2023－2024学年山西九年级中考百校联盟考（二）
数学
注意事项：
1．满分120分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 化简的结果是（ ）
A. 7 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题已考察相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．根据相反数的定义即可求得答案．
【详解】解：，
故选：A．
2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查对称图形的有关知识，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，则该图形是中心对称图形．
【详解】A、是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故该选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查单项式乘（除以）单项式，单项式乘以多项式，完全平方公式，根据相关运算法则进行计算后再判断即可
详解】解：A. ，计算正确，符合题意；
B. ，原选项计算错误，不符合题意；
C. ，原选项计算错误，不符合题意；
D. ，原选项计算错误，不符合题意；
故选：A
4. 2023年全国两会指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系，医疗卫生体系、教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险已覆盖10.5亿人，基本医疗保险参保率稳定在95%．数据“10.5亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．根据1亿，10.5亿，将结果用科学记数法表示即可．
【详解】解： 1亿，
10.5亿，
故选：B．
5. 化简分式，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是分式的除法，分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．分子与分母能因式分解的先因式分解，再约分即可
详解】解：
，
故选：A．
6. 山西是我国现存各类古建筑最多省份，据不完全统计，重点记录在册的就有1万8千余处，上迄唐代，下至民国，构成了我国建筑史上品质超群、蔚为壮观的建筑体系，享有“中国古代建筑博物馆”之美誉．春节期间，小明与小亮两家人准备从“万荣东岳庙飞云楼”“榆次城隍庙玄鉴楼”“解州关帝庙春秋楼”“忻州边靖楼”中各随机选择一景点参观游玩，则他们两家选择同一景点的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：用、、、分别表示：“万荣东岳庙飞云楼”“榆次城隍庙玄鉴楼”“解州关帝庙春秋楼”“忻州边靖楼”，
列表得：
小明 小亮
共有种等可能出现的结果，其中他们两家选择同一景点的情况有种，
他们两家选择同一景点的概率是，
故选：D．
7. 抛物线经过点，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式得出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，再结合距离对称轴越远，函数值越大即可得出答案．
【详解】解：，
抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，
，
，
故选：C．
8. 三角板（其中，）和三角板（其中，）按照如图所示的位置摆放，点在边上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点P，由平行线的性质得出，由三角形内角和定理得，从而可求出的度数
【详解】解：∵，
∴
延长交于点P，如图，
∵
∴
∴
∵
∴，
∴
故选：D
9. 如图，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将菱形绕着点按顺时针方向旋转得到菱形，点的对应点在轴上，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形、菱形的性质、旋转的性质，连接、交于点，由菱形的性质结合坐标可得，，从而得出，，，由旋转的性质可得，，求出的长度即可得出答案．
【详解】解：如图，连接、交于点，
，
菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，
，，
，，，
由旋转的性质可得：，，
，
点的对应点的坐标为，
故选：B．
10. 如图，两个半径均为4的圆形纸片完全重合叠放在一起，让其中的一张圆形纸片绕着直径的一端按逆时针方向旋转后得到直径为的圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算、旋转变换的性质、解直角三角形等知识点，连接，作，根据旋转变换的性质求出的度数，再根据扇形面积公式、三角形面积公式，结合图形计算即可，熟练掌握其性质合理作出辅助线是解决此题的关键．
【详解】如图，连接，，作，
由旋转知：，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为，
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，根据算术平方根因式分解，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 不等式组的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别算出每个不等式 解集，再取它们的公共部分解集，即可作答．
【详解】解：∵
∴由得出；
由得出；
∴原不等式组的解集为；
故答案为：．
13. 如图，在中，是边上的一点，以点为圆心的与边相切于点，是半圆上的一点，连接，，若，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，连接，由切线的性质可得，进而得到，再根据圆周角定理可得，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在中，，分别是边，上的点，与的延长线交于点，若，，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
故答案为：．
15. 如图，正方形的边长为8，等腰直角的直角边长为4，，是的中点，是的中点，连接，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质和勾股定理，连接，，过点作，交的延长线于点．等腰直角三角形的性质求出，，再求出，分别求出再根据勾股定理可得出的长
【详解】解：如图，连接，，过点作，交的延长线于点．
是等腰直角三角形，
∴
∴,
∵是的中点，
．
，
．
∵
∴，
∵是的中点，
∴
又
∴
∴，
由勾股定理得，，
．
故答案为：
16. 2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同．
（1）求A，B两款吉祥物每个的售价．
（2）为了促销，商店对A款吉祥物进行9折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为了激励学生奋发向上，准备用不超过240元购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？
【答案】（1）每个B款吉祥物的售价为20元，每个A款吉祥物的售价为40元；
（2）李老师最多可购买2个A款吉祥物；
【解析】
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式实际应用问题，根据题意找到相等关系和不等关系是解题的关键．
（1）设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解；
（2）设李老师购买A款吉祥物个，则购买B款吉祥物个，根据总价不超过240元，列出一元一次不等式求解即可；
【小问1详解】
解：设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元．
根据题意，得，
解得．经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元）．
答：每个B款吉祥物的售价为20元，每个A款吉祥物的售价为40元．
【小问2详解】
解：设李老师购买A款吉祥物个，则购买B款吉祥物个．
根据题意，得，解得．
答：李老师最多可购买2个A款吉祥物．
17. 如图1，这是一款教学设备的实物图，该教学设备是由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成，图2是该款设备放置在水平桌面上的平面示意图．已知支撑臂与底座的夹角，底座高为，连杆，水平桌面，连杆与悬臂的夹角，求点到水面桌面的距离．（结果精确到，参考数据：）
【答案】点到水面桌面的距离约为
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，如图，过点作于点，延长交于点，延长交于点，则四边形是矩形，通过角直角三角形求出的长，根据求解即可
【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点，延长交于点，则四边形是矩形，
．
，
．
在中，，
，
．
，
．
在中，，
，
．
答：点到水面桌面的距离约为．
18. 阅读与思考
阅读下列材料，完成后面任务．
利用二次函数的图象解不等式
我们知道，利用一次函数的图象可以解一元一次不等式，那么对于不等式，如何求它的解集呢？我们可以类比前面的学习经验来解决这个问题．
第一步：画出二次函数的图象．
列表如下：
x 0 1 2 3 4
y 5 0 0 5
描点、连线，如图1所示．
第二步：确定二次函数的图象与轴的交点．
由图象可以看出，二次函数的图象与轴的交点为和．
第三步：确定不等式的解集．
由图象可知，当或时，二次函数的图象位于轴的上方，，即，
不等式的解集为或，同理，可得不等式的解集为．
任务：
（1）利用二次函数的图象解不等式，主要体现的数学思想是______．（从下面选项中选出一个）
A．数形结合思想 B．统计思想 C．公理化思想
（2）请你用阅读材料中的方法解不等式，在如图2所示的平面直角坐标系中，直接画出函数图象，并参照材料中第三步的分析过程写出你的分析过程．
【答案】（1）A （2）不等式的解集为或，画图及过程见解析
【解析】
【分析】本题考查的是利用二次函数的图象解不等式，掌握数形结合的方法是解本题的关键；
（1）根据题干部分的阅读提示可得答案；
（2）先构建二次函数，再画二次函数的图象，建立对应的不等式，再利用数形结合的方法解题即可．
【小问1详解】
解：利用二次函数的图象解不等式，主要体现的数学思想是数形结合思想．
故选A；
【小问2详解】
画函数的图象如图所示．
列表如下：
描点并连线：
将不等式进一步变形为，
观察图像可知，抛物线与轴相交于和两点，
当或时，
二次函数的图象位于轴下方，此时，即，
不等式的解集为或．
19. 综合与实践
问题情境：（1）在综合与实践活动课上，老师出示了一个问题．
如图1，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，展开后，连接，．试探究四边形的形状，并说明理由．
独立思考：请解答老师提出的问题．
实践探究：（2）“希望小组”受此问题的启发，如图2，将平行四边形纸片改为矩形纸片，然后将矩形纸片沿着折痕折叠，使点与点重合，点落在点处，展开铺平，连接，若，求折痕的长．
解决问题：（3）“智慧小组”突发奇想，如图3，将平行四边形纸片沿着折叠，连接，若点的对应点恰好落在上，展开铺平，连接，当时，直接写出的长．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质，可得，，．进而利用平行四边形的性质得，，，从而得，于是即可得四边形是菱形．．
（2）如图1，连接．由矩形的性质得，进而利用勾股定理得．设，则．再利用勾股定理求得．在菱形中，利用面积法即可得解．
（3）如图2，过点作，交的延长线于点，根据平行四边形的性质及勾股定理得，，．再证明，得．又在中，根据勾股定理，可得，从而即可得解．
【详解】解：（1）四边形是菱形．理由：
由折叠的性质，可得，，．
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）如图1，连接．
四边形为矩形，
，
．
设，则．
由折叠性质可得，，
，解得，
．
由（1），知四边形是菱形，
，
，
．
（3）如图2，过点作，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，，，
∴，，
，
，．
由折叠的性质，可得，
，，
．
，
，
，
．
在中，根据勾股定理，可得
，
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，菱形的判定及性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质，菱形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题的关键．
20. 综合与探究
如图1，将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移若干个单位长度，得到抛物线与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）如图2，点在轴上，，过点作轴的垂线分别与交于点M，N，若，求点的横坐标．
（3）如图3，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），点在抛物线上，且位于第三象限，连接，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为
（2）
（3）取得最大值
【解析】
【分析】（1）设：，将点代入，即可求解；
（2）依题意，根据建立方程，解方程，即可求解；
（3）过点作轴，与直线交于点，得出，令，求出，得出，设点，则点的纵坐标为，得出，求出，，根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意，设抛物线的函数表达式为．
把点代入，得，
解得：，
抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：由题意，得点．
，
，
，
解得，
点横坐标为．
【小问3详解】
解：如图，过点作轴，与直线交于点，如图所示：
∵轴，
∴，
∵，
∴，
令，
解得，
，
，
，
设点，则点的纵坐标为，
设直线的函数表达式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
将点的纵坐标代入，得，
点的横坐标为，
，
，即，
当时，取得最大值．
【点睛】本题考查了二次函数的平移，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，线段的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2023－2024学年山西九年级中考百校联盟考（二）
数学
注意事项：
1．满分120分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 化简的结果是（ ）
A. 7 B. C. D.
2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 2023年全国两会指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系，医疗卫生体系、教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险已覆盖10.5亿人，基本医疗保险参保率稳定在95%．数据“10.5亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 化简分式，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 山西是我国现存各类古建筑最多的省份，据不完全统计，重点记录在册的就有1万8千余处，上迄唐代，下至民国，构成了我国建筑史上品质超群、蔚为壮观的建筑体系，享有“中国古代建筑博物馆”之美誉．春节期间，小明与小亮两家人准备从“万荣东岳庙飞云楼”“榆次城隍庙玄鉴楼”“解州关帝庙春秋楼”“忻州边靖楼”中各随机选择一景点参观游玩，则他们两家选择同一景点的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 抛物线经过点，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 三角板（其中，）和三角板（其中，）按照如图所示位置摆放，点在边上，若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
9. 如图，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将菱形绕着点按顺时针方向旋转得到菱形，点的对应点在轴上，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，两个半径均为4的圆形纸片完全重合叠放在一起，让其中的一张圆形纸片绕着直径的一端按逆时针方向旋转后得到直径为的圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解：______．
12. 不等式组的解集为______．
13. 如图，在中，是边上的一点，以点为圆心的与边相切于点，是半圆上的一点，连接，，若，则的度数为______．
14. 如图，在中，，分别是边，上的点，与的延长线交于点，若，，，则的长为______．
15. 如图，正方形的边长为8，等腰直角的直角边长为4，，是的中点，是的中点，连接，则的长为______．
16. 2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同．
（1）求A，B两款吉祥物每个的售价．
（2）为了促销，商店对A款吉祥物进行9折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为了激励学生奋发向上，准备用不超过240元购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？
17. 如图1，这是一款教学设备实物图，该教学设备是由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成，图2是该款设备放置在水平桌面上的平面示意图．已知支撑臂与底座的夹角，底座高为，连杆，水平桌面，连杆与悬臂的夹角，求点到水面桌面的距离．（结果精确到，参考数据：）
18. 阅读与思考
阅读下列材料，完成后面任务．
利用二次函数的图象解不等式
我们知道，利用一次函数的图象可以解一元一次不等式，那么对于不等式，如何求它的解集呢？我们可以类比前面的学习经验来解决这个问题．
第一步：画出二次函数的图象．
列表如下：
x 0 1 2 3 4
y 5 0 0 5
描点、连线，如图1所示．
第二步：确定二次函数的图象与轴的交点．
由图象可以看出，二次函数的图象与轴的交点为和．
第三步：确定不等式解集．
由图象可知，当或时，二次函数的图象位于轴的上方，，即，
不等式的解集为或，同理，可得不等式的解集为．
任务：
（1）利用二次函数的图象解不等式，主要体现的数学思想是______．（从下面选项中选出一个）
A．数形结合思想 B．统计思想 C．公理化思想
（2）请你用阅读材料中的方法解不等式，在如图2所示的平面直角坐标系中，直接画出函数图象，并参照材料中第三步的分析过程写出你的分析过程．
19. 综合与实践
问题情境：（1）综合与实践活动课上，老师出示了一个问题．
如图1，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，展开后，连接，．试探究四边形的形状，并说明理由．
独立思考：请解答老师提出的问题．
实践探究：（2）“希望小组”受此问题的启发，如图2，将平行四边形纸片改为矩形纸片，然后将矩形纸片沿着折痕折叠，使点与点重合，点落在点处，展开铺平，连接，若，求折痕的长．
解决问题：（3）“智慧小组”突发奇想，如图3，将平行四边形纸片沿着折叠，连接，若点的对应点恰好落在上，展开铺平，连接，当时，直接写出的长．
20. 综合与探究
如图1，将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移若干个单位长度，得到抛物线与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）如图2，点在轴上，，过点作轴的垂线分别与交于点M，N，若，求点的横坐标．
（3）如图3，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），点在抛物线上，且位于第三象限，连接，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值．
