2023-2024学年广东省东莞市三校联考高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，且，则( )
A. B. C. D.
2.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则此三角形的解的情况是( )
A. 有一解 B. 有两解
C. 无解 D. 有解但解的个数不确定
3.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为( )
A. B. C. D.
4.把按斜二测画法得到如图所示，其中，，那么是一个( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 三边互不相等的三角形
5.已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是( )
A. B. C. D.
6.如图，，，，，且，直线，过，，三点的平面记作，则与的交线必通过( )
A. 点
B. 点
C. 点但不过点
D. 点和点
7.如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在四面体中，平面，，，则此四面体的外接球表面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是( )
A. 与是异面直线
B. 与相交
C. 与是异面直线
D. 与是异面直线
10.如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是( )
A. 水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状
B. 水面四边形的面积不改变
C. 棱始终与平行
D. 当时，是定值
11.在中，角，，的对边分别为，，，有如下命题，其中正确的是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 若，则是钝角三角形
D. 若，则为锐角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则的最大值为______．
13.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则______．
14.在中，角，，的对边分别为，，，若，则当取最小值时， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求实数的值，使复数分别是：
实数；
纯虚数；
零．
16.本小题分
已知向量，，且与的夹角为．
求及；
求在上的投影向量的坐标；
若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在中，，是的中点，设，．
试用，表示，；
若，与的夹角为，求．
18.本小题分
在斜三角形中，内角，，的对边分别为，，，且满足．
求角的大小；
若，且上的中线长为，求斜三角形的面积．
19.本小题分
为改进城市旅游景观面貌、提高市民的生活幸福指数，城建部拟在以水源为圆心空地上，规划一个四边形形状的动植物园如图：四边形内接于圆注：圆的内接四边形的对角互补，为动物园区，为植物园区为了方便植物园的植物浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上又根据规划已知千米，千米．
若，且，求边的长为多少千米？
若线段千米，求动植物园的面积即四边形的面积的最小值为多少平方千米？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意知，所以．
故选：．
利用平面向量数量积的坐标表示计算即可．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，，，
由正弦定理得，
故，
故B不存在，即三角形无解．
故选：．
由已知结合正弦定理先求出，结合的值判断的存在性即可判断．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形解的个数判断中的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
直接由已知的复数得到其在复平面内对应向量的坐标可得答案．
【解答】
解：复数与分别表示向量与，
，，
，
表示向量的复数为，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：根据斜二侧画法还原直线在直角坐标系的图形，如下图所示：
由图易得
故为等边三角形，
故选A
根据斜二侧画法还原直线在直角坐标系的图形，进而分析出的形状．
本题考查的知识点是斜二侧画法，三角形形状的判断，解答的关键是斜二侧画法还原直线在直角坐标系的图形．
5.【答案】
【解析】解：设圆柱的底面半径为，则高为，母线长为，
所以圆柱的侧面积为，
由题意可知，圆锥的底面半径为，高为，
所以圆锥的母线长为，
所以圆锥的侧面积为，
所以圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是．
故选：．
设圆柱的底面半径为，则高为，则圆锥的底面半径为，高为，母线长，再利用圆柱和圆锥的侧面积公式求解即可．
本题主要考查了圆柱和圆锥的结构特征，考查了圆柱和圆锥的侧面积公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面与平面之间的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
直线，过，，三点的平面记作，可得，即可得出结论．
【解答】
解：直线，过，，三点的平面记作，
，
与的交线必通过点和点，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得：，，，，
，
故选：．
利用向量共线定理、三角形法则即可得出结论．
本题考查了向量三角形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：将四面体补形成长方体，长、宽、高分别为，，，
外接球直径等于体对角线长，故，
所以外接球表面积为．
故选：．
根据题意将三棱锥还原到长方体中，求出长方体的体对角线的长，即可得外接球的直径，从而可求出其表面积．
本题考查了四面体外接球的表面积计算，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：把展开图还原为正方体，如图所示：
还原后点与点重合，点与点重合，
由图可知，与为异面直线，与相交，故A，B正确；
因为与相交，故C错误；
因为与平行，故D错误．
故选：．
把展开图还原为正方体，再逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了正方体的展开图，考查了异面直线的判断，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据面面平行性质定理，可得固定时，
在倾斜的过程中，始终有，
且平面平面，故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A正确；
水面四边形的面积是改变的，故B错误；
因为，水面，水面，
所以水面，
即棱始终与平行正确，故C正确；
由于水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，
即当在时，是定值．故D正确．
故选：．
：由于固定，所以在倾斜的过程中，始终有，且平面平面，由此分析可得结论正确；
：水面四边形的面积是改变的；
：利用直线平行直线，直线平行直线的判断定理，容易推出结论；
：当时，是定值．通过水的体积判断即可．
本题考查棱柱的结构特征，直线与直线平行的判断，棱柱的体积等知识，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由可得或，
所以或，A错误；
若，则，所以，B正确；
若，则为钝角，是钝角三角形，C正确；
项：，则最大，
，
，为锐角，又知为最大角，
为锐角三角形，D正确．
故选：．
由已知结合正弦函数性质，正弦定理，三角形大边对大角及向量数量积定义分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了正弦定理，放缩法，向量的数量积，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：满足的点在复平面内以原点为圆心，以为半径的圆上，
的几何意义为单位圆上的点到定点的距离，
如图：
则的最大值为．
故答案为：．
由复数模的几何意义画出图形，数形结合即可求得的最大值．
本题考查复数模的几何意义，考查数形结合思想，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，由正弦定理可得：，
因为，由余弦定理可得，
在三角形中可得，
故答案为：．
由正弦定理及可得，的关系，再由余弦定理求出的表达式，将代入可得可得的余弦值．
本题考查三角形的正余弦定理的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由正弦定理、余弦定理得，，，
，
当且仅当，即时取最小值．
故答案为：．
根据正弦定理、余弦定理角化为边，得到，再由余弦定理得到，进而得到结果．
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
15.【答案】解：由，得或；
由，解得或．
若复数为实数，则，即或；
若复数为纯虚数，则且，即；
若复数，则且，即．
【解析】本题考查复数的基本概念，是基础题．
分别由实部和虚部为求得值，然后逐一结合复数为实数、纯虚数、零可得具体值．
16.【答案】解：由于与的夹角为，
所以，即，解得，
则，，，
所以；
由知，，在上的投影向量为，
即在上的投影向量的坐标为；
由知，，则，
，
由于与所成的角是锐角，
所以，即：，
解得且，即实数的取值范围为．
【解析】由向量的夹角坐标公式列出方程，求解得，代入向量坐标计算；
因在上的投影向量为，代入中求得的，，计算和即得；
根据两向量的数量积大于，且两向量不共线，列出不等式组求解即得．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
17.【答案】解：在中，，是的中点，设，，
则，
；
已知，与的夹角为，
则，
则．
【解析】由平面向量的线性运算求解；
结合平面向量数量积的运算求解．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
18.【答案】解：，
由正弦定理可得，，
，
三角形为斜三角形，
不为直角，即，
，
又，
；
，，
由余弦定理可得，
上的中线长为，可得，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
又，
，整理可得，
由解得，
．
【解析】根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解；
由已知利用余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，由，整理可得，，由解得，进而利用三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：，，，
中：，，
中：，由正弦定理知：
，，千米；
设，，，则，
圆心在的内部或边界，，，
，中，
有，
则，，则，
，
，．
【解析】由余弦定理可得，再根据正弦定理可得的长度；设，，，将四边形的面积表示出来，利用三角函数的性质即可得最小值．
本题考查正弦定理，余弦定理，考查三角函数的性质，属于中档题．
第1页，共1页
