2024年中考模拟试题（一）
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在各题答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1. 如图，数轴上点表示向东走了，则点表示（ ）
A. 向东走 B. 向南走 C. 向西走 D. 向北走
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相反意义的量，根据数轴可得点、点分别在数轴原点的两边，且距离原点的距离相等，得出表示相反意义的量，即可得出答案．
【详解】解： 数轴可得，点、点分别在数轴原点的两边，且距离原点的距离相等，
点表示向东走了，则点表示向西走，
故选：C．
2. 2024年3月31日，肇庆市举行了半程马拉松比赛，在春天的怀抱中，来自四面八方约14000名跑者们共襄盛举，用他们的汗水和坚持在肇庆这片历史与自然交融的土地上谱写了一曲壮丽的奔跑乐章．半程马拉松的距离 是21.0975公里，即21097.5米．21097.5可以用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法．将一个数字表示成的形式，而且表示整数，据此解答即可．
【详解】解：．
故选C．
3. 如图，将一个直角三角板按如图的方式摆放，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根据平行线性质求角度，根据两直线平行，内错角相等即可得解．
【详解】解：，，
，
故选：B．
4. 将直线向上平移3个单位长度，得到的直线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：直线向上平移个单位得到的直线解析式是．
故选：C．
5. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ）
A. 1.37米 B. 0.76米 C. 1.22米 D. 1.24米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，
∴，
∵米，
∴（米），
∴a约为1.24米，
故选：D．
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
【详解】解：由得，
由得，
解集在数轴上表示为：
，
则不等式组的解集为．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7. 如图，是的两条直径，E是的中点，连接，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理等知识，连接，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
故选：B．
8. 下列运算正确的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则，同底幂相乘法则，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断：
【详解】A．和不是同类项，不可合并，选项错误；
B．应为，选项错误；
C．，选项正确；
D．应为，选项错误．
故选C．
9. 如图，在正方形中，E为的中点，F为上一点（不与B，C重合），将沿所在的直线折叠，得到，连接．当时，的值是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的性质得，由E为的中点，得，由折叠得，则，而，可证明是等边三角形，则，求得，，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
由折叠得，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，求得是解题的关键．
10. 如图，抛物线的顶点为点，与轴交于点，点是轴上的一个动点，当的值最小时，的值是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，最短路径问题的解决方法．先求出，从而得到点关于轴的对称点的坐标为，再把解析式配成顶点式得到，连接交轴于，如图，根据两点之间线段最短可判断此时的值最小，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，然后确定点坐标，从而得到的值．
【详解】解：当时，，则，
点关于轴的对称点的坐标为，
，
，
连接交轴于，如图，
，
此时的值最小，
设直线的解析式为，
把代入得，解得，
直线的解析式为，
当时，，解得，
此时点坐标为，即．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为_______．
【答案】
【解析】
【详解】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，所以黄灯的概率是
故答案是：
13. 如图是一种常用于危险区域的告示牌，其主体由2块长度相等的支撑板组成，通过改变2块支撑板夹角的度数可以调整告示牌高度，如图是告示牌打开后的侧面示意图，经测量支撑板的长度，支撑板与地面的夹角，则点处到地面的距离______．（结果精确到，参考数据，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，直接利用正弦的定义求解即可得出答案，熟练掌握正弦等于对边与斜边的比是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：在中，，，
，
，
故答案为：．
14. 如题图，在中，，，以为直径的与相交于点．若，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质，求出，结合推出，，再根据，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接、，
，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15. 如图，点在以为直径的半圆上，是半圆上不与点重合的动点．连接，是的中点，过点作于点．若，则的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆的性质、三角形中位线定理，延长至，使，连接，结合题意得出即点在圆上，由三角形中位线定理得出，则当经过原点时，有最大值为，此时有最大值，即可得解．
详解】解：如图，延长至，使，连接，
，
，
点、关于直线对称，即点在圆上，
是的中点，
，
当经过原点时，有最大值为，此时有最大值，为，
故答案为：．
三、解答题（每小题8分，共24分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先计算绝对值、特殊角的三角函数值、乘方，再计算加减即可得出答案；
（2）根据同分母分式直接相加，再约分即可得出答案．
【详解】解：（1），
；
（2）
．
17. 农历新年前，小龙打算和妈妈一起到商场采购贺岁迎新的饰品，预算买该饰品的金额是60元，下面是两人走到第二家商场时的对话，请根据对话，求出第一家商场该饰品的单价．
【答案】第一家商场该饰品的单价是10元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．设第一家商场该饰品的单价是元，则第二家商场该饰品的单价是元，根据用60元买该饰品，在第二家商场比在第一家商场少买2件，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设第一家商场该饰品的单价是元，则第二家商场该饰品的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第一家商场该饰品的单价是10元．
18. 如图，在四边形中，．
（1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）在（1）所作图形中，证明：四边形为菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用基本作图作的垂直平分线即可；
（2）由平行线的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，，证明得出，即可得证．
【小问1详解】
解：根据题意，画图如下
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
四、解答题（每小题9分，共27分）
19. 主题：用彩带对长方体礼盒进行装饰；
素材：一个长方体礼盒，一条彩带．
步骤1：如图1，将彩带按粘贴到长方体礼盒上．
步骤2：将礼盒展开成如图2所示的平面板块．
猜想与计算：
（1）请在图2中画出、两条线段
（2）已知礼盒底面的长、宽均为，高为，，点C为所在棱的中点，求彩带全长．
【答案】（1）见解析 （2）彩带全长为
【解析】
【分析】本题考查的是长方体的展开图，勾股定理的应用，化为最简二次根式，理解展开图的形状是解本题的关键．
（1）结合长方体的展开图的形状画出线段、即可；
（2）如图，利用勾股定理先求解，，可得B为所在棱的中点 ，C为所在棱的中点，再进一步解答可得答案．
【小问1详解】
解：如图所示
【小问2详解】
如图，
∵底面的长、宽均为，，
∴，
∵高为，
∴B为所在棱的中点 ，
∵C为所在棱的中点，
∴，，
∴彩带全长为：
．
20. 有很多大学生成为职业农民，他们被称为“新农人”，其中有不少人凭借自己的专业知识，做出了一番成就，小张就是一名90后“新农人”，今年他带领乡亲种植了甲、乙两种新品西瓜，为了了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查，在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面是两种西瓜得分的统计图表．
甲、乙两种西瓜得分表
样品序号 1 2 3 4 5 6 7
甲种西瓜 75 85 86 88 90 96 96
乙种西瓜 80 83 87 90 90 92 94
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲种西瓜中位数______；，乙种西瓜众数______．
（2）从折线统计图看，两种西瓜的得分的方差______（填“”或“”）；
（3）宋超认为甲种西瓜的品质较好，李军认为乙种西瓜的品质较好，请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．
【答案】（1）88，91
（2）
（3）见详解
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差、折线统计图，熟练掌握相关知识并结合题意分析问题是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的概念即可解答；
（2）根据方差的概念即可解答；
（3）结合统计图表中的统计数据分析即可解答．
【小问1详解】
解：将甲品种的西瓜得分从小到大排列，可以发现一共7个数据，中位数是最中间的第4个数据为88，所以这组数据的中位数为88；
根据乙品种的得分，可以看出90出现的次数最多，所以这组数据的众数为90．
故答案为：88，90．
【小问2详解】
从折线统计图可以看出，甲品种的西瓜得分比乙品种的得分数据波动更大，离散程度更大，稳定性较小，
所以，
故答案为：．
【小问3详解】
解：，，
甲种西瓜的众数为96，乙种的为90，
甲种西瓜的中位数为88，乙种的为90，
所以，当两种西瓜的平均数都为88的时候，
甲种西瓜的品质较好些，理由为：甲种西瓜得分的众数比乙种的高；
乙种西瓜的品质较好些，理由为：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高（答案不唯一，理由合理即可）．
21. 已知点A在反比例函数的图象上，以为边长作正方形，使正方形顶点B，C在x轴上方，与y轴的夹角为．
（1）如图1，当点B在y轴上时，求点A坐标；
（2）如图2，当时，与y轴相交于点D，若，求点B的坐标．
【答案】（1）点A的坐标为
（2）点B坐标为
【解析】
【分析】（1）过点A作轴于点E，根据正方形的性质得出，，根据，得出，求出，即可得出答案；
（2）过点A作轴于点E，过B作轴于点F，证明，，，设，则，得出，求出，
，得出答案即可．
【小问1详解】
解：如图1，过点A作轴于点E，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点A的坐标为；
【小问2详解】
解：如图2，过点A作轴于点E，过B作轴于点F．
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴设，则，
中，
得，
∵，
∴，
∴．
∴点B坐标．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，正方形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
五、解答题（每小题12分，共24分）
22. 如图1，为直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点，延长至．
（1）求证：平分；
（2）如图2，若，，点是半圆的中点，连接，．
①求；
②求的长．
【答案】（1）见解析 （2）①；
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）由切线的性质可得，结合推出，由平行线的性质结合等边对等角得出，即可得证；
（2）①由勾股定理得出，证明，再由正弦的定义计算即可得出答案；②过点作于点，求出，结合得出，再求出的长度，即可得解．
【小问1详解】
证明：∵切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：①∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点作于点，
，
∵点是半圆弧的中点，
∴弧弧，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23. 如图，矩形中，点在上．动点以每秒1个单位的速度从点出发，沿折线段运动．连接，过点作，交矩形的边于点，连接．已知，，．经探究，动点的运动路程为，线段与矩形的边围成三角形面积为，它们之间满足二次函数关系．
（1）在动点沿运动的过程中，与的关系如图2所示，求此时关于的函数解析式；
（2）在动点由点A→D运动的过程中，当时，点停止运动，如图3，求此时关于的函数解析式；
（3）在（1）与（2）的条件下，是否存在3个路程，，，（且），使得3个路程对应的面积S均相等，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设关于的函数解析式为：，再利用待定系数法求解即可；
（2）作于点，证明得出，即可得出，，最后根据，即可得解；
（3）由题意得出抛物线对称轴为直线，进而得出，求出，再利用判断即可．
【小问1详解】
解：设关于的函数解析式为：，
∵抛物线顶点的横坐标为3，
∴抛物线为
∵抛物线与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为，
∴，
解得：，
∴关于的函数解析式为：．
【小问2详解】
解：如图，作于点，则四边形为矩形，
，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，，．经探究，动点的运动路程为，
，，，
，
即，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：存在，理由如下：
∵由图2可知，抛物线的对称轴为直线，
∴，
当时，则
∴
即
整理，得，
∴存在3个路程，，，（），当时，3个路程对应的面积S均相等．2024年中考模拟试题（一）
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在各题答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1. 如图，数轴上点表示向东走了，则点表示（ ）
A. 向东走 B. 向南走 C. 向西走 D. 向北走
2. 2024年3月31日，肇庆市举行了半程马拉松比赛，在春天的怀抱中，来自四面八方约14000名跑者们共襄盛举，用他们的汗水和坚持在肇庆这片历史与自然交融的土地上谱写了一曲壮丽的奔跑乐章．半程马拉松的距离 是21.0975公里，即21097.5米．21097.5可以用科学记数法表示为（ ）
A B.
C. D.
3. 如图，将一个直角三角板按如图的方式摆放，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 将直线向上平移3个单位长度，得到的直线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
5. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ）
A. 1.37米 B. 0.76米 C. 1.22米 D. 1.24米
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，是的两条直径，E是的中点，连接，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 下列运算正确的是
A B. C. D.
9. 如图，在正方形中，E为的中点，F为上一点（不与B，C重合），将沿所在的直线折叠，得到，连接．当时，的值是（ ）
A. 1 B. C. D.
10. 如图，抛物线的顶点为点，与轴交于点，点是轴上的一个动点，当的值最小时，的值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算______．
12. 某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为_______．
13. 如图是一种常用于危险区域的告示牌，其主体由2块长度相等的支撑板组成，通过改变2块支撑板夹角的度数可以调整告示牌高度，如图是告示牌打开后的侧面示意图，经测量支撑板的长度，支撑板与地面的夹角，则点处到地面的距离______．（结果精确到，参考数据，，）
14. 如题图，在中，，，以为直径的与相交于点．若，则图中阴影部分的面积是______．
15. 如图，点在以为直径半圆上，是半圆上不与点重合的动点．连接，是的中点，过点作于点．若，则的最大值是______．
三、解答题（每小题8分，共24分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
17. 农历新年前，小龙打算和妈妈一起到商场采购贺岁迎新的饰品，预算买该饰品的金额是60元，下面是两人走到第二家商场时的对话，请根据对话，求出第一家商场该饰品的单价．
18. 如图，在四边形中，．
（1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）在（1）所作图形中，证明：四边形为菱形．
四、解答题（每小题9分，共27分）
19. 主题：用彩带对长方体礼盒进行装饰；
素材：一个长方体礼盒，一条彩带．
步骤1：如图1，将彩带按粘贴到长方体礼盒上．
步骤2：将礼盒展开成如图2所示的平面板块．
猜想与计算：
（1）请图2中画出、两条线段
（2）已知礼盒底面的长、宽均为，高为，，点C为所在棱的中点，求彩带全长．
20. 有很多大学生成为职业农民，他们被称为“新农人”，其中有不少人凭借自己的专业知识，做出了一番成就，小张就是一名90后“新农人”，今年他带领乡亲种植了甲、乙两种新品西瓜，为了了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查，在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面是两种西瓜得分的统计图表．
甲、乙两种西瓜得分表
样品序号 1 2 3 4 5 6 7
甲种西瓜 75 85 86 88 90 96 96
乙种西瓜 80 83 87 90 90 92 94
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲种西瓜中位数______；，乙种西瓜众数______．
（2）从折线统计图看，两种西瓜的得分的方差______（填“”或“”）；
（3）宋超认为甲种西瓜的品质较好，李军认为乙种西瓜的品质较好，请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．
21. 已知点A在反比例函数的图象上，以为边长作正方形，使正方形顶点B，C在x轴上方，与y轴的夹角为．
（1）如图1，当点B在y轴上时，求点A坐标；
（2）如图2，当时，与y轴相交于点D，若，求点B的坐标．
五、解答题（每小题12分，共24分）
22. 如图1，为直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点，延长至．
（1）求证：平分；
（2）如图2，若，，点是半圆的中点，连接，．
①求；
②求的长．
23. 如图，矩形中，点在上．动点以每秒1个单位的速度从点出发，沿折线段运动．连接，过点作，交矩形的边于点，连接．已知，，．经探究，动点的运动路程为，线段与矩形的边围成三角形面积为，它们之间满足二次函数关系．
（1）在动点沿运动的过程中，与的关系如图2所示，求此时关于的函数解析式；
（2）在动点由点A→D运动过程中，当时，点停止运动，如图3，求此时关于的函数解析式；
（3）在（1）与（2）的条件下，是否存在3个路程，，，（且），使得3个路程对应的面积S均相等，请说明理由．
