2023学年第二学期八年级期中考数学学科试题卷
（分值120分 时间120分钟）
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 若有意义，则a的值可以是（ ）
A. B. 0 C. 3 D. 8
2. 已知是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 2
3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，，，点D在边上，以，为边作平行四边形，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列各式中，计算正确是( )
A. B. C. D.
6. A，B两名田径运动员进行了相同次数的100米跑测试，下列关于他们跑步成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
7. 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为，那么满足的方程是（）
A. B.
C. D.
8. 如图，河坝横断面迎水坡坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是（ ）．
A. B. C. D.
9. 已知P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，则最小内角的度数是（ ）
A. B. C. D.
10. 对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述：
①当时， 方程一定没有实数根
②当时，方程一定有实数根
③当时， 方程一定没有实数根
④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 已知一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为______．
12. 当ａ＝－2时，二次根式的值是___________．
13. 一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则方差是_____．
14 若实数满足，则__________．
15. 如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，，则的长为_________．
16. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_________．
三、解答题（第17~19题每题6分，第20~21题每题8分，第22~23题每题10分，第24题12分，共66分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 解下列方程：
（1）
（2）
19. 问题：如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上（不与点A，C重合），连接，，，．若______，求证：四边形是平行四边形．
请在①，②，③中只选择一个作为条件，把序号补充在问题横线上，并完成问题的解答．
20. 图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影．
（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形．
（请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
21. 某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示：
候选人 文化水平 艺术水平 组织能力
甲 80分 87分 82分
乙 80分 96分 76分
（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
（2）如果想录取一名组织能力较强候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？
22. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，用配方法解方程．
23. 根据以下销售情况，解决销售任务．
销售情况分析
总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出25件，每件盈利40元． 每天可售出40件，每件盈利30元．
市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．
情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元．
任务解决
任务1 甲店每天的销售量_______（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量_______（用含的代数式表示）．
任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利．
任务3 总公司规定两家分店下降价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2550元．
24. 如图，已知直线经过，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上
①求点C和点D的坐标；
②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，否则说明理由．2023学年第二学期八年级期中考数学学科试题卷
（分值120分 时间120分钟）
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 若有意义，则a的值可以是（ ）
A. B. 0 C. 3 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．由题意可得，然后即可求解．
【详解】解： 有意义，
，即，
符合题意，
故选：D．
2. 已知是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】把代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，将方程的根代入原方程是解题的关键．
3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键．
【详解】解：A、被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
4. 如图，在中，，，点D在边上，以，为边作平行四边形，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形，平行四边形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键．根据为等腰三角形，，可求出，根据四边形为平行四边形，得到，，再根据平行线性质，可得到，，即可得解．
【详解】解： 在中，，
，
又，
，
四边形为平行四边形，
，，
，．
故选：B．
5. 下列各式中，计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，结合选项进行判断即可．
【详解】A、与不是同类项，不能进行合并，故本选项错误；
B., 故本选项错误；
C. , 故本选项正确；
D. ，故本选项错误.
【点睛】本题考查了二次根式的化简及同类二次根式的合并，掌握各部分的运算法则是关键．
6. A，B两名田径运动员进行了相同次数的100米跑测试，下列关于他们跑步成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）
A 且 B. 且
C. 且 D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可．此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定．
【详解】解：根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定．
故选：C．
7. 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为，那么满足的方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由该农机厂四月份的产量及五、六月份平均每月的增长率，可得出该农机厂五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，再结合该农机厂第二季度共生产零件182万个，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵该农机厂四月份生产零件50万个，五、六月份平均每月的增长率为，
∴该农机厂五月份生产零件万个，六月份生产零件万个．
根据题意得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【详解】由图可知，，即，
∴，
∴（m）．
故选．
【点睛】此题主要考查学生对坡度、坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
9. 已知P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，则最小内角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．将绕点逆时针旋转得到，可得以，，线段为边的三角形，即，最小的锐角为，根据邻补角以及旋转的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，
，，，，
为等边三角形，
，
以，，线段为边的三角形，即，最小的锐角为，
，
，
，
．
故选：B．
10. 对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述：
①当时， 方程一定没有实数根
②当时，方程一定有实数根
③当时， 方程一定没有实数根
④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此逐一判断即可．
【详解】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
②∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴方程一定有实数根，原说法正确；
③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
④∵，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，原说法错误；
故选：B．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 已知一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为______．
【答案】8##八
【解析】
【分析】本题考查多边形的外角和，根据多边形的外角和为，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：这个多边形的边数为，
故答案为：8．
12. 当ａ＝－2时，二次根式的值是___________．
【答案】2
【解析】
【分析】把a=-2代入二次根式，即可得解为2．
故答案为2.
【详解】解：当a=-2时，二次根式==2.
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，比较简单．
13. 一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则方差是_____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了众数，中位数，方差的含义，理解概念并灵活应用是解本题的关键．根据题意可得：x的值只能是1，5，7中的一个，再由中位数是6，可得，即可求解．
【详解】解： 一组数据1，x，5，7有唯一的众数，
x的值只能是1，5，7中的一个，
中位数是6，
，
平均数是，方差是．
故答案为：6．
14. 若实数满足，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查非负数求值，涉及完全平方公式、算术平方根的性质，熟悉相关知识点是解题关键．
用完全平方公式、算术平方根的性质变形，让非负数为零即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
解得，
∴，
故答案为：
15. 如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，，则的长为_________．
【答案】5
【解析】
【分析】连接，根据基本作图，得到，利用平行四边形的性质，得，在中，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示，连接，
根据基本作图，可设，
∵，，，
∴，，，
在中，，由勾股定理得，
∴，
解得，
即，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的基本作图，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
16. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_________．
【答案】2024
【解析】
【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．
【详解】解： 关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，
，
，
，
解得，
，
，
，
最小值2024．
故答案为：2024．
三、解答题（第17~19题每题6分，第20~21题每题8分，第22~23题每题10分，第24题12分，共66分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）4．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂：
（1）先化简二次根式和去绝对值，再计算加减法即可；
（2）先计算算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程：
（1）方程移项后，运用直接开平方法求解即可；
（2）方程运用配方法求解即可
【小问1详解】
解：，
，
∴，
【小问2详解】
解：
，
，
，
∴，
19. 问题：如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上（不与点A，C重合），连接，，，．若______，求证：四边形是平行四边形．
请在①，②，③中只选择一个作为条件，把序号补充在问题横线上，并完成问题的解答．
【答案】选择①；解答见解析或选择②；解答见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和判定进行解答即可．
【详解】解：选择①，连接交于点O，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
选择②，连接交于点O，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
③当时，不能判定四边形平行四边形．
故答案为：①；解答见解析或②；解答见解析．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质．
20. 图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影．
（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形．
（请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【答案】（1）图见解析；
（2）图见解析；
【解析】
【分析】本题考查了利用轴对称和中心对称设计图案，掌握轴对称和中心对称图形的概念是解题的关键．
（1）根据轴对称图形的定义画出图形，同时保证非中心对称图形即可（答案不唯一）；
（2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）；
【小问1详解】
组成一个轴对称图形而非中心对称图形如图所示，
【小问2详解】
组成一个中心对称图形而非轴对称图形如图所示，
21. 某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示：
候选人 文化水平 艺术水平 组织能力
甲 80分 87分 82分
乙 80分 96分 76分
（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？
【答案】（1）乙的综合成绩比甲的高，所以应该录取乙
（2）甲的综合成绩比乙的高，所以应该录取甲
【解析】
【分析】（1）根据算术平均数的定义列式计算可得；
（2）根据加权平均数的定义列式计算可得．
【小问1详解】
解：甲的综合成绩为（分），
乙的综合成绩为（分）．
因为乙的综合成绩比甲的高，所以应该录取乙；
【小问2详解】
解：甲的综合成绩为（分），
乙的综合成绩为（分）．
因为甲的综合成绩比乙的高，所以应该录取甲．
【点睛】本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算公式．
22. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，用配方法解方程．
【答案】（1）且
（2），
【解析】
【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将代入，利用配方法解方程即可．
【小问1详解】
解：依题意得：，
解得且；
【小问2详解】
解：当时，原方程变为：，
则有：，
，
，
方程的根为，．
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．
23. 根据以下销售情况，解决销售任务．
销售情况分析
总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出25件，每件盈利40元． 每天可售出40件，每件盈利30元．
市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．
情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元．
任务解决
任务1 甲店每天销售量_______（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量_______（用含的代数式表示）．
任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利．
任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2550元．
【答案】任务1：；；
任务2：甲店每天的盈利为1225元；乙店每天的盈利为1248元；
任务3：每件衬衫下降10元．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
任务1：由每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件，即可得出结论；
任务2：由盈利＝每件盈利×销售量，分别列式计算即可；
任务3：设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2550元，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：任务1： 每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．
甲店每件衬衫降价元，每天销售量为：，
乙店每件衬衫降价元，每天销售量为：，
任务2：当时，甲店每天的销售量为：，
甲店每天的盈利为：（元）；
当时，乙店每天的销售量为：，
乙店每天的盈利为：（元）；
任务3：设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2550元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
由于当时，增加的销量为不为整数，故舍去．
所以每件衬衫下降10元时，两家分店一天的盈利和为2550元．
答：每件衬衫下降10元时，两家分店一天的盈利和为2550元．
24. 如图，已知直线经过，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上
①求点C和点D的坐标；
②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，否则说明理由．
【答案】（1）； （2）①C ，D ；②存在，，或
【解析】
【分析】（1）由题意根据点A，B的坐标，利用待定系数即可求出直线的解析式；
（2）①根据题意过点D作于点E，利用全等三角形的判定先证△BOC≌△CED，可求出DE、OC的长，进而即可得出点C和点D的坐标；
②根据题意设点Q坐标为（n，- n+3），分CD为边和CD为对角线两种情况考虑：当CD为边时，由C，D的坐标及点P的横坐标可求出n值，进而可得出点Q，Q′的坐标；当CD为对角线时，由C，D的坐标及点P的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出n值，进而可得出点Q″的值．
【详解】解：（1）将，代入得：
解得
直线AB得表达式为．
（2）①过点D作于点E，
，，
．又，
，
，．
设，则点D得坐标为，
点D在直线AB上，
，
，
点C得坐标为，点D得坐标为．
②存在点Q得坐标为，或．
理由如下：
设点Q的坐标为（n，- n+3）．
分两种情况考虑，如图2所示：
当CD为边时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴0-n=4-1或n-0=4-1，
∴n=-3或n=3，
∴点Q的坐标为（3，），点Q′的坐标为（-3，）；
当CD为对角线时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴n+0=1+4，
∴n=5，
∴点Q″的坐标为（5，）．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，），（-3，）或（5，）．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出直线AB的表达式以及分CD为边和CD为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点Q的坐标．
