2023-2024学年度下学期期中八年级学情调研测试题
数学
注意事项：
1.本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（共30分）
一、选择题（每题3分，共30分）
1.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3.在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟订的方案，其中正确的是（ ）
A.测量对角线是否互相平分 B.测量四边形的三个角是否都为直角
C.测量一组对角是否都为直角 D.测量两组对边是否分别相等
4.如图，在中，，平分交边于点，且，的长为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
5.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在矩形中，点为边上一动点，点是边上的中点，连接，.点、分别为，的中点，连接.则在点从运动到过程中，线段的变化为（ ）
A.越来越长 B.越来越短 C.不发生变化 D.无法确定
7.如图，点在数轴上表示的数为，则化简的结果为（ ）
A.5 B.1 C. D.
8.如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在中，对角线、相交于点，过点作交于点，连接.若的周长为20，则的周长为（ ）
A.5 B.10 C.15 D.20
10.巧巧同学最近在学烘焙，使用的其中一个糕点模具底面是有一内角为的菱形，如图所示，已知该模具底面边长是，向内注入足量的材料，生产出的糕点底面积是（ ）
A. B. C. D.
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.已知，则的取值范围是______.
12.已知的三边长分别为，，，则的形状是______.
13.《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十.广斜相并五十步，不知几亩及分厘.”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与一条对角线之和为50步.不知该田有几亩？请我帮他算一算，该田有______亩（1亩平方步）.
14.如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为______.
15.如图，在中，.为上一动点，过作于点，于点，连接，当，时，的最小值为______.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应画出图形，写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.计算（本题8分，每小题4分）
（1）
（2）
17.（6分）先化简，再求值：，其中.
18.（6分）已知，，求的值.
19.（9分）如图，四边形中，，垂足为点，点为四边形外一点，平分，，且.求证：四边形是菱形.
20.（10分）如图，在矩形中，平分交于点，交的延长线于点，连接.
（1）求的度数；
（2）若，，求的长.
21.（11分）探究与运用
问题情境：
勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法.下面利用拼图的方法探究证明勾股定理.
定理表述：
（1）请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）；
图1
尝试证明：
（2）利用图1中的直角三角形可以构造出图2的正方形，请你利用图2证明勾股定理.
图2
定理应用：
（3）某工程队要从点向点铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段铺设，需要绕道沿着矩形的边和铺设管道，经过测量米，米，已知铺设每米管道需资金1000元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？
图3
22.（10分）阅读理解
宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形能够带来协调、匀称的美感.世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图1所示的是希腊的巴特农神庙.
图1
动手操作下面我们折叠出一个黄金矩形：
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图2的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
图2
第二步，如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；
图3
第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图4中所示的处；
图4
第四步，展平纸片，按照所得的点折出.
任务一：若，求的长
任务二：在图5中，请探究说明哪一个矩形是黄金矩形.
图5
23.（15分）综合与实践
实践操作：如图1，已知矩形纸片.
第一步：如图2，将纸片沿折叠，使点的对应点正好落在上，然后展平纸片，得到折痕；
第二步：如图3，在图2的基础上，沿折叠纸片，点的对应点落在处，与交于点.
图1 图2 图3
问题解决：
（1）如图2，判断四边形的形状，并证明；
（2）如图3，证明；
（3）若，，则的周长为______（直接写出答案即可）.
2023-2024学年度下学期期中
八年级学情调研测试题
数学参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1~5题：DBBCC 6~10题：CDCBD
二、填空题（每小题3分，共15分）
11、 12、等腰直角三角形 13、2. 14、1.5 15、4.8.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16、（本题8分，每小题4分）
（1）解：原式
（2）解：原式
17、（本题6分）
解：原式
当时，
原式.
18、（本题6分）
解：
当，时，
原式
.
19、（本题9分）
解：，，，
，，
四边形是平行四边形.
平分，，
，，
四边形是菱形.
20、（本题10分）
（1）四边形是矩形，，
又平分，
（2），
，
，.
在中，由勾股定理得，
，，是等腰直角三角形，
，，
.
21、（本题11分）
解：（1）如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么.
（2）由图可知
即：
（3）在中，，
（元）；
答：增加了8000元.
22、（10分）解：
任务一：解：如图4所示，
图4
，，
在中，由勾股定理得，
由折叠可知，
；
任务二：如图5所示，
图5
，，
矩形为黄金矩形.
23、（15分）
问题解决：
（1）四边形是正方形
证明：四边形是矩形，，
又是由折叠得到的，
，，四边形是正方形；
图2
（2）四边形是矩形，，，
四边形是正方形，，
，，
由折叠可得，，，
，，，
又，，
；
图3
（3）的周长为
