云梦县2023—2024学年度下学期期中学情调研
八年级数学
（本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟）
★祝考试顺利★
温馨提示：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑）
1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＋1≥0，再解即可．
【详解】解：由题意得：x＋1≥0，
解得：x≥ 1，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2. 以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，5 B. ，， C. ，， D. 9、16、25
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理．解题的关键在于用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方就可以判断各个选项中三条线段的长能否构成直角三角形，从而可得到答案．
详解】A． ，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B． 能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C． ，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D． ，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的加减乘除四则运算法则求解判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、与不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
4. 下列根式中，化简后能与进行合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了同类二次根式，化简二次根式，先把四个选项中的二次根式化简，再根据被开方数相同的二次根式才能合并进行求解即可．
【详解】解：A、能与进行合并，符合题意；
B、不能与进行合并，不符合题意；
C、不能与进行合并，不符合题意；
D、不能与进行合并，不符合题意；
故选：A．
5. 如图，在中，，点为边的中点，，，则的长为（ ）．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和直角三角形性质定理，熟记性质是解题的关键．
先由勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得的长．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
点为边的中点，
．
故选：C．
6. 如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A、由，，可以判定四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
B、由，，可以判定四边形平行四边形，本选项不符合题意；
C、由，，可以判定四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
D、由，，不能判定四边形是平行四边形，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住平行四边形的判定方法，属于基础题．
7. 如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（ ）
A. B. 8 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的性质及面积，含30度角直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质及面积是解题的关键．
根据菱形的性质得，，再利用已知条件求，根据勾股定理求出，然后根据菱形的面积计算公式进行求解即可．
【详解】
解：如图所示：和交于点O
四边形是菱形，，
，，，
，
，
在中根据勾股定理得：
，
，
，
故选：C．
8. 如图，在正方形中，E为上一点，连接，交对角线于点F，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，熟悉正方形的性质是解题的关键．
利用正方形的性质结合三角形全等求得及，再由三角形外角求得．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
9. 如图，在平行四边形中，于点，是的中点，是的中点，已知，则的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，连接交于点，连接，，易得是的中位线，是的中位线，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：连接交于点，连接，，
∵平行四边形，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
故选B．
10. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F，为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先根据矩形的性质以及勾股定理得到，，，，再由作图过程知平分，进而证明，，则，再证明，即可求得的长．
【详解】矩形中，，，
，，，
，
由作图过程知平分，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及判断出平分是解答的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
11. 计算的结果是______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据()2=a即可求解．
【详解】解：()2=2．
【点睛】本题考查了平方和平方根之间的运算以及联系．要求熟练运用乘方法则计算无理数的乘方．平方和开方是互逆运算．
12. 如图，平行四边形的周长为，与相交于点，交于点，连接，则的周长为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，解答本题的关键是判断出是线段的中垂线．
先判断出是线段的中垂线，得出，从而可得出的周长，再由平行四边形的周长为，即可得出答案．
【详解】四边形平行四边形，
，，
，
是线段的中垂线，
，
，
的周长，
又平行四边形的周长为，
∴，
故答案为：6．
13. 点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由矩形的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，进一步证明，即可得到．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是______尺．
【答案】
【解析】
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边尺，
根据勾股定理得：．
解得：，
折断处离地面的高度为尺，
故答案为：
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上的一点，连结AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处，当△CEB'为直角三角形时，CE的长为_______．
【答案】或
【解析】
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时和②当点B′落在AD边上时，根据两种情况分类讨论即可．
【详解】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图所示，
连结AC，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E＝∠B＝90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，如图，
∴EB＝EB′，AB＝AB′＝6，
∴CB′＝10 6＝4，
设BE＝x，则EB′＝x，CE＝8 x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2＋CB′2＝CE2，
∴x2＋42＝（8 x）2，
解得x＝3，
∴BE＝3，
∴CE=8-3=5；
②当点B′落在AD边上时，如图所示，
此时ABEB′为正方形，
∴BE＝AB＝6，
∴CE=8-6=2；
综上所述，CE的长为2或5．
故答案为：2或5．
【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
三、解答题（本大题共9小题，满分75分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据二次根式的性质化简，化简绝对值，零指数幂进行计算即可求解；
（）先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则计算即可；
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
解：
，
．
17. 已经，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式：
（1）根据完全平方公式得到，则；
（2）根据完全平方公式得到，则．
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
，
．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，合并化简计算后，把与代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
当，时，
原式．
19. 如图，点在平行四边形的对角线上，连接，过点作，交对角线于，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练的利用平行四边形的性质进行证明是解本题的关键．
根据平行线的性质可得，结合平行四边形的性质可得，从而可得，然后利用“角角边”定理证明三角形全等，从而求证．
【详解】证明：∵，
，
，
，
在平行四边形中，，
，
在和中，，
，
．
20. 如图，矩形的对角线相交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据已知条件得出四边形是平行四边形，根据矩形的性质得出，即可得证；
（2）证明30度直角三角形的性质可得，由勾股定理求得的长，即可求解．
【小问1详解】
证明：，，
四边形是平行四边形．
四边形是矩形，
，，．
四边形是菱形．
【小问2详解】
解：四边形是矩形，
．
．
又
设，则．
．
解得（负值舍去）．
，
又四边形是菱形
四边形的周长等于4．
21. 如图所示，矩形中，以对角线为底边，作等腰直角（点在上方），，，连接，过点作，交于．
（1）求证：；
（2）若，，连接，请求出的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得，在证，利用证，即可得出结论；
（2）根据矩形的性质和全等三角形的性质证和是等腰直角三角形，得出、，在证B、E、F三点共线 ，即可解答．
【小问1详解】
如图，设与交于点，则，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
；
【小问2详解】
如图所示，连接，
由（1）可知：
，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
而由（1）可知，
等腰直角三角形，
，，
，
，
B、E、F三点共线 ，
．
22. 2024年2月7日，云梦县楚王城公园（南片）开园迎客．开园当天，建设东路年货集市、非遗赶大集、文艺晚会和烟火晚会等丰富多彩的文娱活动精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“云上王城，龙凤呈祥”的美好图景．如图，公园在建设东路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
（1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
【答案】（1）120米
（2）需要封锁的公路长为100米，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键；
（1）过C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，且，再由三角形面积求的得长即可；
（2）过C作，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，根据，判断有危险，再根据勾股定理求出，进而求出即可．
【小问1详解】
由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米；
【小问2详解】
按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
23. （1）【问题发现】学习矩形后，小明发现：矩形两条对角线的平方和，等于它四边的平方和，即：如图1，在矩形中，有，请你证明小明的发现的正确性．
（2）【一般探究】如图2，在中，小明的发现还成立吗？请说明理由．
（3）【拓展应用】如图3，在中，为的中点，，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，掌握矩形的性质，平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
（1）根据矩形的性质，勾股定理即可证明结论；
（2）分别过点作的垂线，垂足分别为，利用勾股定理得到，，即可证明结论；
（3）延长到，使，连接，得到四边形是平行四边形，由（2）可知：，即可得出，即可得出．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，，
；
（2）在中，小明的发现还成立，即：，
理由如下：
如图：分别过点作的垂线，垂足分别为，
四边形是平行四边形，
，，，
，
又，
，，
在直角三角形中，由勾股定理得：
，
同理，在直角三角形中，由勾股定理得：
，
；
（3）如图，延长到，使，连接，
，，
四边形是平行四边形，
由（2）可知：，
，
．
24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是边上一点，连接，以为一边在的右侧作正方形，连接．
（1）求证：．
（2）若，求点的坐标．
（3）如图，当点在上运动时，请直接写出的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
（3）．
【解析】
【分析】（）利用证明即可求证；
（）如图，过点作轴于，过点作轴于，证明，得到，，可得，，即可求解；
（）如图，过点作轴于，延长至，使，证明得到，，可得，进而可证得到，即得，可知当点共线时，最小，最小值等于的长，利用勾股定理求出的长即可求解．
小问1详解】
证明：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，过点作轴于，过点作轴于，则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
【小问3详解】
解：如图，过点作轴于，延长至，使，则，
∵四边形、四边形都为正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
当点共线时，最小，最小值等于的长，
∵，，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，余角性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．云梦县2023—2024学年度下学期期中学情调研
八年级数学
（本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟）
★祝考试顺利★
温馨提示：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑）
1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，5 B. ，， C. ，， D. 9、16、25
3. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列根式中，化简后能与进行合并是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，点为边的中点，，，则的长为（ ）．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7. 如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（ ）
A. B. 8 C. D.
8. 如图，在正方形中，E为上一点，连接，交对角线于点F，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在平行四边形中，于点，是中点，是的中点，已知，则的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. D.
10. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F，为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
11. 计算的结果是______.
12. 如图，平行四边形的周长为，与相交于点，交于点，连接，则的周长为______．
13. 点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则______．
14. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是______尺．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连结AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处，当△CEB'为直角三角形时，CE的长为_______．
三、解答题（本大题共9小题，满分75分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）
16 计算：
（1）；
（2）．
17. 已经，求下列各式值：
（1）；
（2）．
18. 先化简，再求值：，其中，．
19. 如图，点在平行四边形的对角线上，连接，过点作，交对角线于，求证：．
20. 如图，矩形的对角线相交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的周长．
21. 如图所示，矩形中，以对角线为底边，作等腰直角（点在上方），，，连接，过点作，交于．
（1）求证：；
（2）若，，连接，请求出的长．
22. 2024年2月7日，云梦县楚王城公园（南片）开园迎客．开园当天，建设东路年货集市、非遗赶大集、文艺晚会和烟火晚会等丰富多彩的文娱活动精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“云上王城，龙凤呈祥”的美好图景．如图，公园在建设东路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
（1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
23. （1）【问题发现】学习矩形后，小明发现：矩形两条对角线的平方和，等于它四边的平方和，即：如图1，在矩形中，有，请你证明小明的发现的正确性．
（2）【一般探究】如图2，在中，小明的发现还成立吗？请说明理由．
（3）【拓展应用】如图3，在中，为的中点，，，，求的长．
24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是边上一点，连接，以为一边在的右侧作正方形，连接．
（1）求证：．
（2）若，求点的坐标．
（3）如图，当点在上运动时，请直接写出的最小值．
