2023-2024学年河北省邢台市五岳联盟高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某羽毛球队共有名男队员，名女队员，现组成一男一女的队伍参加男女混双比赛，则不同的组合方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.已知服从两点分布，若，则( )
A. B. C. D.
3.的展开式中，系数最大的项的系数为( )
A. B. C. D.
4.曲线在处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
5.已知，分别是双曲线的左、右焦点，，点在的右支上，且的周长为，则( )
A. B. C. D.
6.河北省沧州市渤海新区中捷产业园区是典型的盐碱地区，面对盐碱地改造成本高、维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦”和“捷麦”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展现有，，，四块盐碱地，计划种植“捷麦”和“捷麦”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，则不同的种植方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.如图，在三棱锥中，，两两垂直，，分别为，的中点，且，，则二面角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则( )
A. 与相互独立 B. 与相互对立 C. D.
10.在平面直角坐标系中，第一、二、三、四象限内各有个点，且任意个点都不共线，则下列结论正确的是( )
A. 以这个点中的个点为端点的线段有条
B. 以这个点中的个点为端点的线段中，与轴相交的有条
C. 以这个点中的个点为顶点的三角形有个
D. 以这个点中的个点为顶点，且个顶点在个象限的三角形有个
11.下列命题为真命题的是( )
A. 的最小值是
B. 的最小值是
C. 的最小值是
D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等差数列中，，则 ______．
13.某校运动会短跑比赛有两个项目：米短跑和短跑甲参加米短跑比赛的概率为，参加米短跑比赛的概率为，且甲参加米短跑比赛夺冠的概率为，参加米短跑比赛夺冠的概率为，则甲参加短跑比赛夺冠的概率为______．
14.已知椭圆的离心率为，过的右焦点的直线与交于，两点，与直线交于点，且，则的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
入春以来，成群的红嘴鸥在河北省阜平县平阳镇王快水库栖息飞翔，碧水鸥影的生态美景，吸引众多游客前来打卡，为了更好地保护红嘴鸥，渔民自发地驾船在王快水库巡护红嘴鸥已知甲、乙等六名渔民计划巡护红嘴鸥六天，每人巡护一天．
若甲不在第一天巡护，问有多少种不同的巡护方案？
若甲、乙不在相邻的两天巡护，问有多少种不同的巡护方案？
16.本小题分
已知在二项式的展开式中，第项为常数项．
求；
求的展开式中所有奇数项的二项式系数之和；
在的展开式中，求含的项．
17.本小题分
一个不透明盒子里装有个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球个分别标有数字，，，黑色小球个分别标有数字，，，现从盒子中次性随机取出个小球．
求取出的个小球上的数字之和等于的概率；
在取出的个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为当只取到个黑色小球时，该球上的数字即为，求随机变量的分布列．
18.本小题分
在个数码，，，构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序例如，则与构成逆序，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，．
计算；
设数列满足，，求的通项公式；
设排列满足，，，求．
19.本小题分
已知函数和．
若在上的最小值为，求的值；
若不等式恒成立，求的取值集合．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：先从名男队员中抽取一名男队员，有种可能，
再从名女队员中抽取一名女队员，有种可能，
所以不同的组合方案共有种．
故选：．
利用分步乘法计数原理，结合排列组合知识求解．
本题主要考了排列组合知识，考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：服从两点分布，且，
．
故选：．
利用两点分布的概率公式求解．
本题主要考查了两点分布的概率公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：的展开式一共项，由于该展开式的二项式系数和系数相等，故该展开式中系数最大的项的系数为．
故选：．
直接利用展开式中二项式系数和系数的关系求出结果．
本题考查的知识点：二项式系数和项的系数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，得，
则所求切线的斜率为．
故选：．
求出原函数的导函数，可得函数在处的导数值，则答案可求．
本题考查导数的几何意义及应用，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由双曲线定义可知：，
则的周长为，故．
故选：．
借助双曲线定义计算即可得．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：若要求这两种旱碱麦都要种植，分两类：
第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦，
则不同的种植方案有种；
第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，
则不同的种植方案有种．
故不同的种植方案共有种．
故选：．
由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为，，两两垂直，，分别为，的中点，且，，
所以以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，所以，
由题知，平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，且由图可知为锐角，
所以．
故选：．
建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，由向量夹角公式即可求得．
本题考查二面角的求法，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：对两边求导，可得，
令，得，
令，得，
，可得．
故选：．
先对已知等式两边同时求导，再分别令，，联立方程即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到求导，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，，而，
则有，变形可得，则事件与相互独立，A正确，B错误；
又由，即，变形可得，
故C正确，D错误．
故选：．
根据题意，由于，结合条件概率公式可得，分析可得A正确，B错误；又由，求出的值，可得C正确，D错误，综合可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及相互独立事件的判断，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：以这个点中的个点为端点的线段有条，A正确；
以这个点中的个点为顶点的三角形有个，C正确；
轴上方有个点，下方有个点，所以这样的线段有条，B错误；
先选个象限，从这个象限中每个象限任选个点作为三角形的顶点，则这样的三角形有个，D正确．
故选：．
根据排列组合相关知识可解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：设，，，，
易知点的轨迹是抛物线的上半部分，
抛物线的准线为直线，
到准线的距离，
为抛物线的焦点，
所以，
所以的最小值为，故A错误，B正确；
，
所以的最小值为，
因此C正确，D错误．
故选：．
设，，，，易知点的轨迹是抛物线的上半部分，由，判断；由，判断．
本题考查了转化思想、抛物线的性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，设等差数列的公差为，
若，则，变形可得，则有，
则．
故答案为：．
根据题意，设等差数列的公差为，分析可得，变形可得，结合等差数列的性质分析可得答案．
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：某校运动会短跑比赛有两个项目：米短跑和短跑．甲参加米短跑比赛的概率为，
参加米短跑比赛的概率为，且甲参加米短跑比赛夺冠的概率为，
参加米短跑比赛夺冠的概率为，
则甲参加短跑比赛夺冠的概率为．
故答案为：．
利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出结果．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为椭圆：的离心率为，
所以，解得，
所以椭圆方程为，可得，
当直线的斜率为时，则，，，
所以，，显然不满足，故舍去；
依题意直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，，，
由，消去整理得，
显然，则，，
所以
，
又，解得，所以，
所以，
因为，所以，解得，
综上可得的斜率为．
故答案为：．
由离心率公式求出，从而可得椭圆方程，首先计算直线的斜率为时不符合题意，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，表示出，再求出点坐标，即可得到，从而得到方程，求出即可．
本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：若甲不在第一天巡护，则甲有种排法，剩下人共有种排法，
则由分步计数乘法原理可得共有种排法；
先排除甲乙剩下的人，共有种排法，再将甲乙从个空中选取个空全排，共有种排法，
由分步乘法计数原理可得共有种排法．
【解析】先排甲，再全排剩下人，然后根据分步乘法计数原理即可求解；先排除甲乙剩下的人，再将甲乙插空，然后根据分步乘法计数原理即可求解．
本题考查了排列组合的简单计数问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
16.【答案】解：由题意得第项为，
又第项为常数项，
则，
得．
由题意可得：所有奇数项的二项式系数之和为．
由知，
在的展开式中，含的项为，
在的展开式中，含的项为，
所以在的展开式中，含的项为．
【解析】由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式求解；
结合二项式定理求解；
由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式求解．
本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的通项公式，属中档题．
17.【答案】解：个球里取个共有种，
个小球上的数字之和等于的含有，，；，，；，，，
其中，，只有一种，而，，有种，即从两个，两个里各取一个，，，也只有一种，
所以总共有种，
所以概率为；
由题意可知，可能的值有，，，，
则，，，，
所以的分布列为：
【解析】利用古典概型的概率公式求解；
由题意可知，可能的值有，，，，再利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到的分布列．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列，属于中档题．
18.【答案】解：由逆序的定义可得；
由逆序的定义可得，
即为，
可得数列是首项为，公比为的等比数列，
则，即有；
由逆序的定义可得，
．
【解析】由逆序的定义，计算可得所求值；
由逆序的定义，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；
由逆序的定义求得，再由数列的裂项相消求和，可得所求和．
本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：，
若，则，所以在上单调递增，则无最小值，不符合题意，
所以，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
由，得，
即或，
因为，所以；
的定义域为，
由，得，
令函数，则，，
所以单调递增，得，
令函数，则，
若，则，在上单调递增，因为，
所以当时，，不符合题意，所以，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即恒成立，
令函数，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即，
故H，即，
所以的取值集合为．
【解析】求导得，对分情况讨论，得到的单调性，进而求出的最小值，再结合的解析式求出的值；
由题意可知，恒成立，令函数，则，令函数，利用导数可得，则恒成立，再次求导可得，从而只有，由此求出的值．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
第1页，共1页
