长方体和正方体应用题（专项训练）2023-2024学年数学五年级下册青岛版
典例分析一 ．一个长方体，表面积是208平方厘米，底面积是32平方厘米，底面周长是24厘米。求这个长方体的体积是多少？ 【答案】192立方厘米 【分析】根据长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同；可知用长方体的表面积减去2个底面积，即是长方体的四个侧面积之和； 根据四个侧面积之和＝底面周长×高可知，高＝四个侧面积之和÷底面周长，据此求出长方体的高； 最后长方体的体积公式＝底面积×高，求出这个长方体的体积。 【详解】长方体的高： （208－32×2）÷24 ＝（208－64）÷24 ＝144÷24 ＝6（厘米） 长方体的体积：32×6＝192（立方厘米） 答：这个长方体的体积是192立方厘米。 【点睛】本题考查长方体特征、长方体表面积、体积公式的运用，求出长方体的高是解题的关键。 典例分析二 ．把一个体积为3.6立方分米的铁球浸没在棱长为3分米的正方体容器中，这时水面刚好升至玻璃缸口，如果取出铁球，容器里的水深是多少分米？ 【答案】2.6分米 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出正方体容器的容积，正方体容器的容积－铁球体积＝水的体积，根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出水深。 【详解】3×3×3－3.6 ＝27－3.6 ＝23.4（立方分米） 23.4÷（3×3） ＝23.4÷9 ＝2.6（分米） 答：容器里的水深是2.6分米。 典例分析三 ．如图是全运会济南赛区奥体中心游泳馆的主游泳池，它长50米、宽25米、深2米。 （1）建造奥体中心游泳池至少需要挖土多少立方米？ （2）如果要给这个游泳池注1.8米深的水，已知每小时能注水150立方米。需要几小时注完？ 【答案】（1）2500立方米 （2）15小时 【分析】（1）要求建造奥体中心游泳池至少需要挖土多少立方米，把这个中心游泳池看作一个无盖的长方体，相当于求这个长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数值计算即可解答。 （2）根据长方体的体积公式，求出注入的水的总体积，再除以150，所得结果即为需要几小时注完。 【详解】（1）50×25×2＝2500（立方米） 答：建造奥体中心游泳池至少需要挖土2500立方米。 （2）50×25×1.8÷150 ＝2250÷150 ＝15（小时） 答：需要15小时注完。
跟踪训练
1．如图所示包装盒的长宽高分别是3分米、2分米、1分米，制作这个包装盒需要多少平方分米硬纸板？用彩带捆扎包装盒至少需要多少分米的彩带？（打结处用了2.5分米）
2．图中的领奖台是由4个棱长为4分米的正方体拼合而成的。如果要把领奖台的表面涂上油漆（底面不涂），需要涂油漆的面积是多少？
3．有一段长5米的方木，它的横截面是边长为5分米的正方形，20根这样的方木体积是多少立方米？
4．一个长方体饼干盒，长10cm，宽6cm，高12cm。如果给它贴一圈商标纸（上，下面不贴），那么这张商标纸的面积至少是多少平方米？
5．为了给大家创造更好的阅读环境，学校准备制作一批小书橱放在走廊里（如图）。
（1）做这样一个小书橱至少需要多少木板？
（2）这个书橱占了多大的空间？
6．如图为了美化鱼缸，在鱼缸底部放入几块小石头，放入前水面高度是22厘米，放入后水面高度是24厘米，放入石头的体积是多少立方厘米？
7．一辆货车油箱的长、宽、高分别是1.2米，0.5米，0.4米（箱壁厚度忽略不计）。
（1）做一个这样的油箱，3平方米的铁皮够用吗？
（2）如果这辆货车每行驶100千米耗油40升，加满油后最多可以行驶多少千米？
8．一张长、宽分别是120厘米、100厘米的长方形铁皮，在它的四个角各剪去一个边长为20厘米的小正方形（如下图），弯折后焊接成一个无盖的铁皮水箱。
（1）这个水箱的表面积是多少平方厘米？
（2）这个水箱的容积是多少毫升？合多少升？（铁皮厚度忽略不计）
9．小红在玩魔方时发现，魔方六个面的颜色分别是由红、黄、蓝、绿、白、橙色组成。小红测量每个小正方体的棱长均是1.8厘米。
（1）小红只把上面都拼成了黄色，请计算上面黄色的面积是多少？
（2）其它还没拼好的面积之和是多少？
10．一个正方体纸盒的棱长为7.9分米，在它的周围贴一条宽0.8分米的彩纸（如图），这条彩纸的面积至少是多少平方分米？
11．一个长方体玻璃鱼缸，长6dm，宽4.5dm，高3.8dm，鱼缸的容积是多少升？它的下面和右面的玻璃被打碎了，要修好这个鱼缸，需要配多少平方分米的玻璃？
12．一个长方体，如果高增加3厘米，就变成了一个正方体，表面积就比原来增加60平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？
13．一根长方体木料，长6米，横截面是一个边长为0.4米的正方形．这根木料横截面的面积是多少平方米？体积是多少立方米？
14．一个长方体的玻璃缸，从里面量长，宽，高，水深。如果投入一块棱长为的正方体铁块（如图），缸里的水溢出多少升？
参考答案：
1．22平方分米；16.5分米
【分析】把长方体的长、宽、高的数据代入到长方体的表面积公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2中，计算出长方体的表面积，即是制作这个包装盒需要的硬纸板面积。根据长方体的特征，12条棱分为3组，每组4条棱的长度相等，由图形可知，所需彩带的长度等于两条长＋两条宽＋4条高再加上打结用的2.5分米，据此解答。
【详解】（3×2＋2×1＋3×1）×2
＝（6＋2＋3）×2
＝11×2
＝22（平方分米）
3×2＋2×2＋1×4＋2.5
＝6＋4＋4＋2.5
＝16.5（分米）
答：制作这个包装盒需要22平方分米硬纸板，用彩带捆扎包装盒至少需要16.5分米的彩带。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征和长方体表面积的实际应用，关键是弄清如何捆扎的，确定是求哪几条棱的长度和；在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积。
2．240平方分米
【分析】计算有多少个小正方体的面是露在外面的，面的个数×每个面的面积＝涂漆面积，据此解答。
【详解】4×2＋2×2＋3
＝8＋4＋3
＝15（个）
4×4×15
＝16×15
＝240（平方分米）
【点睛】本题借助实物考查了正方体的表面积公式的运用。
3．25立方米
【分析】已知一段方木的横截面是正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出横截面的面积；
然后根据长方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算，求出这根方木的体积，再乘20，即是20根这样的方木的体积。注意单位的换算：1米＝10分米。
【详解】5分米＝0.5米
0.5×0.5×5
＝0.25×5
＝1.25（立方米）
1.25×20＝25（立方米）
答：20根这样的方木体积是25立方米。
【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，理解“横截面是正方形”的含义是解题的关键。
4．0.0384m2
【分析】根据题意，商标纸的面积就是长方体的4个侧面的面积。长方体4个侧面面积＝（长×高＋宽×高）×2，据此解答。要注意最后换算单位。
【详解】（10×12＋6×12）×2
＝192×2
＝384（cm2）
＝0.0384（m2）
答：这张商标纸的面积至少是0.0384平方米。
【点睛】本题考查长方体表面积的实际应用，掌握长方体4个侧面的面积公式是解题的关键。
5．（1）1.33平方米
（2）0.12立方米
【分析】（1）从图可知，小书橱的前面没有木板，中间有一个隔板，即增加一个底面；求做这样一个小书橱需要木板的面积，就是把用的每块木板的面积加起来，分别是“0.5×0.3”有3块，“0.5×0.8”有1块，“0.3×0.8”有2块，据此解答。
（2）求这个书橱占了多大的空间，就是求长方体的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求解。
【详解】（1）0.5×0.3×3＋0.5×0.8＋0.3×0.8×2
＝0.45＋0.4＋0.48
＝1.33（平方米）
答：做这样一个小书橱至少需要1.33平方米木板。
（2）0.5×0.3×0.8
＝0.15×0.8
＝0.12（立方米）
答：这个书橱占了0.12立方米的空间。
【点睛】本题考查长方体表面积、体积公式的运用。关键是要弄清小书橱缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。
6．1800立方厘米
【分析】石头完全浸没在水里后，石头的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为45厘米，宽为20厘米，高为（24－22）厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，把数据代入即可得解。
【详解】45×20×（24－22）
＝45×20×2
＝900×2
＝1800（立方厘米）
答：放入石头的体积是1800立方厘米。
【点睛】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式，解决问题。
7．（1）够用；（2）600千米
【分析】（1）货车的油箱是一个长方体，利用长方体表面积的计算公式，代入具体数值计算油箱的表面积，再和3平方米作比较，即可得出结论；（2）根据长方体体积的计算公式，代入数值计算出这个油箱的体积，再进行计算，即可解答。
【详解】（1）（1.2×0.5＋1.2×0.4＋0.5×0.4）×2
＝（0.6＋0.48＋0.2）×2
＝1.28×2
＝2.56（平方米）
2.56平方米＜3平方米，所以3平方米的铁皮够用。
答：做一个这样的油箱，3平方米的铁皮够用。
（2）1.2×0.5×0.4＝0.24（立方米）
0.24立方米＝240升
240÷40×100
＝6×100
＝600（千米）
答：加满油后最多可以行驶600千米。
【点睛】解答本题的关键是掌握长方体表面积和体积的计算公式，同时注意计算过程中单位的换算。
8．（1）10400平方厘米；
（2）96000毫升；96升
【分析】（1）由图可知，这个水箱的表面积＝长方形铁皮的面积－小正方形的面积×4；
（2）水箱的长＝长方形铁皮的长－正方形的边长×2，水箱的宽＝长方形铁皮的宽－正方形的边长×2，水箱的高等于正方形的边长，利用“长方体的容积＝长×宽×高”求出这个水箱的容积，据此解答。
【详解】（1）120×100－20×20×4
＝12000－1600
＝10400（平方厘米）
答：这个水箱的表面积是10400平方厘米。
（2）（120－20×2）×（100－20×2）×20
＝（120－40）×（100－40）×20
＝80×60×20
＝4800×20
＝96000（立方厘米）
96000立方厘米＝96000毫升＝96升
答：这个水箱的容积是96000毫升，合96升。
【点睛】本题主要考查长方体表面积和容积公式的应用，根据图形确定长方体水箱的长、宽、高是解答题目的关键。
9．（1）29.16平方厘米
（2）145.8平方厘米
【分析】（1）由图可知，每个面是由9个小正方体组成，每个小正方体的棱长均是1.8厘米，根据正方形的面积＝边长×边长，先求出小正方体的一个面，再乘小正方体的面数即可解答；
（2）用魔方一个面的面积乘魔方剩余的五个面的面数即可解答。
【详解】（1）1.8×1.8×9
＝3.24×9
＝29.16（平方厘米）
答：请计算上面黄色的面积是29.16平方厘米。
（2）29.16×5＝145.8（平方厘米）
答：其它还没拼好的面积之和是145.8平方厘米。
【点睛】本题考查观察物体、正方形的面积，解答本题的关键是数清每个面有几个正方形。
10．25.28平方分米
【分析】从图中可知，贴在正方体纸盒四周的彩纸是4个长7.9分米、宽0.8分米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出一个面的面积，再乘4即可。
【详解】7.9×0.8×4
＝6.32×4
＝25.28（平方分米）
答：这条彩纸的面积至少是25.28平方分米。
【点睛】结合正方体的特征和图形，确定贴在四周的彩纸是由哪几个面组成，然后运用长方形的面积公式列式计算。
11．102.6升；44.1平方分米
【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出容积；长方体的长×宽＝下面面积，宽×高＝右面面积，据此求出两块玻璃面积，相加即可。
【详解】6×4.5×3.8＝102.6（立方分米）＝102.6（升）
6×4.5＋4.5×3.8
＝27＋17.1
＝44.1（平方分米）
答：鱼缸的容积是102.6升，需要配44.1平方分米的玻璃。
【点睛】关键是掌握长方体体积公式，会计算长方体各面面积。
12．50立方厘米
【解析】根据题意可知，一个长方体如果高增加3厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高大3厘米，因此增加的60平方厘米是4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长＝（60÷4）÷3＝5厘米，由于长比高多2厘米，那么高＝5－3＝2厘米，由此解答。
【详解】增加的1个面的面积：60÷4＝15（平方厘米）
长方体的长（宽）：15÷3＝5（厘米）
长方体的高：5－3＝2（厘米）
体积：5×5×2＝50（立方厘米）
答：原来长方体的体积是50立方厘米。
【点睛】理解增加的60平方厘米是4个同样的长方形的面积和，并知道长方体的体积公式是解决此题的关键。
13．0.16平方米；0.96立方米
【详解】0.4×0.4=0.16（平方米）
0.16×6=0.96（立方米）
14．40升
【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的容积（体积）公式：V＝abh，用长方体玻璃缸内水的体积加上正方体的铁块的体积减去长方体玻璃缸的容积，即可求出溢出水的体积。
【详解】4×4×4＋6×5×3.2－6×5×4
＝64＋96－120
＝160－120
＝40（立方分米）
40立方分米＝40升
答：缸里的水溢出40升。
【点睛】此题主要考查正方体的体积公式、长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。
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