,故,即,故在上单调递增.
(3),即,
因为在上单调递增,故,解得.
19．答案：(1)
(2)当时,
解析：(1)
(2)①
设,由条件知,,
,,
②设,则,
由可得,,
即,整理得,
,
即.
而.
令,,
当时,;
当时,,利用单调性定义可证明函数在和都是递减的,设,且,则
则,故,所以在上单调递减,
由于是奇函数,则在和单调递减,
因此,或,
函数值域是.
