江苏省海安高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数在处的导数为3，则（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解.
【详解】因为函数在处的导数为3，
所以，
所以．
故选：B.
2. 10000的除去1和自己外的正因数的个数是（ ）
A. 25 B. 24 C. 23 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得，将问题转化为从盒子中取数，按照分步乘法计数原理计算即可.
【详解】由题意，
所求数的不同正因数的个数可以看做从两盒子中取数，
其中盒子中有4个2，盒子中装有4个5，从两盒中各取一个数相乘可以得到一个因数（如不取可看作取1），
所以从两盒中取数均有5种取法，但要舍去都不取或全取出所有的4个2和4个5这2种情况（即因数为1和10000本身的情况），
综上所述，10000的除去1和自己外的正因数的个数是.
故选：C.
3. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
【答案】D
【解析】
【分析】根据两点分布的期望即可求解.
【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为，
．
故选:D．
4. 已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（ ）
A. 3 B. C. 7 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量四点共面性质求解即可.
【详解】由P，A，B，C四点共面，可得，，共面，
设，
则，解得．
故选：C.
5. 在的展开式中的系数为（ ）
A. 160 B. 240 C. 360 D. 800
【答案】B
【解析】
【分析】利用结论的展开式中，含（其中）的项为求解即可.
【详解】由结论的展开式中，含（其中）的项为可得，
的展开式的项为，其中，
根据题意，可知，，，，
所以的系数为，
故选：B．
6. 已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得函数在点处的切线方程，得到切线与坐标轴交点坐标，由面积求得.
【详解】易知，，且，
所以直线，
它与两坐标轴的交点坐标分别为和，
可得，又，
解得.
故选：C
7. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）
A. B. C. 4 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.
故选：C.
8. 有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得的所有可能取值为，用古典概型算出相应的概率，进而即可求解.
【详解】的所有可能取值为，记三次得到的数组成数组，
满足的数组有：
，共4个，
所以，
满足的数组有：
，
，共18个，
所以，
满足的数组有：
，
，
，
，共24个，
所以，
满足的数组有：
，，
，，
，，共18个，
所以，
所以X的数学期望.
故选：D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知分别为随机事件的对立事件，，则（ ）
A.
B.
C. 若互斥，则
D. 若，则独立
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件概率的公式及互斥事件，独立事件的概念可得答案.
【详解】因为,A正确，B不正确；
若互斥，则，所以,C正确；
因为，所以，即独立，D正确.
故选：ACD
10. 已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据已知求出，则，令和即可判断A；先求导，再令即可判断B；根据的通项公式求出即可判断C；由通项公式判断的正负，结合计算即可判断D.
【详解】由展开式的二项式系数和为512，
可得，解得，所以.
A：在，中，
令，得，令，得，
所以，故A错误；
B：，
等式两边同时求导，得，
令，得，故B正确；
C：∵，
∴，故C错误；
D：，
两式相加得，两式相减得.
又展开式的通项公式为（），
则当为奇数时，为负，当为偶数时，为正，
所以
，故D正确.
故选：BD
11. 已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 无论M，N在何位置，为异面直线 B. 若M是棱中点，则点P的轨迹长度为
C. M，N存在唯一的位置，使平面 D. AP与平面所成角的正弦最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据相交，而即可判断A，建立空间直角坐标系，利用坐标运算可判断P的轨迹长度为半径为的圆的，即可判断B，根据法向量与方向向量垂直即可判断C,根据线面角的向量法，结合基本不等式即可求解.
【详解】由于相交，而，因此为异面直线，A正确，
当M是棱中点，建立如图所示的空间直角坐标系，设,
故， 且，
由于，故，化简得，
由于，所以点P的轨迹长度为半径为的圆的，故长度为，B正确，
设,则，且，
，,
设平面的法向量为，则
，令，则,
，故，
由于，故，化简得，
联立，故解不唯一，比如取，则或取，故C错误，
由于平面，平面，故,
又四边形为正方形，所以,
平面，
所以平面，
故平面的法向量为
，
设AP与平面所成角，则，
则，当且仅当时取等号，
，
时，令，则，
故，
由于，当且仅当，即时等号成立，此时，
由且可得
因此，
由于，，故的最大值为，故D正确，、
故选：ABD
【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为____．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：从10件产品任取3件的取法共有，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为，．利用互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式即可得出．
解：从10件产品任取3件的取法共有，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为，．
因此所求的概率P==．
故答案为．
点评：本题考查了互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式，属于基础题．
13. 已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用，可求出两点的坐标，从而可求出答案.
【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
因为点M在上，点N在上，所以设，，
所以,，
因为MN是异面直线AC与的公垂线段，
所以，即，解得，
所以，，
所以点M是线段上靠近点的一个三等分点，
点N是线段上靠近点的一个三等分点，
且异面直线与间的距离为.
故答案为：.
14. 甲、乙、丙为完全相同三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设出事件，根据题意运用全概率公式求解即可.
【详解】记取到甲盒子为事件，取到乙盒子为事件为，取到丙盒子为事件，取到黑球为事件，
由题意可知：，，
由全概率公式可得
，
所以摸出的球是黑球的概率为.
故答案为：.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球.
（1）将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数；
（2）从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数；
（3）将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数.
【答案】（1）576 （2）40
（3）490
【解析】
【分析】（1）排列问题，相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法；
（2）按照分类分步计数原理，结合组合数公式计算；
（3）由每堆球数，分类计数，每类再分步完成.
【小问1详解】
先将4个不同的黑球全排列，有种方法；再将2个不同的红球全排列，有种方法；
接着将4个黑球看成是1个元素连同整体红球共2个元素全排列，有种方法；
最后将2个黄球排在2个大元素形成的三个空位上，有种方法.
所以总的排法数为；
【小问2详解】
从这8个球中取出4个球，要求各种点色的球都取到，取球的方式是1，1，2，
所以取法种数为；
【小问3详解】
将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，有两类：2，2，4；2，3，3；
所以分堆种数为.
16. 已知函数．
（1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
（2）求证：函数在上有且只有一个极值点．
【答案】（1）函数f（x）在区间上的单调递增，理由见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出导函数，确定在上的正负得单调性；
（2）令，求出得的单调性，从而得在上的零点个数，即可得证的极值点个数．
【小问1详解】
函数f（x）在区间上的单调递增，
，
因为，所以，，
所以，所以函数f（x）在区间上的单调递增．
【小问2详解】
证明：令，则，
当时，，h（x）单调递减，
又因为，，
所以存在唯一，使得，
随着x变化，的变化情况如下；
x
+ 0 -
递增 极大值 递减
所以f（x）在内有且只有一个极值点．
17. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 995
经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.
【答案】（1），（2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. ,
【解析】
【分析】（1）依题知一个零件的尺寸在之内的概率，可知尺寸在之外的概率为0.0026，而，进而可以求出的数学期望.
（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；
（ii）计算，剔除之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据，剩下数据的样本方差，即为的估计值.
【详解】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，
故.
因此.
的数学期望为.
（2）（i）如果生产状态正常，
一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由，
得的估计值为，的估计值为，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据，
剩下数据的平均数为，
因此的估计值为.
，
剔除之外的数据，
剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为.
【点睛】本题考查正态分布的实际应用以及离散型随机变量的数学期望，正态分布是一种重要的分布，尤其是正态分布的原则，审清题意，细心计算，属中档题.
18. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M是线段EF的中点．
（1）求证：平面BDE，并求直线AM和平面BDE的距离；
（2）求二面角的大小；
（3）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60°．
【答案】（1）证明见解析；；
（2）；
（3）为线段的中点.
【解析】
【分析】（1）只需证明，然后根据线面平行的判定定理即可证明结论；利用等积法可求出答案.
（2）证明，然后求的值即可.
（3）利用公式即可求出答案.
【小问1详解】
设的交点为，连接，因为四边形ABCD为正方形，所以为的中点，
又在矩形ACEF中，因为M是线段EF的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为面BDE，面BDE，所以平面BDE；
因为四边形为矩形，所以，
又因为正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，面面，
所以面，面，面，
所以，
又因为，，所以，
所以，
设点到面的距离为，
则由，得，
解得.
因为为的中点，所以点到面的距离即为点到面的距离，
又因为平面BDE，所以点到面的距离即为直线AM和平面BDE的距离，
故直线AM和平面BDE的距离为.
【小问2详解】
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，，
因为，所以面，
所以为平面的一个法向量，
因为，
，
所以，所以为面的一个法向量，
所以，所以与的夹角为.
即所求的二面角的大小为.
【小问3详解】
设则，
因为PF与BC所成的角是60°，
所以，
解得或(舍).
故为线段的中点.
19. 近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
（1）该校学生甲 乙 丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲 乙 丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率；
（2）该校学生丁每周六 日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率；
（3）现用健身指数来衡量各学生在一个月健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值.
参考数据：.
【答案】（1）
（2）
（3）30
【解析】
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式进行计算；
（2）设出事件，利用全概率公式进行求解；
（3）设抽取次数为，求出的分布列和数学期望，利用错位相减法求出，利用单调性，结合特殊值，求出答案.
【小问1详解】
由题意得这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率
.
【小问2详解】
记事件：丁周六选择健身中心，事件：丁周日选择健身中心，
则，
由全概率公式得.
故丁周日选择健身中心健身的概率为.
【小问3详解】
设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为，则，
设抽取次数为，则的分布列为
1 2 3
故，
又，
两式相减得，
所以
，
所以在时单调递增，
可知当时，；
当时，；
当时，.
若抽取次数的期望值不超过23，则的最大值为30.江苏省海安高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数在处的导数为3，则（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
2. 10000的除去1和自己外的正因数的个数是（ ）
A. 25 B. 24 C. 23 D. 16
3. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
4. 已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（ ）
A. 3 B. C. 7 D.
5. 在的展开式中的系数为（ ）
A. 160 B. 240 C. 360 D. 800
6. 已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
7. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）
A. B. C. 4 D. 2
8. 有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望（ ）
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知分别为随机事件的对立事件，，则（ ）
A.
B
C. 若互斥，则
D. 若，则独立
10. 已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 无论M，N在何位置，为异面直线 B. 若M是棱中点，则点P的轨迹长度为
C. M，N存在唯一的位置，使平面 D. AP与平面所成角的正弦最大值为
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为____．
13. 已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则__________.
14. 甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率为__________.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球.
（1）将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数；
（2）从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数；
（3）将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数.
16 已知函数．
（1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
（2）求证：函数在上有且只有一个极值点．
17. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 998 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.
18. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M是线段EF的中点．
（1）求证：平面BDE，并求直线AM和平面BDE的距离；
（2）求二面角的大小；
（3）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60°．
19. 近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
（1）该校学生甲 乙 丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲 乙 丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率；
（2）该校学生丁每周六 日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率；
（3）现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值.
参考数据：.
