2024年山西省初中学业水平考试
数学
注意事项：
1.本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 4
2. 长征二号丁遥四十五运载火箭在太原卫星发射中心点火升空，成功将高光谱综合观测卫星送入预定轨道，该卫星搭载的可见短波红外高光谱相机最高光谱分辨率达到．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，移走其中一个小正方体后，左视图发生了变化，则移走的小正方体是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，直尺上摆放了一个含角的直角三角板，当时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 在当今科技飞速发展的时代，科技馆已经成为人们接触科学、感受科技魅力、培养创新精神的重要场所．如图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．小宣同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则小宣最后进入“科技与生活”展厅的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，是的切线，连接交于点，是上一点，连接，，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在打开房门时，将门扇绕着门轴逆时针旋转后可以开到最大，若门扇的宽度，则旋转过程中点经过的路径长为（ ）
A. B. C. D.
9. 茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系，如图，是一款上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面的高度与注水时间关系是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图①，边长为的正方形的顶点C，D在正六边形的内部，如图②，将正方形沿向右平移一定距离，得到正方形 （顶点A，B，C，D平移后的对应点分别为，，，），此时点恰好落在边上，连接，则的长为（ ）
A. B. 4 C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：结果是________．
12. 数学美的表现形式是多种多样的，如图是由一些火柴搭成的“美”字的图案．图①中用了根火柴，图②中用了根火柴，图③中用了根火柴，…，按照此规律，图中用了________根火柴（用含的代数式表示）．
13. 藤球是一项古老而独特体育运动项目，有着悠久的历史，又叫“脚踢的排球”．下表是学校藤球队中四名同学成绩的平均数及方差，若要从这四名队员中，选择一名成绩好且状态稳定的选手代表学校参加市藤球赛，应选择________同学．
甲 乙 丙 丁
/分 96 98 96 98
3 3 0.4 0.4
14. 如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于M， N两点，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交于点E，交的延长线于点F，连接，若点E恰好是的中点，则的度数为________．
15. 如图，在四边形中，，点C是边上一点，且，，取的三等分点，连接，过点C作交于点G，延长交于点H，若，则的长为________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算：
（1）；
（2）．
17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，，连接并延长交反比例函数的图象于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）请直接写出点C的坐标．
18. 问题情境：
自2025年起，山西省普通高考将实行“”模式，即3门统考科目（语文、数学、外语）门首选科目（2选1，即在物理、历史中选1门）门再选科目（4选2，即在思想政治、地理、化学、生物中选2门），为便于统计，将语文、数学、外语、物理、历史、思想政治、地理、化学、生物简称为语、数、外、物、史、政、地、化、生．
抽样预选统计：
随机抽取部分高一新生，并让其进行预选，预选出的结果有五种，分别为“物化生”“史地政”“物化政”“物化地”“史政生”，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图请你分析统计图提供的信息，并解答下列问题．
（1）本次抽取的总人数是 人，扇形统计图中，“物化政”所对应的圆心角的度数为 ，“物化地”所占百分比为 ；
（2）请补全条形统计图；
预测交流反思：
（3）根据学生的预选情况，你能得到什么结论．（写出一个即可）
19. 忻州市五台县近年来结合“核桃富民”战略的优势，以低成本投入在核桃树下种植蘑菇菌棒，打造林下经济试点，开辟农民增收致富的新渠道．现有A，B两种菌棒，已知张伯伯种植的每个A种菌棒平均收获蘑菇的重量是每个B种菌棒的倍，若要两种菌棒各可收获蘑菇千克，B种菌棒需种植的个数比A种菌棒多个．
（1）求每个A，B种菌棒分别平均可收获蘑菇多少千克？
（2）通过前期销售，市场反映良好，需求递增，现有千克的蘑菇需求订单，已知张伯伯现计划种植A，B两种菌棒共个，若在不增加菌棒数量的前提下，则A种菌棒至少种植多少个，张伯伯才能完成这一订单？
20. 南中环桥位于太原市南中环街西端，跨越汾河，是连接太原市东、西城区的重要通道，将沟通滨河东、西快速路和南中环街三条城市干道，对拉大城市骨架、带动城南建设具有重要意义．周末明明和亮亮在汾河公园进行课外实践作业，准备测量南中环桥副桥拱最高点到水平面的距离，于是在岸边选取两个不同的测点，分别测量该桥拱顶端的仰角，测量数据如下表（不完整）．
课题 测量南中环桥副桥拱最高点到水平面的距离
成员 明明，亮亮
测量示意图
说明：他们利用手机共享实时位置得到各自的位置如图①所示，已知此时手机地图显示图上代表实际距离．
测量示意图
说明：表示南中环桥副桥拱最高点到水平面的距离，测点，与在同一水平直线上，点，，，在同一竖直平面内．
测量数据 图①中，两人的图上距离为
图②中，，
…
求副桥拱最高点到水平面的距离（结果保留整数．参考数据：，，，，，）．
21. 阅读与思考
下面是小丽同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
x年×月×日 星期× 锐角三角形中的正弦与外接圆的直径之间的关系 根据以前学习锐角三角函数知识可知，在直角三角形中，我们把一个角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦．例如：如图①，在中，，∵，，，∴的正弦，的正弦． 此时我突发奇想，上面结果在锐角或钝角三角形中能求出来吗？恰好最近学习了圆的知识，圆中可以利用同弧进行等角转换，同时还可以构造直角三角形．如果把一个锐角三角形放在圆中是不是就能得到比值等量关系．在画图时，通过作图软件我发现这样一个结论：在锐角三角形中，每个内角的正弦值恰好等于这个内角所对的边与该三角形外接圆直径的比值，例如：如图②，锐角内接于，设，，，的直径为．则有，，．下面是我证明的过程： 证明如图，连接并延长交于点，连接， ∵是的直径， ∴， ∴（依据）， ∴， ∵＝， ∴（依据）， ∴．
任务：
（1）写出小丽的证明过程中的“依据”和“依据”；
依据： ；
依据： ；
（2）请你按照小丽的证明方法，选择或其中一个写出证明过程；
（3）如图，是等边三角形，已知该三角形外接圆的半径是，求该三角形的面积．
22. 综合与实践
问题情境：
如图，在正方形中，点E在线段上，点F在线段上，且始终满足连接，将线段绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段上，与交于点H．
数学思考：
（1）线段与的数量关系为 ，位置关系为 ；
猜想证明：
（2）如图②，再将线段绕点E逆时针旋转，得到线段（点M是点G旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由；
（3）如图③，若点G落在的延长线上，且当点H恰好为的中点时，设与交于点N，，请直接写出线段的长．
23. 综合与探究
如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线，点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式；
（2）连接，，当时，求点P的坐标；
（3）若点P在第四象限内，连接，，，其中交于点D，过点P作交于点E，记，，面积分别为，试判断是否存在最大值，若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由．2024年山西省初中学业水平考试
数学
注意事项：
1.本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了相反数的定义．根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数求解即可．
【详解】解：由相反数的定义可知，的相反数是，
故选：B．
2. 长征二号丁遥四十五运载火箭在太原卫星发射中心点火升空，成功将高光谱综合观测卫星送入预定轨道，该卫星搭载的可见短波红外高光谱相机最高光谱分辨率达到．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：数据“”用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，移走其中一个小正方体后，左视图发生了变化，则移走的小正方体是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握：从左边看得到的图形是左视图．据此解答即可．
【详解】解：单独移开①或②或④，得到的几何体的左视图与原来的几何体的左视图相同，均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
移走③，得到的几何体的左视图为一层两列两个小正方形，
∴若移走一块小正方体，几何体的左视图发生了改变，则移走的小正方体是③．
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，幂的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
5. 如图，直尺上摆放了一个含角的直角三角板，当时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查与三角板有关的角度计算，解题的关键是根据直角三角形两锐角互余得，根据三角形内角和定理得，平行线的性质可得结论．
【详解】解：如图，
∵一个含角的直角三角板，
∴，
∵，
∴，
由题意知：，
∴．
故选：D．
6. 在当今科技飞速发展的时代，科技馆已经成为人们接触科学、感受科技魅力、培养创新精神的重要场所．如图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．小宣同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则小宣最后进入“科技与生活”展厅的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用树状图法求概率．画树状图，共有种等可能的情况，其中小宣最后进入“科技与生活”展厅的结果有种，再由概率公式求解即可．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．解题的关键是掌握：概率所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：如图，设入口之后的三条道路分别为左，中，右，并用A表示“科技与生活”展厅，用B表示“挑战与未来”展厅，画出如下树状图：
∴由图可知，小宣通过入口后一共有种不同的可能路线，因为小宣是任选一条道路，所以走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入A展厅的有种可能，进入B展厅的有种可能，
∴进入B展厅（“科技与生活”展厅）的概率是：．
故选：C．
7. 如图，在中，是的切线，连接交于点，是上一点，连接，，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理．连接、，由切线的性质得，继而得到，根据等弧所对的圆心角相等得，再根据圆周角定理即可得解．掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：连接、，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵圆心角和圆周角所对的弧是，
∴，
即的度数为．
故选：D．
8. 如图，在打开房门时，将门扇绕着门轴逆时针旋转后可以开到最大，若门扇的宽度，则旋转过程中点经过的路径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查弧长的应用，解题的关键是掌握弧长公式，据此解答即可．
【详解】解：旋转过程中点A经过的路径长为：．
故选：B．
9. 茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系，如图，是一款上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面的高度与注水时间关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了函数图象的识别，根据茶杯的形状可以推断水面高度上升的速度，据此即可求解．
【详解】解：∵茶杯上下细中间粗，
∴水面高度茶杯中间位置上升速度较慢，A选项符合题意，
故选：A ．
10. 如图①，边长为的正方形的顶点C，D在正六边形的内部，如图②，将正方形沿向右平移一定距离，得到正方形 （顶点A，B，C，D平移后的对应点分别为，，，），此时点恰好落在边上，连接，则的长为（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，作，可推出四边形是平行四边形，得到；根据条件推出四边形是矩形，得即可求解．
【详解】解：连接，作，如图所示：
由题意得：
正六边形每一个内角度数为：
∴四边形平行四边形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴四边形是矩形
∴
解得：
故选：D
【点睛】本题考查了正多边形的性质、矩形积平行四边形的判定与性质、利用三角函数值求解边长等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：的结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是根据完全平方公式和二次根式的性质将原式化简，再进行合并即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
12. 数学美的表现形式是多种多样的，如图是由一些火柴搭成的“美”字的图案．图①中用了根火柴，图②中用了根火柴，图③中用了根火柴，…，按照此规律，图中用了________根火柴（用含的代数式表示）．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据题目中的图形，可以发现火柴根数的变化规律，从而可以得到摆第个图案用多少根火柴棒．
【详解】解：∵图①中火柴数量为，
图②中火柴数量为，
图③中火柴数量为，
……
∴摆第个图案需要火柴棒根．
故答案为：．
13. 藤球是一项古老而独特的体育运动项目，有着悠久的历史，又叫“脚踢的排球”．下表是学校藤球队中四名同学成绩的平均数及方差，若要从这四名队员中，选择一名成绩好且状态稳定的选手代表学校参加市藤球赛，应选择________同学．
甲 乙 丙 丁
/分 96 98 96 98
3 3 0.4 0.4
【答案】丁
【解析】
【分析】本题考查平均数和方差的意义，根据平均数可选出成绩好的同学是乙、丁，再根据方差的意义即可得出答案．解题关键是理解平均数和方差的意义：平均数是反映一组数据的平均水平；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小．
【详解】解：∵乙、丁的成绩平均分高于甲、丙的成绩平均分，
∴乙、丁成绩更好；
∵丁的成绩方差比乙的成绩方差小，
∴丁的成绩较稳定，
∴应选择丁同学参赛．
故答案为：丁．
14. 如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于M， N两点，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交于点E，交的延长线于点F，连接，若点E恰好是的中点，则的度数为________．
【答案】##90度
【解析】
【分析】由作图可知，是的平分线，则，由，点E恰好是的中点，可得，，则，是等腰三角形，证明，则，，然后作答即可．
【详解】解：由作图可知，是的平分线，
∴，
∵，点E恰好是的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，是等腰三角形，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，作角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行四边形的性质，作角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
15. 如图，在四边形中，，点C是边上一点，且，，取的三等分点，连接，过点C作交于点G，延长交于点H，若，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．过点E作交的延长线于点M，先证明，再求出，根据点为的三等分点，可得，再利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】如图，过点E作交的延长线于点M，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
又∵点为的三等分点，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
三、解答题（本大题共8个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用二次根式的性质、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，再合并即可求解；
（）根据分式的运算法则进行计算即可求解；
本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，掌握实数的运算法则和分式的运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
，
；
【小问2详解】
解：原式
，
，
，
，
，
．
17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，，连接并延长交反比例函数的图象于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）请直接写出点C的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象与一次函数图像交点问题，以及反比例函数图像的对称性，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先通过求出点，再代入即可；
（2）先联立一次函数和反比例函数解析式求出点A，再根据点A与点C关于原点成中心对称即可求解．
【小问1详解】
解：将代入得：，
∴点，
再将点B代入得，
∴反比例函数解析式为：；
【小问2详解】
解：联立，
解得： ，（舍）
∴点，
∵直线交反比例函数图像于点C，
∴．
18. 问题情境：
自2025年起，山西省普通高考将实行“”模式，即3门统考科目（语文、数学、外语）门首选科目（2选1，即在物理、历史中选1门）门再选科目（4选2，即在思想政治、地理、化学、生物中选2门），为便于统计，将语文、数学、外语、物理、历史、思想政治、地理、化学、生物简称为语、数、外、物、史、政、地、化、生．
抽样预选统计：
随机抽取部分高一新生，并让其进行预选，预选出的结果有五种，分别为“物化生”“史地政”“物化政”“物化地”“史政生”，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图请你分析统计图提供的信息，并解答下列问题．
（1）本次抽取的总人数是 人，扇形统计图中，“物化政”所对应的圆心角的度数为 ，“物化地”所占百分比为 ；
（2）请补全条形统计图；
预测交流反思：
（3）根据学生的预选情况，你能得到什么结论．（写出一个即可）
【答案】（1）50，，；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）用史地政的人数除以史地政人数所占的百分比即可求出抽取的总人数，用360度×物化政的比例可求出“物化政”所对应的圆心角的度数，用物化地的人数除以样本容量可求出“物化地”所占百分比；
（2）求出物化生和史政生的人数补全统计图即可；
（3）根据统计图表的信息解答即可．
【详解】解：（1）人；
；
．
故答案为：50，，；
（2）人，
人．
如图：
；
（3）从预选情况来看，学生选择“物化生”与“史地政”这两种组合的人数较多，选择其他组合的人数相对较少，但每种组合，即每门课程都有人选（答案不唯一，合理且符合题意即可）．
19. 忻州市五台县近年来结合“核桃富民”战略的优势，以低成本投入在核桃树下种植蘑菇菌棒，打造林下经济试点，开辟农民增收致富的新渠道．现有A，B两种菌棒，已知张伯伯种植的每个A种菌棒平均收获蘑菇的重量是每个B种菌棒的倍，若要两种菌棒各可收获蘑菇千克，B种菌棒需种植的个数比A种菌棒多个．
（1）求每个A，B种菌棒分别平均可收获蘑菇多少千克？
（2）通过前期销售，市场反映良好，需求递增，现有千克的蘑菇需求订单，已知张伯伯现计划种植A，B两种菌棒共个，若在不增加菌棒数量的前提下，则A种菌棒至少种植多少个，张伯伯才能完成这一订单？
【答案】（1）每个A种菌棒可收获蘑菇2千克，每个B种菌棒可收获蘑菇千克
（2）个
【解析】
【分析】（1）设每个B种菌棒可收获蘑菇x千克，则每个A种菌棒可收获蘑菇千克，然后根据“B种菌棒需种植的个数比A种菌棒多个”列方程求解；
（2）设A种菌棒种植m个，则B种菌棒种植个，然后根据千克的订单数量列不等式求解．
【小问1详解】
解：设每个B种菌棒可收获蘑菇x千克，则每个A种菌棒可收获蘑菇千克．
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意．
∴每个A种菌棒可收获蘑菇：（千克），
答：每个A种菌棒可收获蘑菇2千克，每个B种菌棒可收获蘑菇千克；
【小问2详解】
解：设A种菌棒种植m个，则B种菌棒种植个，
根据题意，得，
解得，
答：A种菌棒至少种植个，张伯伯才能完成这一订单．
【点睛】本题考查分式方程和不等式的实际应用，找到等量关系或不等量关系列方程或不等式是本题解题关键，注意分式方程要检验．
20. 南中环桥位于太原市南中环街西端，跨越汾河，是连接太原市东、西城区的重要通道，将沟通滨河东、西快速路和南中环街三条城市干道，对拉大城市骨架、带动城南建设具有重要意义．周末明明和亮亮在汾河公园进行课外实践作业，准备测量南中环桥副桥拱最高点到水平面的距离，于是在岸边选取两个不同的测点，分别测量该桥拱顶端的仰角，测量数据如下表（不完整）．
课题 测量南中环桥副桥拱最高点到水平面的距离
成员 明明，亮亮
测量示意图
说明：他们利用手机共享实时位置得到各自的位置如图①所示，已知此时手机地图显示图上代表实际距离．
测量示意图
说明：表示南中环桥副桥拱最高点到水平面的距离，测点，与在同一水平直线上，点，，，在同一竖直平面内．
测量数据 图①中，两人的图上距离为
图②中，，
…
求副桥拱最高点到水平面的距离（结果保留整数．参考数据：，，，，，）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．设副桥拱最高点到水平面的距离为，根据题意在中，得到，在中，得到，再根据，可得到关于的方程，求解即可．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：设副桥拱最高点到水平面的距离为，
由题意，得：，即，
又∵，，
在中，，
中，，
∵手机地图显示图上代表实际距离，两人的图上距离为，
∴两人的实际距离：，
∴，
∴，
解得：．
答：副桥拱最高点到水平面的距离约为．
21. 阅读与思考
下面是小丽同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
x年×月×日 星期× 锐角三角形中的正弦与外接圆的直径之间的关系 根据以前学习锐角三角函数的知识可知，在直角三角形中，我们把一个角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦．例如：如图①，在中，，∵，，，∴的正弦，的正弦． 此时我突发奇想，上面的结果在锐角或钝角三角形中能求出来吗？恰好最近学习了圆的知识，圆中可以利用同弧进行等角转换，同时还可以构造直角三角形．如果把一个锐角三角形放在圆中是不是就能得到比值等量关系．在画图时，通过作图软件我发现这样一个结论：在锐角三角形中，每个内角的正弦值恰好等于这个内角所对的边与该三角形外接圆直径的比值，例如：如图②，锐角内接于，设，，，的直径为．则有，，．下面是我证明的过程： 证明如图，连接并延长交于点，连接， ∵是的直径， ∴， ∴（依据）， ∴， ∵＝， ∴（依据）， ∴．
任务：
（1）写出小丽的证明过程中的“依据”和“依据”；
依据： ；
依据： ；
（2）请你按照小丽的证明方法，选择或其中一个写出证明过程；
（3）如图，是等边三角形，已知该三角形外接圆的半径是，求该三角形的面积．
【答案】（1）直径所对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等；
（2）见解析； （3）．
【解析】
【分析】（）根据圆周角定理即可求解；
（）连接并延长交于点，连接，由是的直径，得，再根据和同弧所对的圆周角相等即可；
（）作等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，由是的直径，半径是得，，再由和解三角形即可求解；
本题考查了圆周角定理，解直角三角形的应用，等边三角形的性质和三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【小问1详解】
依据：直径所对圆周角是直角；
依据：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等；
故答案为：直径所对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等；
【小问2详解】
选择；
如解图，连接并延长交于点，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
选择，同理；
【小问3详解】
如解图，作等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，
∴，，，
∴，
∵是的直径，半径是，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴的面积为．
22. 综合与实践
问题情境：
如图，在正方形中，点E在线段上，点F在线段上，且始终满足连接，将线段绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段上，与交于点H．
数学思考：
（1）线段与的数量关系为 ，位置关系为 ；
猜想证明：
（2）如图②，再将线段绕点E逆时针旋转，得到线段（点M是点G旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由；
（3）如图③，若点G落在的延长线上，且当点H恰好为的中点时，设与交于点N，，请直接写出线段的长．
【答案】（1）；（2）四边形为菱形，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）先根据正方形的性质，得出，再证明，结合旋转性质，得出，进行角的等量代换，即可作答；
（2）根据旋转性质，得出，得出四边形是平行四边形，结合一组邻边相等，得证四边形是菱形；
（3）先得出是的垂直平分线，进行角的等量代换以及直角三角形的两个锐角互补，得出，因为正方形的性质，得出，结合，，进行边的运算，即可作答．
【详解】解：（1）；理由如下：
∵四边形是正方形
∴，
又∵，
∴，
∴．
由旋转的性质，得，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
即
（2）四边形为菱形，理由如下：
由旋转的性质，得，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（3）∵点H是的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴．
又∵，
∴
又∵，
∴，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
∴在中，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关性质，菱形的判定，旋转性质等内容，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
23. 综合与探究
如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线，点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式；
（2）连接，，当时，求点P的坐标；
（3）若点P在第四象限内，连接，，，其中交于点D，过点P作交于点E，记，，的面积分别为，试判断是否存在最大值，若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）或
（3）存在，最大值为
【解析】
【分析】（1）将代入抛物线求出a和b的值，即可得出抛物线解析式，先求出点C的坐标，直线的函数表达式为，将点B和点C的坐标代入，求出k和的值，即可得出直线的函数表达式；
（2）易得，根据题意分情况讨论：①当点P在x轴上方时，设与y轴交于点D，推出，则，得出点D的坐标为，用待定系数法求出直线的函数表达式为，即可得出点P的坐标；②当点P在x轴下方时，记为，设与y轴交于点E，证明，得出，则点D的坐标为，点E的坐标为，用待定系数法求出直线的函数表达式为，即可得出点P的坐标；
（3）易得，则，记中边上的高为，推出，记中边上的高为，推出，进而得出，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，过点E作于点I，推出，设，则，，则PE＝．点P的坐标为，则点F的坐标为，则，即可得出
，根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：将代入抛物线中，
得，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为，
把代入得，
∴，
设直线的函数表达式为，
把代入得：
，
解得：，
∴直线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，分情况讨论：
①当点P在x轴上方时，设与y轴交于点D，
∵，
∴，
∴，
，
，
∴点D的坐标为，
设直线的函数表达式为，
将点A的坐标，点D的坐标代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为，
令，
解得（不符合题意，舍去），
当时，，
∴点P的坐标为
②当点P在x轴下方时，记为，设与y轴交于点E，
∵，，，
∴，
∴，
∵点D的坐标为
∴点E的坐标为
设直线的函数表达式为，
将点A的坐标，点E的坐标代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为，
令，
解得（不符合题题，舍去），
当时，
∴点的坐标为
综上所述，点P的坐标为或；
【小问3详解】
解：存在，最大值为．
∵，
∴，
∴，
记中边上的高为，
，，
，
记中边上的高为，
∴，
∵也是中边上的高，
∴，
，
，
∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∴．
过点P作轴交于点F，交x轴于点H，过点E作于点I，
∴
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∴，
设，则，，则PE＝．
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为，则点F的坐标为，
∴，
，
，
∴当时，此时有最大值，
∴当时，解得，
的最大值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形，熟练掌握待定系数法，三角形相似，最值的计算是解题的关键．
