重庆第二外国语学校
高2026级高一下数学半期试题
（全卷共四大题，满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答题前请在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数除法的运算法则直接计算即可.
【详解】，
故选：B
2. 向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
【详解】因为量，，，
所以，解得，
故选：A
3. 在中，，，，则角的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理求解即可.
【详解】在中，由正弦定理可得，
则，
又因为，所以，
故选：D
4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积运算律，，与同向的单位向量为，进而转化求解即可.
【详解】解：因，且，所以，
即，所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
5. 在中，角的对边分别为，若的面积为8，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题中的两个等式解得A与c的值，再由余弦定理解得a的值.
【详解】，，
两式相除得，由，得，
则，，
，.
故选：A.
6. 已知平面向量，满足，且，则（ ）
A. 10 B. 12 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由利用向量数量积得，由，两边平方，得，可求得.
【详解】，则，有，
由，，
由，得，则，得.
故选：B
7. 在复平面内，复数对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则复数所对应的点位于（ ）.
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由题意公式代入求解即可.
【详解】当时，，，
故
显然在第二象限.
故选:B
8. 如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点.则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】为中点，可知即为异面直线，所成角（或其补角），余弦定理求解即可.
【详解】连结，取中点，连结，，如图所示，
则，可知即为异面直线，所成角（或其补角），
，，
，，
所以，即异面直线，所成角的余弦值为.
故选：D
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.
【详解】对于A，，则与为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于B，，则与为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于C，，则与为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于D，若存在实数使得，则，无解，所以与不共线，可以作为平面的基底，
故选：ABC
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 复数的虚部为
B. 设为复数，，则
C. 若复数为纯虚数，则，
D. 复数在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据复数的概念和运算法则逐一判断即可.
【详解】选项A：的虚部为，说法正确；
选项B：，所以，，说法错误；
选项C：由纯虚数的定义可得若复数为纯虚数，则，，说法正确；
选项D：复数在复平面内对应的点为，在第四象限，说法正确；
故选：ACD
11. 在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A. 直线与直线异面
B. 直线与平面平行
C. 三棱锥的体积是正方体体积的
D. 平面截正方体所得的截面是等腰梯形
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据异面直线的定义、面面平行的判定定理和性质定理以及三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】选项A：因平面，平面，，所以直线与直线异面，A说法正确；
选项B：取中点，连接，
因为正方体中分别为的中点，所以，，
又因为平面，平面，所以平面，平面，
因平面，，所以平面平面，
因为平面，所以直线与平面平行，B说法正确；
选项C：设正方体的边长为，则，C说法错误；
选项D：连接，
因为分别为的中点，所以，所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，D说法正确；
故选：ABD
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知复数（为虚数单位），则______.
【答案】
【解析】
【分析】先利用复数的运算法则化简复数，再根据模长公式计算即可.
【详解】由题意可得，
所以，
故答案为：
13. 已知长方体全部棱长的和为12，表面积为3，则该长方体的外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】设长方体的长、宽、高分别为、、，根据题意可得，进而求外接球的半径和表面积.
【详解】设长方体的长、宽、高分别为、、，且，
由题意可知：，即，
且，
可得，
可知：该长方体的外接球的半径，
所以该长方体的外接球的表面积为.
故答案为：.
14. 在中，在边上，且平分，若，则的长为_____________
【答案】##
【解析】
【分析】根据角平分线定理得，再利用余弦定理求得，最后再利用三角形面积公式即可.
【详解】因为平分，所以，
设，由余弦定理，得，
即，解得.
由，得，
解得，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用角平分线定理和余弦定理求出的长，最后利用即可得到答案.
四、解答题（共77分）
15. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若，的周长为，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理边化角，再根据正弦的两角和公式和诱导公式化简求值即可；
（2）利用余弦定理可得，代入三角形的面积公式即可求解.
【小问1详解】
因为中，
所以由正弦定理可得，
又因为中，且，
所以，
所以，.
【小问2详解】
若，的周长为，则，
所以由余弦定理解得，
所以的面积.
16. 如图，在四边形中，，，，，，，四边形绕着直线旋转一周.
（I）求所形成的封闭几何体的表面积；
（II）求所形成的封闭几何体的体积.
【答案】(I) ；（II）．
【解析】
【详解】试题分析：由题意可知，四边形绕着直线旋转一周所形成的封闭几何体为一个底面半径为，母线为的圆柱及一个底面半径为，高为的圆锥的组合体；（1）直接由多面体的表面积公式得出答案；（2）求出圆柱与圆锥的体积作和，即可得出答案.
试题解析：（1）由题意得，旋转后图象如图
.
（2）.
考点：旋转体的概念；旋转体的表面积、体积.
17. 已知向量，，
（1）若，求实数的值；
（2）若，求向量与的夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量平行的坐标形式可求的值；
（2）利用向量垂直的坐标形式可求的值，再利用公式可求向量与的夹角的余弦值.
【小问1详解】
向量，则，
由，得，解得.
【小问2详解】
，由，有，
解得，则，
.
所以向量与的夹角的余弦值.
18. 如图，是平行四边形所在平面外一点，是的中点.
（1）求证：平面
（2）若是上异于、的点，连结交于，连结交于，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由中位线定理可得，进而可证平面；
（2）由（1）根据线面平行的性质定理即可证明.
【详解】（1）连结交于，连结，则是中点，又是中点，
∴，
∵平面，平面，∴平面.
（2）由（1）知平面，又平面平面，
根据线面平行的性质定理，.
19. 已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面积为；
①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
【答案】（1）
（2）长的最小值为，的最大值
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；
（2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值.
小问1详解】
由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
【小问2详解】
①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
由于，所以
，
当且仅当时，等号取得到，所以；
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于,所以，
由于，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故，重庆第二外国语学校
高2026级高一下数学半期试题
（全卷共四大题，满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答题前请在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
2 向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，，，，则角的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量满足，且，则向量在向量上投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，角的对边分别为，若的面积为8，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知平面向量，满足，且，则（ ）
A. 10 B. 12 C. D.
7. 在复平面内，复数对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则复数所对应的点位于（ ）.
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8. 如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点.则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A B.
C. D.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 复数的虚部为
B. 设为复数，，则
C. 若复数为纯虚数，则，
D. 复数在复平面内对应的点在第四象限
11. 在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A. 直线与直线异面
B. 直线与平面平行
C. 三棱锥的体积是正方体体积的
D. 平面截正方体所得截面是等腰梯形
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知复数（为虚数单位），则______.
13. 已知长方体全部棱长的和为12，表面积为3，则该长方体的外接球的表面积为______.
14. 在中，在边上，且平分，若，则的长为_____________
四、解答题（共77分）
15. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若，的周长为，求的面积.
16. 如图，在四边形中，，，，，，，四边形绕着直线旋转一周.
（I）求所形成的封闭几何体的表面积；
（II）求所形成的封闭几何体的体积.
17. 已知向量，，
（1）若，求实数的值；
（2）若，求向量与的夹角的余弦值.
18. 如图，是平行四边形所在平面外一点，是的中点.
（1）求证：平面
（2）若是上异于、的点，连结交于，连结交于，求证：.
19. 已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面积为；
①已知E为BC中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
