2023-2024学年山东省临沂市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.若复数满足其中为虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
4.向量，则( )
A. B. C. D.
5.的三个内角，，所对边的长分别为，，，设向量若，则角的大小为( )
A. B. C. D.
6.已知中，，，，点为的内心，则( )
A. B. C. D.
7.某远洋运输船在海面上航行至海上处，测得小岛上灯塔顶端位于其正西方向且仰角为，该运输船继续沿南偏西的方向航行米至处，测得灯塔顶端的仰角为，则该灯塔顶端高于海面( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
10.在中，角，，的对边分别为，，，则下列命题中为真命题的是( )
A. 若，则为直角三角形
B. 若，则
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则为直角三角形
11.已知函数的部分图象如图所示，则关于函数下列说法正确的是( )
A. 的解析式为
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上是减函数
D. 将的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象
12.已知函数，则( )
A. 的周期是
B. 的值域是
C. 若在区间上有最大值，没有最小值，则的取值范围是
D. 若方程在区间上有个不同的实根，，，则的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面向量满足，则 ______．
14.若复数其中为虚数单位，当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为______．
15.如图所示，某学校花园的平面图是呈圆心角为的扇形区域，两个凉亭分别座落在点及点处，花园里有一条平行于的小路；已知某人从凉亭沿小路走到点用了分钟，从点沿走到凉亭用了分钟；若此人步行的速度为每分钟米，则该花园扇形的半径的长为______米精确到米．
16.在中，已知，，的角平分线，则的正弦值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量．
若向量与共线，求实数的值；
若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知复数，其中为虚数单位，并且，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知向量，满足，，．
求向量与的夹角；
若向量在方向上的投影向量为，求的值．
20.本小题分
设的内角，，所对的边分别为，，，若，且．
求的值；
若，求的面积．
21.本小题分
已知在锐角中，三边，，的对角分别为，，，且．
求角的值；
若，求的周长的取值范围．
22.本小题分
已知函数的定义域为，若函数在区间上佮好取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为；当时函数取得最小值为．
求函数的解析式；
若将函数的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最小值为，求满足条件的的最小值；
是否存在实数，满足不等式？若存在，求出实数的范围或值，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，属于基础题．
把所给的式子平方，利用二倍角的正弦公式求得的值．
【解答】解：，
平方可得，
则，
故选C．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据三角函数的诱导公式得出，然后根据两角和的余弦公式即可得解．
本题考查了两角和的余弦公式，三角函数的诱导公式，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为复数满足，则，所以复数的虚部为．
故选：．
利用复数的除法运算和复数的概念即可求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：已知向量，
则，，
则．
故选：．
结合平面向量数量积的坐标运算求解．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：由于向量若，
故，整理得，
所以，
由于，
故A．
故选：．
直接利用向量垂直的充要条件和余弦定理求出结果．
本题考查的知识点：余弦定理，向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，设的内切圆半径为，
中，，，，易得，则为直角三角形，
过点作垂直于，与交于点，过点作垂直于，交于点，
则、为的内切圆与边、的切点，
又由，则有，，
则，
则有，即，解可得，
则有，故，，
则．
故选：．
根据题意，设的内切圆半径为，由勾股定理可得为直角三角形，过点作垂直于，与交于点，过点作垂直于，交于点，求出的值，分析可得，，由向量加法的性质分析可得答案．
本题考查平面向量基本定理，涉及向量的线性运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意作出示意图，如图所示，
设灯塔顶端高于海面的距离为米，由题意得，，
所以米，米，
在中，，，由余弦定理得，
即，整理，解得不符合题意，舍去．
综上所述，灯塔顶端高于海面的距离为米．
故选：．
设灯塔顶端高于海面的距离为米，利用锐角三角函数的定义算出米，米，然后在中利用余弦定理建立关于的等式，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查锐角三角函数定义、余弦定理、解三角形及其应用等知识，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为图象关于直线对称，且关于点对称，
所以，，，，
所以且．
故选：．
由已知结合余弦函数的对称性即可求解．
本题主要考查了余弦函数对称性的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为复数，所以，
则，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
分别求出和，计算可得结果．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：中，因为，由正弦定理可得，
即，在三角形中，，
所以，因为，所以，即为直角三角形，所以A正确；
中，三角形中，，则，由大边对大角，可得，再由正弦定理可得，所以B正确；
中，若，只能得出角为锐角，不能说明角，角为锐角，所以不能判断该三角形为锐角三角形，所以不正确；
中，因为，即，可得，
由正弦定理可得，
所以，又因为，
所以，而，
所以，即为直角三角形，所以D正确．
故选：．
中，由正弦定理可得，再由角的范围，可得的值，进而判断出三角形的形状，判断出的真假；中，由椭圆可得，的大小关系，由正弦定理可得，的大小关系，判断出的真假；中，由题意只能判断出角为锐角，但不能判断出角，是否为锐角，判断出的真假；中，由半角公式及正弦定理，两角和的正弦公式可得，再由角的范围，可得角为直角，进而可得三角形的形状，判断出的真假．
本题考查正弦定理的应用及三角形中角之间的公式的应用，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据函数的部分图象知，，且，所以；
又因为，所以，解得，所以，选项A正确；
时，，不是最值，选项B错误；
时，，单调递减，选项C正确；
将的图象向左平移个单位长度，得的图象，选项D错误．
故选：．
根据函数的部分图象求出、的值，写出函数的解析式，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：，所以函数的周期是，故选项A正确；
因为函数的周期是，所以只需要看一个周期内函数值的范围，
当时，，，，，
所以的值域是，故选项B正确；
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以，，则，故选项C正确；
，，所以轴和均为的对称轴，和关于轴对称，和关于对称，
，，，所以，故选项D错误．
故选：．
用周期定义判断周期，再求一个周期内函数的值域，然后借助函数的单调性判断最值，用对称性找到，，之间的关系，进而求出的取值范围．
本题考查三角函数的图象性质、三角恒等变换，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，，所以，，
因为，所以，
即，解得，所以．
故答案为：．
由平面向量的模的计算与数量积运算计算即可求得．
本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，复数，则，
若对应的点在第三象限，则有，
解可得：，即的取值范围为．
故答案为：．
根据题意，求出的共轭复数，由复数的几何意义可得关于的不等式，解可得答案．
本题考查复数的几何意义，涉及复数的分类，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：如图所示，设该扇形的半径为米，连接，
由题意得米，米，，
在中，由余弦定理可得，
即，
解得米．
故答案为：．
连接，由知，可由余弦定理得到的长度．
本题主要考查用余弦定理求三角形边长，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为，，的角平分线，
由等面积可得，
即，
即，
，因为，
所以，，
所以．
故答案为：．
由三角形的等面积法，可得，的值，进而求出的值．
本题考查三角形等面积法的应用及正弦的二倍角公式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：已知向量，
则，，
又向量与共线，
则，
即，
即实数的值为；
若向量与的夹角为钝角，
则，
即，
即实数的取值范围．
【解析】由共线向量的坐标运算求解；
由平面向量数量积的坐标运算，结合共线向量的坐标运算求解．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了向量共线及向量夹角的运算，属中档题．
18.【答案】解：由，得，
．
，
，
，
．
实数的取值范围是．
【解析】由，列出方程组，再结合正弦函数图象的性质，即可求得实数的取值范围．
本题考查了复数的基本概念，考查了正弦函数图象的性质，是中档题．
19.【答案】解：，
，即，
，
，
又，与 的夹角为；
，
．
【解析】由题意得到，利用平面向量的夹角公式即可求解；
利用投影向量和数量积的运算即可求解．
本题考查了平面向量的夹角公式、投影向量和数量积的运算，属于中档题．
20.【答案】解：由正弦定理得为的外接圆半径，
可得：，
将其代入得，即，
又由题意知，所以，
解得，所以，在中由余弦定理得：
，
所以，所以，
所以，
，
由题意可知，所以，
所以，
所以；
因为，由知，
所以．
【解析】由正弦定理得，在中由余弦定理得，利用二倍角公式和两角差的正弦公式即可求解；
由求得，和，利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：由正弦定理得为的外接圆半径可得：，
将其代入可得，
可转化为，即，
在锐角中；
由及正弦定理可知，，
，
，
，
又为锐角三角形，所以，
又，所以，
，
，
，，
即，
，
又，，即
故锐角的周长的取值范围为．
【解析】利用正弦定理得，根据余弦定理即可求解；
由及正弦定理可知，，利用三角函数的恒等变换得到，根据角的范围即可求解．
本题考查了正弦定理和三角函数的恒等变换，属于中档题．
22.【答案】解：，，
，
又，
则，，
令，解得，
又，
，；
由题意知：，，
函数与函数均为其定义域上的单调增函数，且，，
当且仅当取得最大值时，
同时取得最小值时，才能取得函数的最小值，
由得，，
又，
，，以上，，
又，
的最小值为；
满足，解得，
，
，
同理，
，，
，，
又函数在上单调递增，
若有，则只需，即成立即可，
又，，
存在，使成立．
【解析】结合正弦函数最值先求出，结合周期求出，代入特殊点求出，进而可求函数解析式；
结合三角函数图象的变换求出，，然后结合已知函数的最值与单调性关系即可求解；
结合已知先求出的范围，结合二次函数的性质及正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了函数解析式的求解，还考查了三角函数图象的变化及函数性质的综合应用，属于中档题．
第1页，共1页
