第二章·机械振动 第02节 简谐运动的回复力和能量
(
目
标
导
航
)
知识要点 难易度
1．简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、能量的变化规律. 2．简谐运动的动力学公式. 3．能量与振幅有关 4．简谐运动中机械能守恒， 5．水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律。 ★★★ ★★ ★★ ★★ ★★
(
知
识
精
讲
)
知识点01 简谐运动的回复力
1．简谐运动的动力学定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
2．回复力：由于力的方向总是指向平衡位置，它的作用总是要把物体拉回到平衡位置，所以通常把这个力称为回复力。
3．弹簧振子的回复力与位移的关系：F＝－kx，式中k是弹簧的劲度系数。
4．回复力的性质：回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供．如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力．
对于相关联的多个物体，整体法和隔离法在分析简谐运动时，仍然适用。
5．简谐运动的回复力的特点
(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置．
(2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定．
(3)根据牛顿第二定律得，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．
【例1】如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是( )
A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
【答案】D
【解析】A没有受到弹簧的弹力，AB错误；
A做简谐振动，受到的摩擦力提供回复力，所以大小和方向都随时间变化，C错误，D正确。
知识点02 简谐运动的能量
1．能量转化：弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。
2．能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
(1)决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大．
(2)能量获得：系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的．
(3)能量转化：当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒．
3．简谐运动的特点：如图所示的弹簧振子．
振子运动 位移 加速度 速度 动能 势能
O→B 增大，方向向右 增大，方向向左 减小，方向向右 减小 增大
B 最大 最大 0 0 最大
B→O 减小，方向向右 减小，方向向左 增大，方向向左 增大 减小
O 0 0 最大 最大 0
O→C 增大，方向向左 增大，方向向右 减小，方向向左 减小 增大
C 最大 最大 0 0 最大
C→O 减小，方向向左 减小，方向向右 增大，方向向右 增大 减小
说明:简谐运动的位移、回复力、加速度、速度都随时间做周期性变化（正弦或余弦函数），变化周期为T，振子的动能、势能也做周期性变化，周期为T/2。
(1)凡离开平衡位置的过程，v、Ek均减小，x、F、a、EP均增大；凡向平衡位置移动时，v、Ek均增大, x、F、a、EP均减小.
(2)在平衡位置时，x、F、a为零，EP最小，v、Ek最大；在最大位移时，x、F、a、EP最大，v、Ek最为零；
(3)在平衡位置两侧的对称点上,x、F、a、v、Ek、EP的大小均相同．
(4)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反．
(5)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点．
(6)最大位移处是速度方向变化的转折点．
(7)简谐运动的位移与前面学过的位移不同，简谐运动的位移是从平衡位置指向某一位置的有向线段，位移起点是平衡位置，是矢量．
4．因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
5．表达式中k虽然是系数，但有单位，其单位是由F和x的单位决定的，即为N/m。
6．简谐运动中，x变化，回复力F随之改变，可见a＝也是随x在改变，所以简谐运动是一个变加速运动。其位移跟加速度的关系为a＝－x，加速度大小跟位移大小成正比，方向相反。
【例2】如图所示为一弹簧振子的振动图象，在A、B、C、D、E、F各时刻中：
(1)哪些时刻振子有最大动能？
(2)哪些时刻振子有相同速度？
(3)哪些时刻振子有最大势能？
(4)哪些时刻振子有相同的最大加速度？
【答案】 (1)B、D、F (2)A、C、E速度相同， B、F时刻振子速度相同 (3)A、C、E (4)A、E
【解析】 由题图知，B、D、F时刻振子在平衡位置，具有最大动能，此时振子的速率最大；A、C、E时刻振子在最大位移处，具有最大势能，此时振子的速度为0.B、F时刻振子向负方向运动，D时刻振子向正方向运动，可知D时刻与B、F时刻虽然速率相同，但方向相反．A、E两时刻振子的位移相同，C时刻振子的位移虽然大小与A、E两时刻相同，但方向相反．由回复力知识可知C时刻与A、E时刻振子受力大小相等，但方向相反，故加速度大小相等，方向相反．
(
考
点
题
型
)
考点01 连接体的简谐振动的回复力的变化
【例3】光滑的水平面上放有质量分别为m和m的两木块，下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。已知两木块之间的最大静摩擦力为Ff，为使这两个木块组成的系统能像一个整体一起振动，系统的最大振幅为
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】 质量分别为m和m的两木块作为一个整体同步振动，两者具有相同的加速度。当两木块之间静摩擦力达到最大值Ff时，m木块的加速度达到最大值，此时两木块组成的系统的加速度也达到最大值，弹簧弹力达到最大值Fmax＝(m＋m)amax＝3Ff，此时系统的位移大小即为振幅达到最大值Amax＝＝。
考点02 简谐振动中能量的变化
【例4】(多选)如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定( )
A．从t1到t2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小
B．从t2到t3时间内振幅不断增大
C．t3时刻振子处于平衡位置处，动能最大
D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
【答案】 AC
【解析】 t1到t2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A项正确；振幅不随时间而改变，B项错误；t3时刻振子位移为零，速度最大，动能最大，C项正确；t1和t4时刻振子位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，但动能相同D项错误．
【归纳总结】 (1)最大位移处、平衡位置处物理量的大小：简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置，F＝0，a＝0，x＝0，Ep＝0，而Ek最大。
(2)竖直弹簧振子的能量组成：对竖直弹簧振子来说，振动能量包含动能、弹性势能、重力势能。
考点03 简谐振动中各量的比较
【例5】一质点做简谐运动，其振动图象如图所示，在t1和t2时刻的位移为x1＝x2＝7 cm，在t3时刻的振动位移为x3＝－5 cm，以v1、v2、v3和a1、a2、a3分别表示t1、t2、t3时刻质点振动速度大小和加速度大小，则以下关系正确的是( )
A．v1＝v2＞v3 a1＝a2＞a3 B．v1＝v2＜v3 a1＝a2＜a3
C．v1＝v2＞v3 a1＝a2＜a3 D．v1＝v2＜v3 a1＝a2＞a3
【答案】 D
【解析】 x1＝x2＞|x3|，故t1、t2、t3时刻的势能关系为Ep1＝Ep2＞Ep3，据机械能守恒定律知，相应的三个时刻的动能关系为mv＝mv
方
法
总
结
)
1，简谐振动图像关于平衡点具有对称性。
2，求t时刻的运动状态，对周期T去整取零。
(
巩
固
练
习
)
1. (多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是( )
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
【答案】 AD
【解析】 回复力是效果力，受力分析是物体受到的具体的力，弹簧的弹力充当回复力，A正确，B错误；
回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，回复力逐渐减小，C错误；
回复力总是指向平衡位置，故D正确．
2. 如图所示，一个轻弹簧与一个质量为m=0.5kg的小球所构成的弹簧振子放在光滑金属杆上，已知该弹簧的劲度系数k=200N/m，O点是弹簧振子静止时的位置，今将振子向右拉10cm到A点，此时外力对弹簧振子做功为1J，然后由静止释放，则它在A、B之间运动，不计其他阻力，求：
（1）振子在哪点的速度最大？最大速度为多少？
（2）振子在B点的加速度。
【答案】（1）O点，2m/s；（2）40m/s2，方向由B指向O
【解析】（1）由题意可知O点为振子的平衡位置，振子在O点速度最大。
根据功能关系可得： 解得振子的最大速度为：
（2）易知OB和OA长度相等，所以振子在B点的加速度大小为：，方向由B指向O。
3. 如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于( )
A．0 B．kx C．kx D．kx
【答案】 D
【解析】 当物体离开平衡位置的位移为x时，回复力(即弹簧弹力)的大小为kx，以整体为研究对象，此时m与M具有相同的加速度，根据牛顿第二定律得kx＝(m＋M)a，得a＝，以A为研究对象，使m产生加速度的力即为B对A的静摩擦力F，由牛顿第二定律可得F＝ma＝kx，D正确．
4．做简谐运动的弹簧振子质量为0.2 kg，当它运动到平衡位置左侧20 cm时受到的回复力是4 N；当它运动到平衡位置右侧40 cm时，它的加速度为( )
A．20 m/s2，向右 B．20 m/s2，向左
C．40 m/s2，向右 D．40 m/s2，向左
【答案】 D
【解析】 由力和位移的大小关系F＝kx可知，当x＝40 cm时，F＝8 N，a＝＝40 m/s2，方向指向平衡位置，因此方向向左，D正确。
5．(多选)一弹簧振子振动过程中的某段时间内其加速度的值越来越小，则在这段时间内( )
A．振子的速度越来越大 B．振子正在向平衡位置运动
C．振子的速度方向与回复力方向相反 D．振子正在远离平衡位置
【答案】 AB
【解析】 加速度的值越来越小，位移也必然越来越小，振子正在向平衡位置运动，选项B正确，D错误；
振子正在向平衡位置运动，振子的速度越来越大，选项A正确；
当振子向平衡位置运动时，速度方向与加速度方向一致，即振子的速度方向与回复力方向相同，当振子远离平衡位置时，速度方向与回复力方向相反，选项C错误．
6．如图甲所示，一弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，如图乙是振子做简谐运动时的位移—时间图像，则关于振子的加速度随时间的变化规律，下列四个图像中正确的是( )
【答案】 C
【解析】 加速度与位移关系a＝－，而x＝Asin(ωt＋φ)，所以a＝－sin(ωt＋φ)，则可知C选项正确．
7．(多选)做简谐运动的弹簧振子，质量为m，最大速率为v，则下列说法正确的是( )
A．从某一时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零
B．从某一时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是零到mv2之间的某一个值
C．从某一时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量一定为零
D．从某一时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量的大小可能是零到2v之间的某一个值
【答案】 AD
【解析】 弹簧振子在半个周期内刚好到达与初位置关于平衡位置对称的位置，两位置的速度大小相等，故由动能定理知，回复力做的功一定为零，则A正确，B错误.
由于速度反向(初位置在最大位移处时速度为零)，所以在半个周期内速度变化量的大小为初速度大小的2倍，因此在半个周期内速度变化量的大小应为零到2v之间的某一个值，则C错误，D正确．故正确选项为A、D.
8．把一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它的平衡位置为O，在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是( )
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做负功
【答案】 A
【解析】 小球在平衡位置时动能最大，加速度为零；小球在A、B位置时，动能最小，为零，加速度最大，A正确，B错误；
小球衡位置时，回复力做正功；远离平衡位置时，回复力做负功，C、D错误．
9．公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T。取竖直向上为正方向，以某时刻为计时起点，其振动图象如图所示，则( )
A．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大 B．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
C．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大 D．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
【答案】 C
【解析】 要使货物对车厢底板的压力最大，则车厢底板对货物的支持力最大，则要求货物向上的加速度最大，由振动图象可知在t＝T时，货物向上的加速度最大，则选项A错误，选项C正确；货物对车厢底板的压力最小，则车厢底板对货物的支持力最小，则要求货物向下的加速度最大，由振动图象可知在t＝时，货物向下的加速度最大，所以选项B、D错误。
10．(多选)如图所示，轻质弹簧下挂重为300 N的物体A时伸长了3 cm，再挂上重为200 N的物体B时又伸长了2 cm，现将A、B间的细线烧断，使A在竖直平面内振动，则( )
A．最大回复力为500 N，振幅为5 cm
B．最大回复力为200 N，振幅为2 cm
C．只减小A的质量，振动的振幅变小，周期不变
D．只减小B的质量，振动的振幅变小，周期不变
【答案】 BD
【解析】 轻质弹簧下挂重为300 N的物体A时伸长了3 cm，再挂上重为200 N的物体B时又伸长了2 cm，故劲度系数为k＝＝＝10 000 N/m，若将连接A、B两物体的细线烧断，物体A将做简谐运动，烧断瞬间，合力充当回复力；由于细线烧断前是平衡状态，烧断后细线对A的拉力减小了200 N，而弹力不变，故合力为200 N，故最大回复力为200 N，刚剪断细线时物体的加速度最大，此处相当于是物体A到达简谐运动的最大位移处，故振幅为2 cm，故A错B对；
只减小A的质量，A振动的平衡位置上移，但振幅大小由B的重力决定，所以振幅不变，而周期与振幅无关，所以周期不变，故C错误；
只减小B的质量，振动的幅度变小，而周期与振幅无关，所以周期不变，故D正确。
11．一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图所示．
(1)求t＝0.25×10－2 s时质点的位移；
(2)在t＝1.5×10－2 s到t＝2×10－2 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？
(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内，质点的路程、位移各多大？
【答案】 (1)－ cm (2)变大 变大 变小 变小 变大 (3)34 cm 2 cm
【解析】 (1)由题图可知A＝2 cm，T＝2×10－2 s，振动方程为：
x＝Asin (ωt－)＝－Acos ωt＝－2cos t cm＝－2cos 100πt cm
当t＝0.25×10－2 s时，x＝－2cos cm＝－ cm.
(2)由题图可知在1.5×10－2 s到2×10－2 s的振动过程中，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．
(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内经历个周期，质点的路程为s＝17A＝34 cm，位移为2 cm.
12．测物体的质量可以有很多方法，可以用天平直接测出，也可以利用所学的弹簧振子的知识来测量．如图所示是一个测物体质量的装置，其中弹簧是轻质弹簧，P是水平面，A是质量为M的带夹子的标准质量的物体，Q是待测物体．已知该装置的弹簧振子做简谐运动时的周期为T＝π ，其中m是振子的质量，k是弹簧的劲度系数．当只有A物体振动时，测得其振动周期为T1，将待测物体Q固定在A上后，测得振动周期为T2，则待测物体的质量为多少？
【答案】
【解析】 设待测物体的质量为m′，由周期公式T＝π 知：
T1＝π ①
T2＝π ②
由①②解得m′＝.
13．(多选)如图所示，一竖直放置的轻弹簧下端固定在水平地面上，质量为m，可视为质点的小球从弹簧正上方h处自由下落到弹簧上端A点处，然后压缩弹簧到最低点C，若小球放在弹簧上可静止在B点(B点未画出)．小球运动过程中空气阻力忽略不计，则下列说法正确的是(g为重力加速度)( )
A．B点位于AC连线中点的上方 B．B点位于AC连线中点的下方
C．小球在A点的回复力等于mg D．小球在C点的回复力大于mg
【答案】 ACD
【解析】 小球放在弹簧上，可以静止于B点，知B点为平衡位置，若小球从A点静止释放，平衡位置在A点和最低点的中点，而小球从弹簧正上方下落，在A点有向下的速度，故最低点需下移，但平衡位置不变，所以B在AC连线中点的上方，故A正确，B错误；
小球在A点弹力为零，则小球在A点所受的合力为mg，即回复力为mg，故C正确；
由振动的对称性可知， 小球在C点的回复力大于mg，故D正确．
14．(多选)如图所示，物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，则下列判断正确的是( )
A．m做简谐运动，OC＝OB B．m做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx D．回复力F＝－3kx
【答案】 AD
【解析】 m在平衡位置O处两弹簧均处于原长状态，则m振动后任取一位置A，如图．设在A处m的位移为x，则在A处m在水平方向的合力F＝k2x＋k1x＝(k2＋k1)x，考虑到回复力F与x方向关系有F＝－(k2＋k1)x＝－3kx，选项D正确，选项C错误；
可见m做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB，选项A正确，B项错误．
15．(多选)一个弹簧振子，做简谐运动的周期为T，设t1时刻振子不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，若t2－t1<，则( )
A．t2时刻振子的加速度一定跟t1时刻大小相等、方向相反
B．在t1～t2的中间时刻，振子处在平衡位置
C．从t1到t2时间内，振子的运动方向不变
D．从t1到t2时间内，振子所受回复力的方向不变
【答案】 ABC
【解析】 弹簧振子在t1、t2两个不同时刻的振动图象如图所示，由图可知t1、t2时刻的加速度大小相等、方向相反，A正确；
且在t1～t2的中间时刻，振子处于平衡位置，B正确；
在t1～t2时间内，振子的运动方向都沿y轴的正方向，故运动方向不变，C正确；
从t1到t2时间内，位移方向发生了变化，振子所受回复力的方向发生了变化，D错误．
16．如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点位置向上运动时开始计时，在一个周期内的振动图象如图乙所示．关于这个图象，下列说法正确的是( )
A．t＝1.25 s，振子的加速度为正，速度也为正
B．t＝1 s，弹性势能最大，重力势能最小
C．t＝0.5 s，弹性势能为零，重力势能最小
D．t＝2 s，弹性势能最大，重力势能最小
【答案】 D
【解析】 由题图可知t＝1.25 s时，位移为正，加速度为负，速度也为负，A不正确．竖直方向的弹簧振子，其振动过程中机械能守恒，在最高点重力势能最大，动能为零；在最低点重力势能最小，动能为零，所以弹性势能最大；在平衡位置，动能最大，由于弹簧发生形变，弹性势能不为零．由此可知D正确．
17．如图所示，一底端有挡板的斜面体固定在水平面上，其斜面光滑，倾角为θ.一个劲度系数为k的轻弹簧下端固定在挡板上，上端与物块A连接在一起，物块B紧挨着物块A静止在斜面上．某时刻将B迅速移开，A将在斜面上做简谐运动．已知物块A、B的质量分别为mA、mB，若取沿斜面向上为正方向，移开B的时刻为计时起点，则A的振动位移随时间变化的图象是选项图中的( )
【答案】 B
【解析】 刚移开B时应为简谐振动的最低点，此时弹簧的形变量x1＝，简谐振动处于平衡位置时，弹簧的形变量x2＝，所以简谐振动的振幅为x1－x2＝，B正确．
18．如图所示，倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放(物块做简谐运动)，重力加速度为g。
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)物块做简谐运动的振幅是多少；
(3)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动。(已知做简谐运动的物体所受的回复力满足)
【答案】（1）；（2）；（3）物块做简谐运动。
【解析】 (1)物块平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力。
根据平衡条件，有mgsinα＝k·Δx，解得
故弹簧的长度为
(2)物块做简谐运动的振幅为
(3)物块到达平衡位置下方x位置时，弹力为k(x＋Δx)＝k(x＋)
故合力为F＝mgsinα－k(x＋)＝－kx
故物块做简谐运动。
19．一轻质弹簧直立在地面上，其劲度系数为k＝400 N/m，弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子内装物体B，B的上、下表面恰与盒子接触，如图所示。A和B的质量mA＝mB＝1 kg，g取10 m/s2，不计阻力。先将A向上抬高使弹簧伸长5 cm后从静止释放，A和B一起做上下方向的简谐运动。已知弹簧的弹性势能取决于弹簧的形变大小，试求：
(1)盒子A的振幅；
(2)物体B的最大速率；
(3)当A、B的位移为正的最大和负的最大时，A对B的作用力的大小分别是多少？
【答案】 (1)10 cm (2)1.4 m/s (3)10 N 30 N
【解析】 (1)振子在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩Δx，则
kΔx＝(mA＋mB)g，Δx＝g＝5 cm。
开始释放时振子处在最大位移处，故振幅A＝5 cm＋5 cm＝10 cm。
(2)由于开始时弹簧的伸长量恰好等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量，故弹性势能相等，
设振子的最大速率为v，物体B从开始运动到达到平衡位置，
应用机械能守恒定律，得mBgA＝mBv2，v＝≈1.4 m/s。
(3)在最高点，振子受到的重力和弹力方向相同，
由牛顿第二定律得(mA＋mB)a1＝kΔx＋ (mA＋mB)g，
a1＝20 m/s2，方向向下，A对B的作用力方向向下，且F1＋mBg＝mBa1，
得F1＝mB(a1－g)＝10 N；
在最低点由简谐运动的对称性得a2＝20 m/s2，方向向上，
A对B的作用力方向向上，且F2－mBg＝mBa2，得F2＝mB(g＋a2)＝30 N。
20．如图所示，用质量不计的弹簧把质量为3m的木板A与质量为m的木板B连接组成如图所示的装置，B板置于水平地面上，现用一竖直向下的力F向下压木板A，撤消F后，B板恰好被提离地面，由此可知力F的大小是( )
A．7mg B．4mg C．3mg D．2mg
【答案】 B
【解析】 撤销F后，A板做简谐运动
在最高点，B恰好被提离地面，弹簧伸长，拉力等于物体B的重力mg，即F弹=mg
弹簧对A、B的拉力相等，故对物体A的拉力也等于mg
最高点物体A的回复力：F回=3mg+F弹=3mg+mg=4mg
根据对称性可知：物体A压缩到最低点释放瞬间的回复力也为4mg，此时：F回=FN-3mg=4mg，
故FN=7mg
没有撤去推力F时，物体A受重力、支持力和推力，根据三力平衡条件，有：F+3mg=FN
故F=FN-3mg=4mg
21．(多选)如图所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物体A和B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定的挡板．现让一质量为m的物体D从距A为L的位置由静止释放，D和A相碰后立即粘为一体，之后在斜面上做简谐运动，在简谐运动过程中，物体B对C的最小弹力为mgsin θ，则( )
A．简谐运动的振幅为 B．简谐运动的振幅为
C．B对C的最大弹力为 D．B对C的最大弹力为
【答案】 BD
【解析】 当弹簧弹力等于A、D的重力沿斜面方向的分力时A、D处于平衡状态，由kx0＝2mgsin θ可知，平衡时弹簧的形变量为x0＝，弹簧处于压缩状态；当B对C的弹力最小时，对B受力分析，则有mgsin θ＝kx＋mgsin θ，此时弹簧伸长达最大位移处，形变量为x＝，故简谐运动的振幅为A＝x0＋x＝，A错误，B正确；
当A、D运动到最低点时，B对C的弹力最大，此时弹簧的形变量为x′＝A＋x0＝，此时弹簧的弹力最大，为F＝k(A＋x0)＝，此时B对C的弹力F′＝F＋mgsin θ＝，C错误，D正确．
22．如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为平衡位置，在C、D两点之间做周期为T的简谐运动.已知在t1时刻物块的速度大小为v、方向向下，动能为Ek.下列说法正确的是( )
A.如果在t2时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t2－t1的最小值小于
B.如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值为
C.当物块通过O点时，其加速度最小
D.物块在C、D两点的加速度相同
【答案】 AC
【解析】 如果在t1时刻物块位于O点上方且向下运动，t2时刻物块位于O点下方且与t1时刻物块速度相同，则t2－t1的最小值小于，选项A正确；
如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2时刻物块速度与t1时刻大小相等，方向可能相同，也可能相反，t2－t1的最小值小于，选项B错误；
题图中O点是平衡位置，物块通过O点时位移最小，根据a＝－知，其加速度最小，选项C正确；
C、D两点关于平衡位置对称，加速度等大反向，选项D错误.
23．如图所示，竖直轻弹簧两端分别与物块A、B相连，物块A、B所受重力均为mg，物块B放在固定于水平面上的压力传感器上，物块A在初始位置处于平衡状态．现对物块A施以大小为F＝mg的力将其下压一段距离x保持静止，然后撤去力F，当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x时，压力传感器的读数是多少？
【答案】 mg
【解析】 设物块A在初始位置时弹簧的压缩量为x0，
对A列平衡方程：mg＝kx0①
施加力F后，A的平衡方程为
F＋mg＝k(x＋x0)②
又由于F＝mg③
由①②③式，得kx＝mg，
撤去力F的瞬间，物块A所受的回复力F回＝k(x＋x0)－mg＝kx
当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x时，由对称性知F回＝kx，而kx＝mg，
可见物块A所受弹簧弹力恰好为零，以物块B为研究对象，
受力分析知压力传感器对物块B的支持力为mg，故压力传感器的读数是mg.
24．如图所示，竖直悬挂的轻弹簧下端系着A、B两物体，mA＝0.1 kg，mB＝0.5 kg，系统静止时弹簧伸长15 cm，若剪断A、B间的细绳，A做简谐振动，其最大加速度和振幅分别是多少？(g取10 m/s2)
【答案】 50 m/s2 12.5 cm
【解析】 此题等效于用F＝mBg的力拉A使弹簧伸长15 cm后释放，
则释放时A的加速度最大，此时合力与F等大、反向，
则amax＝＝＝ m/s2＝50 m/s2.振子的平衡位置是不用F拉时A静止的位置．
设弹簧的劲度系数为k，A、B静止时，弹簧伸长量为15 cm，
由平衡条件得，(mA＋mB)g＝k·x′，解得k＝40 N/m.
没有B且A平衡时，弹簧伸长量x＝＝2.5 cm，
则振子的振幅A＝(x′－x)cm＝12.5 cm.
25．质量为m的小球被劲度系数分别是k1和k2的轻弹簧拴住，置于光滑水平面上，如图所示，此时两个弹簧均处于原长状态，记为位置O。
(1)证明：若将小球在水平方向上拉离位置O再释放，小球将做简谐运动。
(2)已知简谐运动的周期是：，其中k是回复力与位移的比例系数。求出此弹簧振子的周期。
【答案】 (1)见解析；(2)；(3)
【解析】 (1)规定向右为正，
因为弹簧串联则有，则有，所以是简谐运动。
(2)由(1)可知，所以第二章·机械振动 第02节 简谐运动的回复力和能量
(
目
标
导
航
)
知识要点 难易度
1．简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、能量的变化规律. 2．简谐运动的动力学公式. 3．能量与振幅有关 4．简谐运动中机械能守恒， 5．水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律。 ★★★ ★★ ★★ ★★ ★★
(
知
识
精
讲
)
知识点01 简谐运动的回复力
1．简谐运动的动力学定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
2．回复力：由于力的方向总是指向平衡位置，它的作用总是要把物体拉回到平衡位置，所以通常把这个力称为回复力。
3．弹簧振子的回复力与位移的关系：F＝－kx，式中k是弹簧的劲度系数。
4．回复力的性质：回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供．如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力．
对于相关联的多个物体，整体法和隔离法在分析简谐运动时，仍然适用。
5．简谐运动的回复力的特点
(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置．
(2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定．
(3)根据牛顿第二定律得，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．
【例1】如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是( )
A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
知识点02 简谐运动的能量
1．能量转化：弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。
2．能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
(1)决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大．
(2)能量获得：系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的．
(3)能量转化：当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒．
3．简谐运动的特点：如图所示的弹簧振子．
振子运动 位移 加速度 速度 动能 势能
O→B 增大，方向向右 增大，方向向左 减小，方向向右 减小 增大
B 最大 最大 0 0 最大
B→O 减小，方向向右 减小，方向向左 增大，方向向左 增大 减小
O 0 0 最大 最大 0
O→C 增大，方向向左 增大，方向向右 减小，方向向左 减小 增大
C 最大 最大 0 0 最大
C→O 减小，方向向左 减小，方向向右 增大，方向向右 增大 减小
说明:简谐运动的位移、回复力、加速度、速度都随时间做周期性变化（正弦或余弦函数），变化周期为T，振子的动能、势能也做周期性变化，周期为T/2。
(1)凡离开平衡位置的过程，v、Ek均减小，x、F、a、EP均增大；凡向平衡位置移动时，v、Ek均增大, x、F、a、EP均减小.
(2)在平衡位置时，x、F、a为零，EP最小，v、Ek最大；在最大位移时，x、F、a、EP最大，v、Ek最为零；
(3)在平衡位置两侧的对称点上,x、F、a、v、Ek、EP的大小均相同．
(4)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反．
(5)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点．
(6)最大位移处是速度方向变化的转折点．
(7)简谐运动的位移与前面学过的位移不同，简谐运动的位移是从平衡位置指向某一位置的有向线段，位移起点是平衡位置，是矢量．
4．因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
5．表达式中k虽然是系数，但有单位，其单位是由F和x的单位决定的，即为N/m。
6．简谐运动中，x变化，回复力F随之改变，可见a＝也是随x在改变，所以简谐运动是一个变加速运动。其位移跟加速度的关系为a＝－x，加速度大小跟位移大小成正比，方向相反。
【例2】如图所示为一弹簧振子的振动图象，在A、B、C、D、E、F各时刻中：
(1)哪些时刻振子有最大动能？
(2)哪些时刻振子有相同速度？
(3)哪些时刻振子有最大势能？
(4)哪些时刻振子有相同的最大加速度？
(
考
点
题
型
)
考点01 连接体的简谐振动的回复力的变化
【例3】光滑的水平面上放有质量分别为m和m的两木块，下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。已知两木块之间的最大静摩擦力为Ff，为使这两个木块组成的系统能像一个整体一起振动，系统的最大振幅为
A． B． C． D．
考点02 简谐振动中能量的变化
【例4】(多选)如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定( )
A．从t1到t2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小
B．从t2到t3时间内振幅不断增大
C．t3时刻振子处于平衡位置处，动能最大
D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
考点03 简谐振动中各量的比较
【例5】一质点做简谐运动，其振动图象如图所示，在t1和t2时刻的位移为x1＝x2＝7 cm，在t3时刻的振动位移为x3＝－5 cm，以v1、v2、v3和a1、a2、a3分别表示t1、t2、t3时刻质点振动速度大小和加速度大小，则以下关系正确的是( )
A．v1＝v2＞v3 a1＝a2＞a3 B．v1＝v2＜v3 a1＝a2＜a3
C．v1＝v2＞v3 a1＝a2＜a3 D．v1＝v2＜v3 a1＝a2＞a3
(
方
法
总
结
)
1，简谐振动图像关于平衡点具有对称性。
2，求t时刻的运动状态，对周期T去整取零。
(
巩
固
练
习
)
1. (多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是( )
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
2. 如图所示，一个轻弹簧与一个质量为m=0.5kg的小球所构成的弹簧振子放在光滑金属杆上，已知该弹簧的劲度系数k=200N/m，O点是弹簧振子静止时的位置，今将振子向右拉10cm到A点，此时外力对弹簧振子做功为1J，然后由静止释放，则它在A、B之间运动，不计其他阻力，求：
（1）振子在哪点的速度最大？最大速度为多少？
（2）振子在B点的加速度。
3. 如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于( )
A．0 B．kx C．kx D．kx
4．做简谐运动的弹簧振子质量为0.2 kg，当它运动到平衡位置左侧20 cm时受到的回复力是4 N；当它运动到平衡位置右侧40 cm时，它的加速度为( )
A．20 m/s2，向右 B．20 m/s2，向左
C．40 m/s2，向右 D．40 m/s2，向左
5．(多选)一弹簧振子振动过程中的某段时间内其加速度的值越来越小，则在这段时间内( )
A．振子的速度越来越大 B．振子正在向平衡位置运动
C．振子的速度方向与回复力方向相反 D．振子正在远离平衡位置
6．如图甲所示，一弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，如图乙是振子做简谐运动时的位移—时间图像，则关于振子的加速度随时间的变化规律，下列四个图像中正确的是( )
7．(多选)做简谐运动的弹簧振子，质量为m，最大速率为v，则下列说法正确的是( )
A．从某一时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零
B．从某一时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是零到mv2之间的某一个值
C．从某一时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量一定为零
D．从某一时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量的大小可能是零到2v之间的某一个值
8．把一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它的平衡位置为O，在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是( )
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做负功
9．公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T。取竖直向上为正方向，以某时刻为计时起点，其振动图象如图所示，则( )
A．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大 B．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
C．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大 D．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
10．(多选)如图所示，轻质弹簧下挂重为300 N的物体A时伸长了3 cm，再挂上重为200 N的物体B时又伸长了2 cm，现将A、B间的细线烧断，使A在竖直平面内振动，则( )
A．最大回复力为500 N，振幅为5 cm
B．最大回复力为200 N，振幅为2 cm
C．只减小A的质量，振动的振幅变小，周期不变
D．只减小B的质量，振动的振幅变小，周期不变
11．一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图所示．
(1)求t＝0.25×10－2 s时质点的位移；
(2)在t＝1.5×10－2 s到t＝2×10－2 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？
(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内，质点的路程、位移各多大？
12．测物体的质量可以有很多方法，可以用天平直接测出，也可以利用所学的弹簧振子的知识来测量．如图所示是一个测物体质量的装置，其中弹簧是轻质弹簧，P是水平面，A是质量为M的带夹子的标准质量的物体，Q是待测物体．已知该装置的弹簧振子做简谐运动时的周期为T＝π ，其中m是振子的质量，k是弹簧的劲度系数．当只有A物体振动时，测得其振动周期为T1，将待测物体Q固定在A上后，测得振动周期为T2，则待测物体的质量为多少？
13．(多选)如图所示，一竖直放置的轻弹簧下端固定在水平地面上，质量为m，可视为质点的小球从弹簧正上方h处自由下落到弹簧上端A点处，然后压缩弹簧到最低点C，若小球放在弹簧上可静止在B点(B点未画出)．小球运动过程中空气阻力忽略不计，则下列说法正确的是(g为重力加速度)( )
A．B点位于AC连线中点的上方 B．B点位于AC连线中点的下方
C．小球在A点的回复力等于mg D．小球在C点的回复力大于mg
14．(多选)如图所示，物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，则下列判断正确的是( )
A．m做简谐运动，OC＝OB B．m做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx D．回复力F＝－3kx
15．(多选)一个弹簧振子，做简谐运动的周期为T，设t1时刻振子不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，若t2－t1<，则( )
A．t2时刻振子的加速度一定跟t1时刻大小相等、方向相反
B．在t1～t2的中间时刻，振子处在平衡位置
C．从t1到t2时间内，振子的运动方向不变
D．从t1到t2时间内，振子所受回复力的方向不变
16．如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点位置向上运动时开始计时，在一个周期内的振动图象如图乙所示．关于这个图象，下列说法正确的是( )
A．t＝1.25 s，振子的加速度为正，速度也为正
B．t＝1 s，弹性势能最大，重力势能最小
C．t＝0.5 s，弹性势能为零，重力势能最小
D．t＝2 s，弹性势能最大，重力势能最小
17．如图所示，一底端有挡板的斜面体固定在水平面上，其斜面光滑，倾角为θ.一个劲度系数为k的轻弹簧下端固定在挡板上，上端与物块A连接在一起，物块B紧挨着物块A静止在斜面上．某时刻将B迅速移开，A将在斜面上做简谐运动．已知物块A、B的质量分别为mA、mB，若取沿斜面向上为正方向，移开B的时刻为计时起点，则A的振动位移随时间变化的图象是选项图中的( )
18．如图所示，倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放(物块做简谐运动)，重力加速度为g。
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)物块做简谐运动的振幅是多少；
(3)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动。(已知做简谐运动的物体所受的回复力满足)
19．一轻质弹簧直立在地面上，其劲度系数为k＝400 N/m，弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子内装物体B，B的上、下表面恰与盒子接触，如图所示。A和B的质量mA＝mB＝1 kg，g取10 m/s2，不计阻力。先将A向上抬高使弹簧伸长5 cm后从静止释放，A和B一起做上下方向的简谐运动。已知弹簧的弹性势能取决于弹簧的形变大小，试求：
(1)盒子A的振幅；
(2)物体B的最大速率；
(3)当A、B的位移为正的最大和负的最大时，A对B的作用力的大小分别是多少？
20．如图所示，用质量不计的弹簧把质量为3m的木板A与质量为m的木板B连接组成如图所示的装置，B板置于水平地面上，现用一竖直向下的力F向下压木板A，撤消F后，B板恰好被提离地面，由此可知力F的大小是( )
A．7mg B．4mg C．3mg D．2mg
21．(多选)如图所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物体A和B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定的挡板．现让一质量为m的物体D从距A为L的位置由静止释放，D和A相碰后立即粘为一体，之后在斜面上做简谐运动，在简谐运动过程中，物体B对C的最小弹力为mgsin θ，则( )
A．简谐运动的振幅为 B．简谐运动的振幅为
C．B对C的最大弹力为 D．B对C的最大弹力为
22．如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为平衡位置，在C、D两点之间做周期为T的简谐运动.已知在t1时刻物块的速度大小为v、方向向下，动能为Ek.下列说法正确的是( )
A.如果在t2时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t2－t1的最小值小于
B.如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值为
C.当物块通过O点时，其加速度最小
D.物块在C、D两点的加速度相同
23．如图所示，竖直轻弹簧两端分别与物块A、B相连，物块A、B所受重力均为mg，物块B放在固定于水平面上的压力传感器上，物块A在初始位置处于平衡状态．现对物块A施以大小为F＝mg的力将其下压一段距离x保持静止，然后撤去力F，当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x时，压力传感器的读数是多少？
24．如图所示，竖直悬挂的轻弹簧下端系着A、B两物体，mA＝0.1 kg，mB＝0.5 kg，系统静止时弹簧伸长15 cm，若剪断A、B间的细绳，A做简谐振动，其最大加速度和振幅分别是多少？(g取10 m/s2)
25．质量为m的小球被劲度系数分别是k1和k2的轻弹簧拴住，置于光滑水平面上，如图所示，此时两个弹簧均处于原长状态，记为位置O。
(1)证明：若将小球在水平方向上拉离位置O再释放，小球将做简谐运动。
(2)已知简谐运动的周期是：，其中k是回复力与位移的比例系数。求出此弹簧振子的周期。
