2023-2024学年度第二学期七年级期中质量监测
数学科试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 一粒大米的质量约为0.000021千克，将0.000021这个数用科学记数法表示正确的是( )
A. B. C. D.
2. 数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A 同旁内角、同位角、内错角
B. 同位角、内错角、对顶角
C. 对顶角、同位角、同旁内角
D 同位角、内错角、同旁内角
3. 一部电影的票价为每张35元，某日共售出张该电影的电影票，票房收入为元，在这个问题中，因变量是（ ）
A. 35 B. 和 C. D.
4. 如图所示，直线，点C，A分别在直线a，b上，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图所示，，，下列说法不正确的是（ ）
A. 点B到垂线段是线段 B. 点C到的垂线段是线段
C. 线段是点D到的垂线段 D. 线段是点B到的垂线段
7. 下列多项式乘法中，运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，折线描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的关系，下列说法中错误的是（ ）
A. 第9分钟时汽车的速度是60千米/时
B. 从第3分钟到第6分钟，汽车停止
C. 从第9分钟到第12分钟，汽车的速度逐渐减小
D. 第12分钟时汽车的速度是0千米/时
9. 已知的乘积项中不含项，则m的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，，平分，平分，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：_________
12. 已知，与互余，则的补角是______．
13. 若多项式是一个完全平方式，则______．
14. 如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．根据图中的程序算法过程，可得与之间的关系式是______．
15. 如图，，，，则_____．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16. 计算：
（1）；
（2）．（用简便方法计算）
17. （1）计算：；
（2）先化简再求值：，其中，．
18. 如图，为的延长线上一点．
（1）用尺规作图的方法在上方作，使；
（2）在（1）的条件下，若，恰好平分，求的度数．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 根据已知条件求值．
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
20. 王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据：
行驶的路程s（km） 0 100 200 300 400 …
油箱剩余油量Q（L） 50 42 34 26 18 …
（1）在这个问题中，自变量是_______，因变量是________；
（2）该轿车油箱容量为________L，行驶时，油箱中的剩余油量为________L；
（3）请写出两个变量之间关系式；（用s来表示Q）；
（4）王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为22L，请求出A，B两地之间的距离．
21. 如图，，
（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若是的平分线，，求的度数．
五、解答题（三）共（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个．
（1）用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式_______；
（2）用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________；
根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：
（3）直接写出下列问题答案：
①若，，则________；
②若，则________．
（4）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积．
23. 综合与实践
【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且和，，，．
（1）在图1中，，求的度数；
【深入探究】
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由；
【拓展应用】
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系．2023-2024学年度第二学期七年级期中质量监测
数学科试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 一粒大米的质量约为0.000021千克，将0.000021这个数用科学记数法表示正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】0.000021=
故选B.
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
2. 数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A. 同旁内角、同位角、内错角
B. 同位角、内错角、对顶角
C. 对顶角、同位角、同旁内角
D. 同位角、内错角、同旁内角
【答案】D
【解析】
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．
3. 一部电影的票价为每张35元，某日共售出张该电影的电影票，票房收入为元，在这个问题中，因变量是（ ）
A. 35 B. 和 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一部电影的票价为每张35元，某日共售出张该电影的电影票，票房收入为元，可得：，得出随着的变化而变化，因变量为．
【详解】解：由题意，得：；
∴随着的变化而变化，
∴是自变量，是因变量，是常量；
故选D．
【点睛】本题考查因变量，自变量和常量．熟练掌握因变量随着自变量变化而变化，是解题的关键．
4. 如图所示，直线，点C，A分别在直线a，b上，，若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质，余角的性质计算即可，本题考查了平行线的性质，余角，熟练掌握平行线性质是解题的关键．
【详解】如图所示，
∵直线，
∴，
，
故选：A．
5. 下列运算正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式．根据同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式分别计算即可得出答案．
详解】解：A、，故选项符合题意；
B、 ，故选项不符合题意；
C、 ，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：A．
6. 如图所示，，，下列说法不正确的是（ ）
A. 点B到的垂线段是线段 B. 点C到的垂线段是线段
C. 线段是点D到的垂线段 D. 线段是点B到的垂线段
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂线段的定义，熟练掌握过直线外一点作这条直线的垂线，这点与垂足构成的线段叫垂线段是解此题的关键；根据垂线段的定义逐项判断即可；
【详解】解：、点B到的垂线段是线段，说法正确，故本选项不符合题意；
、点C到的垂线段是线段，说法正确，故本选项不符合题意；
、线段是点A到的垂线段，原说法错误，故本选项符合题意；
、线段是点B到的垂线段，说法正确，故本选项不符合题意；
故选：．
7. 下列多项式乘法中，运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，利用平方差公式和完全平方公式逐项计算即可，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的应用．
【详解】、，不符合题意；
、，不符合题意；
、，符合题意；
、，不符合题意；
故选：．
8. 如图，折线描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的关系，下列说法中错误的是（ ）
A. 第9分钟时汽车的速度是60千米/时
B. 从第3分钟到第6分钟，汽车停止
C. 从第9分钟到第12分钟，汽车的速度逐渐减小
D. 第12分钟时汽车的速度是0千米/时
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象提供的信息逐项判断即得答案.
【详解】解：A、第9分钟时汽车的速度是60千米/时，说法正确，故本选项不符合题意；
B、从第3分钟到第6分钟，汽车匀速运动，速度是40千米/时，故本选项说法错误，符合题意；
C、从第9分钟到第12分钟，汽车的速度逐渐减小，说法正确，故本选项不符合题意；
D、第12分钟时汽车的速度是0千米/时，说法正确，故本选项不符合题意；
故选：B.
【点睛】本题考查了利用图象描述变量之间的关系，读懂图象信息是解题的关键.
9. 已知的乘积项中不含项，则m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式法则，解题的关键是合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同，不含某一项就是说这一项的系数为0．
【详解】解：
∵的乘积项中不含项，
∴，
解得，
故选：A．
10. 如图，，平分，平分，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，垂线，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理．
由可得，由平分可得，故①不正确，⑤正确；由平分，平分，可得，故②正确；由可得，从而可得，故③正确；由可得，从而可得，
由可得，可得，故④正确．
【详解】解：，
，
平分，
，
故①不正确，⑤正确；
平分，平分，
，
，
，
∴，故②正确；
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，故④正确．
故正确结论为：②③④⑤，
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：_________
【答案】
【解析】
【分析】按照先乘方后乘除的顺序计算即可
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12. 已知，与互余，则的补角是______．
【答案】##130度
【解析】
【分析】此题考查的是互余互补的含义，两角互余和为，两角互补和为．首先根据余角的概念求出的度数，然后根据补角的概念求解即可．
【详解】解：∵，与互余，
∴，
∴的补角是．
故答案为：．
13. 若多项式是一个完全平方式，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据两平方项确定出这两个数和4，再根据完全平方公式求解即可．
【详解】∵，
∴，
解得：．
故答案为：±16．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数．
14. 如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．根据图中的程序算法过程，可得与之间的关系式是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据流程图的顺序列出式子，再化简即可．
【详解】解：由题意可得：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了程序框图和算法，解题的关键是根据所给顺序正确列式．
15. 如图，，，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了对顶角的性质，领补角的性质，平行线的性质与判定，过作，则，再通过对顶角的性质，领补角的性质，平行线的性质即可求解，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16. 计算：
（1）；
（2）．（用简便方法计算）
【答案】（1）4； （2）1．
【解析】
【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂计算即可求解；
（2）根据平方差公式进行计算即可求解．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂有理数的乘方，平方差公式，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
17. （1）计算：；
（2）先化简再求值：，其中，．
【答案】（1）；（2），8．
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的混合计算，整式的化简求值：
（1）先计算同底数幂乘除法，积的乘方，再合并同类项即可；
（2）先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式，最后代值计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）解：
，
当，时，原式．
18. 如图，为的延长线上一点．
（1）用尺规作图的方法在上方作，使；
（2）在（1）的条件下，若，恰好平分，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）以C为顶点，作即可；
（2）根据已知判断出，从而根据平行线的性质求出，关键角平分线的定义得到，再根据邻补角求出结果．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解决此类问题的关键．也考查了平行线的判定和性质以及角平分线的定义．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 根据已知条件求值．
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）40 （2）8
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方，正确的计算是解题的关键．
（1）根据逆用同底数幂的乘法和幂的乘方，进行计算即可求解；
（2）根据幂的乘方与同底数幂乘法运算法则，进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴．
20. 王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据：
行驶的路程s（km） 0 100 200 300 400 …
油箱剩余油量Q（L） 50 42 34 26 18 …
（1）在这个问题中，自变量是_______，因变量是________；
（2）该轿车油箱的容量为________L，行驶时，油箱中的剩余油量为________L；
（3）请写出两个变量之间的关系式；（用s来表示Q）；
（4）王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为22L，请求出A，B两地之间的距离．
【答案】（1）行驶的路程，油箱剩余油量；
（2）50，38； （3）
（4）350
【解析】
【分析】（1）通过观察统计表可知：轿车行驶的路程是因变量，油箱剩余油量是因变量；
（2）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，耗油，据此可得答案；
（3）每行驶，耗油，结合开始油箱中的油为解答即可；
（4）把代入（3）的函数关系式求得相应的值即可．
【小问1详解】
上表反映了轿车行驶的路程和油箱剩余油量之间的关系，
故其中轿车行驶的路程是自变量，油箱剩余油量是因变量；
故答案为：行驶的路程，油箱剩余油量；
【小问2详解】
由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，耗油8L，
所以当时，，
故答案为：50，38；
【小问3详解】
因为开始油箱中的油为，每行驶，耗油8L，
所以与的关系式为：，
【小问4详解】
由（3）得，
当时，，
解得，
故A，B两地之间的距离为350，
【点睛】此题考查了函数的有关概念，解决问题的关键是能够根据统计表提供的信息，解决有关的实际问题．
21. 如图，，
（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若是的平分线，，求的度数．
【答案】（1），证明见解析
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟知平行线和角平分线的性质．
（1）先根据，得到，再根据得到故可求解；
（2）先求出，得到，根据平行线的性质即可得到的度数．
【小问1详解】
证明：，理由如下：
∵，
，
∵，
，
∴；
【小问2详解】
∵， ，
平分
，
∵，
．
五、解答题（三）共（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个．
（1）用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式_______；
（2）用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________；
根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：
（3）直接写出下列问题答案：
①若，，则________；
②若，则________．
（4）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）①；②13
（4）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用．
（1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得；
（2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得；
（3）①利用，代入求值即可，②利用代入求值即可；
（4），，，，可以利用代入求值即可．
【小问1详解】
解：图1中，由图可知，
，
由题意得，，
即，
故答案为：．
【小问2详解】
图2中，由图可知，，，
由题图可知，，
即，
故答案为：．
【小问3详解】
解：①由图2可得，
，，
，
．
故答案为：．
②由图1可得，
，
，
原式．
故答案为：13．
【小问4详解】
解：由题意得，
，
，
，
，
，
，
∴．
即图中阴影部分的面积为．
23. 综合与实践
【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且和，，，．
（1）在图1中，，求的度数；
【深入探究】
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由；
【拓展应用】
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）；（2）见分析；（3），理由见分析．
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线定义、平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理．
（1）根据、及的和为可求出，根据平行线的性质解答；
（2）过点B作，根据平行线的性质得到，，结合图形计算，证明结论；
（3）过点作，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可．
【详解】（1）解：如答图1，
，，
，
，
；
（2）解：理由如下：
如答图2，过点B作，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
理由如下：
如答图3，过点C作，
，
平分，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
