成都市２０２１级高中毕业班第三次诊断性检测
数学(文科)参考答案及评分意见
第Ⅰ卷 (选择题,共６０分)
一、选择题:(每小题５分,共６０分)
１．D; ２．B; ３．C; ４．D; ５．A; ６．B; ７．C; ８．A; ９．A; １０．C; １１．B; １２．B．
第Ⅱ卷 (非选择题,共９０分)
二、填空题:(每小题５分,共２０分)
; ７１３．４ １４． ;
１
８ １５．３
; １６． ．
４
三、解答题:(共７０分)
１７．解:(Ⅰ)由题意,样本中５００名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数
５０ １００ ２００ １２５ ２５t＝１０×５００＋３０×５００＋５０×５００＋７０×５００＋９０×５００＝４９．
所以估计这５００名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为４９． ６分
(Ⅱ)抽取的６人中寒假期间每天课外阅读平均时长在 [０,
１
２０)内有:６× ＝２人,３
在 [ , )内有: ２２０４０ ６×３＝４
人, ８分
设 [０,２０)内的２人记为:A,B ;[２０,４０)内的４人记为:a,b,c,d ．
从这６人中随机选２人的基本事件有:
(A,B)(A,a)(A,b)(A,c)(A,d)(B,a)(B,b)(B,c)(B,d)(a,b)(a,c)
(a,d)(b,c)(b,d)(c,d)共１５种, １０分
其中至少有一人每天课外阅读平均时长在 [０,２０)的基本事件有
(A,B)(A,a)(A,b)(A,c)(A,d)(B,a)(B,b)(B,c)(B,d)共９种, １１分
设M ＝“选取的２人中至少有一人每天课外阅读平均时长在 [０,２０)”,则
９ ３
P(M)＝ ＝ ． 分１５ ５ １２
１８ 解:(Ⅰ)当n＝１时,２a１＝S１＋１＝a１＋１,得a１＝１, １分
由２an ＝Sn ＋n,①
当n ≥２时,２an－１＝Sn－１＋n－１②, ２分
①－②得:２(an －an－１)＝Sn －Sn－１＋１＝an ＋１,
整理得:an ＝２an－１＋１(n ≥２), ４分
所以an ＋１＝２(an－１＋１)(n ≥２),且a１＋１＝２, ５分
数学(文科)“三诊”考试题参考答案第 １页(共５页)
∴ {an ＋１} 是以２为首项,２为公比的等比数列． ６分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得an ＋１＝(a１＋１) ２n－１＝２n , ８分
１ １ １
∴bn ＝log n２ ＝n ,cn ＝ 分n(n＋１)＝n －n １
． １０
＋
１ １ １ １ １ １ １ １ n
∴Tn ＝１－ ＋ － ＋ － ＋ ２ ２ ３ ３ ４ ＋n －n １＝１－n １＝n １．＋ ＋ ＋
１２分
１９．解:(Ⅰ)在 △ADB 中,由余弦定理DB＝ AD２＋AB２－２AD AB cos∠DAB ＝ ３．
∵AD２＝DB２＋AB２,∴DB ⊥AB ． ２分
∵CD//AB,EB ⊥CD ,∴EB ⊥AB , ４分
∵DB ⊥AB,EB ∩DB＝B ,∴AB ⊥ 平面EDB ． ５分
又AB 平面ABCD ,
∴ 平面EDB ⊥ 平面ABCD ． ６分
(Ⅱ)∵F 是EC 中点,
１ １
∴VF－ABE ＝２VC－ABE ＝２VE－ABC ．
８分
由(Ⅰ)得AB ⊥ 平面EDB ,ED 平面EDB ,
∴AB ⊥ED ．
∵ED ⊥AD,AD ∩AB＝A ,∴ED ⊥ 平面ABCD ,
１０分
１ １ １ ２６
∴VE－ABC ＝ ３SΔABC
ED＝ ３×２×１× ３×４２＝ ３ ．
６
∴VF－ABE ＝ ３ ．
故三棱锥F－ABE 的体积为
６
３ ．
１２分
２０．解:(Ⅰ)直线l过坐标原点O 时, AB ＝２b＝２,∴b＝１． ２分
又 c ３ b∵ ,∴ １ c
２ １
＝ ＝ － ÷a ２ a ＝ ．èa ２
∴a＝２． ４分
２
∴椭圆C 的方程为
x
＋y２＝１． ５分４
(Ⅱ)假设存在定点Q(０,m),m ∈ [０,２],
设直线l:y＝kx＋２,A(x１,y１),B(x２,y２),
{y＝kx＋２,由 消去 ,得 (４k２ １)x２ １６kx １２ ０．x２＋４y２ y ＋ ＋ ＋ ＝＝４
其中Δ＞０,
x －
１６k １２
１＋x２＝ ,２ x１x４k １ ２＝
＋ ４k２
． ７分
＋１
数学(文科)“三诊”考试题参考答案第 ２页(共５页)
m－y１ m－y２ m－(kx１＋２) m－(kx２＋２)kQA ＋kQB ＝ －x ＋１ －x ＝ ＋２ －x１ －x２
＝(２－m)(
１ １) ( )x１＋x２ －４k
x ＋x ＋２k＝ ２－m xx ＋２k＝
(２－m) ＋２k
１ ２ １ ２ ３
２k
＝ (３ ２m－１
)． １０分
∴当
１
m＝ 时,２ kQA ＋kQB ＝０
为定值．
∴存在定点
１
Q(０, ),使得直线QA 与 直线QB 的斜率之和恒为２ ０．
１２分
２１．解:(Ⅰ)当a＝２时,f(x)＝xlnx－２ x ＋２(x ＞０),
１
f′(x)＝１＋lnx－ , １分
x
注意到函数 １y＝lnx 与y＝－ 均在 (０,＋∞)单调递增,
x
∴f′(x)在 (０,＋∞)上单调递增． ３分
由f′(１)＝０,
x ∈ (０,１),f′(x)＜０,f(x)在 (０,１)上单调递减;
x ∈ (１,＋∞),f′(x)＞０,f(x)在 (１,＋∞)上单调递增．
综上,f(x)的单增区间为(１,＋∞),单减区间为(０,１)． ５分
(Ⅱ)令 x ＝t＞０,
设函数g(t)＝２t２lnt－at＋a ,g(１)＝０．
函数f(x)有两个零点等价于函数g(t)有两个零点．
①当a ≤０时,g(t)＝２t２lnt－at＋a＝２t２lnt－a(t－１),
当t＞１时,g(t)＞０;当０＜t＜１时,g(t)＜０;当t＝１时,g(t)＝０．
∴g(t)在 (０,＋∞)上只有一个零点,故a ≤０不合题意． ７分
②当a ＞０时,
g′(t)＝２t(２lnt＋１)－a ,令h(t)＝２t(２lnt＋１)－a ,
h′(t)＝２(
１
２lnt＋３),令h′(t)＝０得t＝ ３ ,
e２
()在 (,１ht ０ ３ )上单调递减,(
１
３ ,＋∞)上单调递增, ８分
e２ e２
１ ４
∴h(t)min＝h(３ )
－
＝ ３ －a ．
e２ e２
４
∵ － －a ＜０,t→０＋３ 时,h(t)→－a ＜０,t→＋∞ 时,h(t)→＋∞ ．
e２
由零点存在定理得存在 (１t０ ∈ ３ ,＋∞),使得h(t０)＝０,
e２
数学(文科)“三诊”考试题参考答案第 ３页(共５页)
∴t∈ (０,t０)时,g′(t)＜０,g(t)单调递减;
t∈ (t０,＋∞)时,g′(t)＞０,g(t)单调递增． ９分
由t→０＋ 时,g(t)→a ＞０,t→＋∞ 时,g(t)→＋∞ ,且g(１)＝０,
故当t０＝１时,函数g(t)有且仅有一个零点,不合题意;
当t０ ≠１时,g (t)min＝g(t０)＜g(１)＝０,
此时g(t)在 (０,t０),(t０,＋∞)上各有一个零点．满足题意． １１分
由 ()在 (１ht ３ ,＋∞)上单调递增,且h(１)＝２－a．
e２
故当a＝２时,t０＝１,不合题意;
当a ∈ (０,２)∪ (２,＋∞)时,t０ ≠１,满足题意．
综上,a 的取值范围为 (０,２)∪ (２,＋∞)． １２分
x＝mt２,
２２．解:(Ⅰ)由曲线C 的参数方程 { (t为参数),y＝mt
消去参数t可得曲线C 的普通方程为y２＝mx ． ２分
由直线l的极坐标方程得:
２(
２ ρcosθ－ρsinθ
)－２２＝０． ３分
∵x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,
∴ 直线l的直角坐标方程为x－y－４＝０． ５分
ì ２
x＝６＋ t, ２(Ⅱ)直线l的参数方程为 í (t为参数)． ６分
２
y＝２＋ t ２
与曲线C :y２＝mx 联立得:t２＋(４２－ ２m)t＋８－１２m＝０,Δ＞０,
设A,B 两点对应的参数分别为t１,t２,则t１＋t２＝ ２m－４２ ,t１t２＝８－１２m ．
７分
∵M 为线段AB 的三等分点,∴t１＝－２t２． ８分
代入t１＋t２＝ ２m－４２ 可得t１＝２２(m－４),t２＝－ ２(m－４)．
代入t１t２＝８－１２m ,可得－４(m－４)２＝８－１２m ．
即m２－１１m＋１８＝０,解得m＝２或m＝９均满足Δ＞０．
故m 的值为２或９． １０分
２３．解:(Ⅰ)当x ≥２m 时,x－３m ≥２x ,解得２m ≤x ≤－３m ; ２分
当x ＜２m 时,
m
m－x ≥２x ,x ≤ ,解得 ３ x ＜２m ． ４
分
综上,所求不等式的解集为 {x|x ≤－３m} ． ５分
(Ⅱ)由题意,当m＝－２时,f(x)的最小值为２． ６分
∴a２＋b２＋c２＝２．
a２ b２ c２ ２－(b２＋c２) ２－(c２＋a２) ２－(a２＋b２)
b２ c２ ＋c２ a２ ＋a２ b２ ＝ b２ c２ ＋ ＋＋ ＋ ＋ ＋ c２＋a２ a２＋b２
数学(文科)“三诊”考试题参考答案第 ４页(共５页)
２ ２ ２
＝b２ c２ ＋
３ ８分
＋ c２＋a２
＋a２＋b２
－
[(b２＋c２)＋(c２＋a２)＋(a２＋b２)]( １ １ １＝ )２ b２＋c２
＋c２＋a２
＋a２ b２ －
３
＋
１( ２ ２ １ １ １
２ ３
≥ ２ b ＋c ＋ c
２＋a２ ＋ a２＋b２ )－３＝ ．
b２＋c２ c２＋a２ a２＋b２ ２
当且仅当a２
２
＝b２＝c２＝ 时等号成立,不等式得证． ３ １０
分
数学(文科)“三诊”考试题参考答案第 ５页(共５页)成都市2021级高中毕业班第三次诊断性检测
数 学(文科)
本试卷分选择题和非选择题两部分。第I卷(选择题)1至2页，第Ⅱ卷(非选择题)3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第I卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合，则
(A) (B) (C) (D)
2.若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
3.已知是两条不同的直线，是平面，若，，则不可能
(A)平行 (B)垂直 (C)相交 (D)异面
4.“数九”从每年“冬至”当天开始计算，每九天为一个单位，冬至后的第81天，“数九”结束，天气就变得温暖起来.如图，以温江国家基准气候站为代表记录了2023～2024年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温”(单位：°C)，下列说法正确的是
(A)“四九”以后成都市“平均气温”一直上升
(B)“四九”成都市“平均气温”较“多年平均气温”低0.1℃
(C)“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差
(D)“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差
5.已知向量 若，则实数的值为
(A)-2 (B)2 (C) (D)
6. 设，双曲线C的方程为，则“C的离心率为”是“m=1”的
(A) 充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件
7.如图，由观测数据 的散点图可知，y与x的关系可以用模型 拟合，设,利用最小二乘法求得y关于z的回归方程.已知
(A) (B)
(C)1 (D)
8.已知 ，则
(A) (B) (C)2 (D)-2
9.已知直线与相交于A，B两点，若△ABC是直角三角形，则实数的值为
(A)1或-1 (B) (C) (D)
10. 将函数 的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的最小值为
(A)9 (B)6 (C)3 (D)2
11.已知函数，若实数m，n 满足，则
(A)1 (B)2 (C)e (D)4
12.在棱长为5的正方体中，Q是 中点，点P在正方体的内切球的球面上运动，且，则点 P的轨迹长度为
(A) (B) (C) (D)
第I卷(非选择题,共90 分)
二、填空题:本大题共4 小题,每小题 5 分,共20分把答案填在答题卡上
13.已知函数则的值为 。
14. △ABC的内角A,B,C的对边分别为,若，，则cosA的值为 。
15.若不等式对任意恒成立，则实a 的最大值为 。
16.设F为抛物线的焦点,过F的直线与C于A,B 两点，过点A作C的切线，与x轴交于点 D，与y轴交于点E，则 (其中O为坐标原点)的值为 。
三、解答题:本大题共6小题，70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用.某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长t(单位：分钟),得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟.
时长t [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
学生人数 50 100 200 125 25
(I)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(Ⅱ)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在[0,20)和[20,40)的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在[0,20)的概率.
18.(本小题满分12分)
设为数列的前n项和，已知.
(I)证明：数列是等比数列；
(Ⅱ)设，求数列的前n项和.
19.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥E-ABCD中，AB//CD,∠BAD=60°,AB=1, AD=CD=2,BE⊥CD.
(I)证明：平面BDE⊥平面ABCD;
(Ⅱ)若AD⊥DE,,F为CE中点，求三棱锥F-ABE 的体积 .
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为,过点的直线与椭圆C相交于A,B两点，当过坐标原点O时，|AB|=2.
(I)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)当斜率存在时，线段OP上是否存在定点Q,使得直线QA与直线QB的斜率之和为定值.若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(I)当时，求的单调区间；
(Ⅱ)若有两个零点，求的取值范围.
请考生在第22,23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数).以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(I)求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；
(Ⅱ)若直线与曲线C相交于A,B两点，且M(6,2)为线段AB的三等分点，求实数m的值.
23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数.
(I)求不等式 的解集；
(Ⅱ)当时，函数的最小值, 若非零实数 满足,
证明：.
