专题03 二次函数y=ax2+c的图像和性质（六大类型）
【题型1 二次函数y=ax2+c顶点与对称轴问题】
【题型2 二次函数y=ax2+c图像性质】
【题型3 二次函数y=ax2+c中y值大小比较】
【题型4 二次函数y=ax2平移规律】
【题型5二次函数y=ax2与一次函数综合问题】
【题型6 y=ax2（a≠0）与y=ax2+c（a≠0）之间的关系】
【题型1 二次函数y=ax2+c顶点与对称轴问题】
1．抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．x轴 D．y轴
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线的开口方向向下，则a的取值范围为 ．
4．二次函数的顶点坐标是 ．
5．下列二次函数的图象开口向上的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 二次函数y=ax2+c图像性质】
6．关于二次函数的性质，下列描述正确的是（ ）
A．开口向下 B．图象经过点
C．最小值是 D．图象的对称轴是直线
7．下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．在对称轴的右侧，随的增大而增大
C．顶点坐标为 D．当，有最大值是2
8．下列函数中，当时，随的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
9．抛物线一定经过点（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，4）
10．二次函数的图象经过的象限为（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限
11．已知抛物线，则当时，的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．-2
12．二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
14．用描点法画出函数的图象，结合图象，回答下列问题：
(1)开口方向________；
(2)对称轴________；
(3)顶点坐标________；
(4)当时，y随x的增大而________；
(5)当x________时，；
(6)当时，y的取值范围是________．
【题型3 二次函数y=ax2+c中y值大小比较】
15．若点，，在抛物线上，则下列结论正确的（ ）
A． B． C． D．
16．已知点，在二次函数上，且， 则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
17．已知点，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
18．已知二次函数的图象上有三点，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 二次函数y=ax2平移规律】
19．在平面直角坐标系中，如果把抛物线向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是（ ）
A．开口方向相同； B．对称轴相同；
C．顶点的横坐标相同； D．顶点的纵坐标相同．
20．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标为 ．
21．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝﹣x2+1向上平移3个单位，再向左平移5个单位，则所得抛物线的解析式是 ．
22．如图，抛物线向右平移1个单位得到的抛物线，回答下列问题：
(1)抛物线的解析式是______，顶点坐标为______；
(2)阴影部分的面积______；
(3)若再将抛物线绕原点O旋转得到抛物线，则抛物线的开口方向______，解析式为______；
【题型5二次函数y=ax2与一次函数综合问题】
23．如果一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图像的顶点，则 ．
24．已知，是抛物线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，为线段AB的中点，轴，交抛物线于点．
（1）抛物线的顶点坐标是 ；
（2）线段的长为 ．
【题型6 y= y=ax2（a≠0）与y=ax2+c（a≠0）之间的关系】
25．抛物线可由抛物线沿轴向 平移 个单位得到，它的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 点
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】直接根据二次函数对称轴的计算方法求解即可．
【详解】解：，
抛物线的对称轴为：，即y轴；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数对称轴为：直线是解题的关键．
2．B
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
3．##
【分析】由抛物线的开口方向向下，可得，再解不等式可得答案．
【详解】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴，
解得：；
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数图象的性质，熟记抛物线的开口向下，则二次项系数是解本题的关键．
4．
【分析】根据二次函数的顶点坐标是，即可求解．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标是是解题的关键．
5．A
【分析】根据二次函数的开口方向由a来决定，当时，二次函数的开口向上；当时，二次函数的开口向下；进而问题可求解．
【详解】解：由选项可知：B、C、D选项开口都是向下的，只有A选项的开口向上；
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
6．C
【分析】利用二次函数的性质即可判断．
【详解】解：二次函数，
A．，抛物线开口方向向上，故此选项不正确，不符合题意；
B．当时，，图象经过点，故此选项不正确，不符合题意；
C．当时，二次函数有最小值，故此选项正确，符合题意；
D．对称轴为，故此选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，利用函数解析式正确得出二次函数的性质是解题关键．
7．D
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，故A选项错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为轴，且抛物线的开口向下，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，故B选项错误，不符合题意；
抛物线的顶点坐标为，故 C选项错误，不符合题意；
∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的开口向下，
∴当，有最大值是2，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8．A
【分析】A、C、D、根据二次函数的图象和性质解答；B、由一次函数的图象和性质解答即可．
【详解】解：A、二次函数，，开口向上，对称轴为y轴，当时，y随x的增大而增大，故此选项符合题意；
B、一次函数，，y随x的增大而减少，故此选项不符合题意；
C、二次函数，，开口向下，对称轴为y轴，当时，y随x的增大而减少，故此选项不符合题意；
D、二次函数的图象，，开口向下，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减少，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数的图象和性质，能够根据解析式判断其增减性是解题的关键．
9．B
【分析】分别计算当和时y和x的取值即可选出正确答案．
【详解】解：当时，，
故A和D不正确．
当时，，解得或，
故B正确，C不正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，如果某点的坐标满足函数关系式，则说明该函数的图象经过该点．
10．C
【分析】根据二次函数的各项的系数即可判断二次函数的图象位置．
【详解】解：∵二次函数，二次项系数为，一次项系数为，常数项为，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点为，
∴二次函数的图象经过第三、四象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的各项的系数的符号确定二次函数的图象位置．
11．B
【分析】根据抛物线解析式判断出函数的增减性，然后选取x值代入即可．
【详解】由抛物线可知，抛物线的对称轴为，
∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小，
∴在的范围内，当时，y的值最大，，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，判断出二次函数的增减性是解题关键．
12．C
【分析】根据二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，即可得到答案．
【详解】解：二次函数解析式为，
二次函数的顶点坐标为，
二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，
得到的抛物线的解析式为，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，得出二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反是解此题的关键．
13．C
【分析】由二次函数的开口向上，对称轴为直线，得到坐标为，再结合选项中的图象逐一分析即可．
【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为直线，得到坐标为，
∴C符合题意；A，B，D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握的图象与性质是解本题的关键．
14．(1)向上
(2)轴
(3)
(4)增大
(5)
(6)
【分析】（1）先列表，再描点，并画图，再根据图象可得开口方向；
（2）根据图象可得对称轴方程；
（3）根据图象可得顶点坐标；
（4）根据图象可得增减性；
（5）根据图象可得函数值为0时，自变量的值；
（6）根据函数图象可得当时，y的取值范围．
【详解】（1）解：如图，
列表如下：
0 1 2
0 0 3
描点并画图：
∴图象开口向上；
（2）图象的对称轴为轴；
（3）图象的顶点坐标为：；
（4）当时，y随x的增大而增大；
（5）当时，则，
解得：；
（6）当时，函数最小值为，
当时，，
当时，，
∴当时，y的取值范围是．
【点睛】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象总结二次函数的性质是解本题的关键．
15．C
【分析】把点M、N、P的横坐标代入抛物线解析式求出相应的函数值，即可得解．
【详解】解：时，
时，
时，
∵
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，分别求出各函数值是解题的关键．
16．C
【分析】可得当时，随着的增大而增大，即可求解．
【详解】解：由得
对称轴为轴，
，
当时，随着的增大而增大，
，
；
故选：C．
【点睛】本题考查了利用二次函数增减性比较函数值大小，掌握性质是解题的关键．
17．B
【分析】根据二次函数的图象和性质，得出当时，随的增大而减小，判断、的大小情况，选择答案即可．
【详解】解：∵函数解析式为，
∴函数图象抛物线开口向上，对称轴为轴，
∴当时，随的增大而减小，
∵点，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
18．B
【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．
【详解】解：函数的对称轴为直线，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，
∵三点，，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大．
19．D
【分析】根据二次函数的平移及性质可进行求解．
【详解】解：把抛物线向下平移3个单位得到新的二次函数解析式为，
∴这两条抛物线的开口方向都是向上，对称轴都为直线，顶点的横坐标都为0，顶点的纵坐标一个为0，一个为；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移及性质，熟练掌握二次函数的平移及性质是解题的关键．
20．
【分析】根据平移规律确定函数的解析式，再确定顶点的坐标即可．
【详解】∵抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
∴新抛物线的解析式为,
∴新抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的平移和顶点坐标，熟练掌握抛物线的平移规律和顶点坐标的确定方法是解题的关键．
21．
【分析】根据二次函数图象平移规律，上加下减，左加右减，即可得到正确答案.
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，1），
∴向上平移3个单位，再向左平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣5，4），
∴所得抛物线的解析式为
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数图象平移规律，根据平移规律解题是关键．
22．(1)，
(2)2
(3)向上，
【分析】（1）根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线的解析式，再根据的解析式求出顶点坐标即可；
（2）根据平移的性质知，阴影部分的面积等于底高，列式计算即可；
（3）先求出二次函数旋转后的开口方向和顶点坐标，从而得出抛物线的解析式．
【详解】（1）解：∵抛物线向右平移1个单位得到的抛物线，
∴抛物线的解析式是，顶点坐标为．
故答案为：，；
（2）解：阴影部分的面积是：．
故答案为：2；
（3）解：∵将抛物线绕原点O旋转后，得到抛物线的顶点坐标为：，
∴抛物线的解析式为，开口方向向上．
故答案为：向上，．
【点睛】此题考查了二次函数的图像与几何变化，用到的知识点是二次函数的图像和性质、顶点坐标，关键是掌握二次函数的移动规律和几何变换．
23．
【分析】把代入求得，根据二次函数的顶点坐标为，把代入求得，把，代入，即可求得a值．
【详解】解：∵一次函数过点，
∴，
解得，
∴，
∵一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点，
∴另一个交点为，
把代入，得，
把，代入，得
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象性质、一次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的图象性质和二次函数的图象性质解答．
24． ； ．
【分析】（）根据二次函数表达式特点可求顶点坐标；
（）由题意写出、的坐标，再根据中点坐标得出点坐标，再由轴得出点坐标即可．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线的顶点坐标是，
故答案为：，
（2）依据题意可知，点的坐标为，点的坐标为，，
∵为线段的中点，
∴的坐标为，
∵轴，
∴点的坐标为，
∴CD＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键．
25． 下
轴(或) 低
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
而抛物线的顶点坐标为，
∴平移方法为向下平移个单位．
∵，它的开口向上，顶点坐标为，对称轴为轴，有最低点，
故答案为：上，，上，，轴，低．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，掌握平移规律是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
