专题05 二次函数y=a（x-h） +k的图像和性质（七大类型）
【题型1 二次函数y=a（x-h） 的顶点与对称轴问题】
【题型2 二次函数y=a（x-h） 图像变换问题】
【题型3 二次函数y=a（x-h） 的性质】
【题型4 二次函数y=a（x-h） 的y值大小比较】
【题型5 二次函数y=a（x-h） +k的最值问题探究】
【题型6 根据二次函数y=a（x-h） +k的性质写解析式】
【题型7 二次函数y=a（x-h） +k的图像问题】
【题型1 二次函数y=a（x-h） +k的顶点、对称轴和最值问题】
1．二次函数 图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
A．向下、直线、 B．向下、直线、
C．向下、直线、 D．向上、直线、
5．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
6．若P是抛物线的最高点，则点P的坐标是 ．
7．抛物线的开口方向向 ．（填“上”或“下”）
【题型2 二次函数y=a（x-h） +k图像变换问题】
8．将二次函数的图象沿轴翻折得新抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
9．如果将抛物线 向上平移 个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是( )
A． B． C． D．
10．将抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是 ．
11．将抛物线向右平移1个单位后新的抛物线的顶点坐标是 ；
【题型3 二次函数y=a（x-h） +k的性质】
12．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线 B．函数的最大值是3
C．抛物线开口向上 D．顶点坐标为
13．已知函数，当函数值随的增大而增大时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．对于抛物线，下列说法正确的是( )
A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标
15．关于二次函数．下列说法错误的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为 B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当时，函数有最小值为5 D．时，y值随着x值的增大而增大
16．已知关于x的二次函数，当时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．对于的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值
18．拋物线与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点的坐标是 ．
【题型4 二次函数y=a（x-h） +k的y值大小比较】
19．若点，，在二次函数的图象上，则，，大小关系是（ ）
A． B． C． D．
20．已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
21．已知二次函数的图象上有三个点，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
22．已知二次函数，当点、、在函数图象上时，则、、的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 二次函数y=a（x-h） +k的最值问题探究】
23．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为2 B．最小值为2 C．最大值为1 D．最小值为1
24．若二次函数的有最大值，则的取值范围是
【题型6 根据二次函数y=a（x-h） +k的性质写解析式】
25．已知某二次函数，当时，y随x的增大而增大，解析式可以是 ．
26．如下图，函数的图象，则其解析式为 ．
27．已知二次函数的图像经过原点，那么m的值为 ．
28．已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ．
【题型7 二次函数y=a（x-h） +k的图像问题】
29．如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
30．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二象限 C．第三、四象限 D．第三象限
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】由顶点式可得顶点坐标为．
【详解】解：∵，
∴抛物线顶点为．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式中顶点坐标为．
2．C
【分析】根据图象即可求解．
【详解】解：由题意得：顶点坐标为：，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握顶点式二次函数的图象及性质是解题的关键．
3．A
【分析】首先确定二次函数的顶点坐标，然后根据点的坐标特点写出顶点的位置．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为，
∴顶点在第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次函数的顶点坐标．
4．B
【分析】根据顶点式的顶点坐标为，，开口象限，即可求解．
【详解】解：∵，抛物线的开口向下，对称轴为直线、顶点坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
5．C
【分析】根据题目中的抛物线，可以直接写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．
【详解】解：抛物线，
该抛物线的对称轴是直线，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．
【分析】直接利用二次函数的性质求解．
【详解】解：抛物线的最高点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，对于二次函数，当时，，有最小值，最小值为；当时，，有最大值，最大值为．
7．下
【分析】根据二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口方向向下，
故答案为：下．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握当时，开口向下，当时，开口向上．
8．A
【分析】根据二次函数图象翻折的规律求解即可．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为
又点关于轴对称点坐标为，
所以，二次函数的图象沿轴翻折得新抛物线的解析式是，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的翻折规律，熟练掌握二次函数图象的翻折规律是解题的关键．
9．D
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：∵抛物线 向上平移 个单位，得到
平移后抛物线的顶点坐标为
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
10．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解即可．
【详解】解：将抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位后，得到的抛物线．
此时抛物线顶点坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象平移的规律是解题的关键．
11．
【分析】根据抛物线的平移规则得到新抛物线的解析式，再根据顶点式可得新抛物线的顶点坐标.
【详解】解：将抛物线向右平移1个单位后新的抛物线的解析式为：；
∴新抛物线的顶点坐标是；
故答案为：
【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握平移的规律左加右减，上加下减是解题关键．
12．D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解．
【详解】解：，
对称轴为直线，最大值为，顶点坐标为，
∵，
∴开口向下，
故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
13．A
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
【详解】解：∵，开口向下，
∴当时，随的增大而增大，
故选：A．
14．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：对于抛物线，，则抛物线开口向上，顶点坐标为
故选：B．
15．D
【分析】根据函数解析式可判断出对称轴、开口方向、顶点坐标，以及y随x的变化趋势，进而可得答案．
【详解】解：A、，则图象与y轴的交点坐标为，原题说法正确，故此选项不合题意；
B、对称轴为，图象的在y轴的右侧，原题说法正确，故此选项不合题意；
C、顶点坐标为，开口向上，则当x=2时，函数有最小值为5，原题说法正确，故此选项不合题意；
D、，开口向上，对称轴为，则当时，y的值随x值的增大而增大，原题说法错误，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数的顶点式和性质．
16．A
【分析】根据二次函数的性质，当时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
当时，随着的增大而增大，
∴对称轴，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
17．C
【分析】利用抛物线的顶点式的性质直接判断每个选项即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴直线为，故选项A、B不符合题意；
∵，
∴抛物线的开口向下，有最大值为，且当时，y随x增大而减小，故选项C符合题意，选项D不符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
18．
【分析】由抛物线的表达式可得：该抛物线的对称轴为直线，设它与轴的另一个交点的横坐标为t，列出方程，求解即可．
【详解】解：由抛物线的表达式可得：该抛物线的对称轴为直线，
设它与轴的另一个交点的横坐标为t，
∵轴的一个交点坐标是，
∴，
解得：，
∴它与轴的另一个交点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，解题的关键是熟练掌握的对称轴为，顶点坐标为．
19．C
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
【详解】解：点，，在反比例函数的图象上，
，，，
．
故选：C．
20．B
【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线，求出关于直线的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断，，的大小关系，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小；关于直线的对称点是，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答．
21．D
【分析】由二次函数的解析式可得对称轴为直线，再根据、、的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此即可判断，的大小．
【详解】解：二次函数，
二次函数的对称轴为直线，
，，，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
22．B
【分析】根据抛物线解析式推知抛物线的对称轴直线和开口方向，然后结合二次函数图象上的点到对称轴距离的大小判定相应的y值的大小．
【详解】解：由二次函数知，该抛物线开口方向向上，且对称轴为直线．
由于点、、在函数图象上，且，
所以．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是求出该函数的对称轴，利用二次函数的性质解答．
23．D
【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：∵，二次项系数，函数图象开口向上，顶点坐标为，
∴时，函数有最小值，最小值为1．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
24．
【分析】根据题意可知，函数的开口向下，所以，即可得出结果．
【详解】解：二次函数的有最大值，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质及最小（大）值，根据题意得出函数的开口向下，是解答本题的关键．
25．（答案不唯一）
【分析】根据二次函数，当时，y随x的增大而增大可得，．
【详解】解：由题意知，，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根据二次函数的图象与性质确定二次函数解析式．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
26．
【分析】根据图象得出顶点的坐标，即可求得解析式．
【详解】解：由图象可知抛物线的顶点坐标为，
函数的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据图象得出顶点是解题的关键．
27．8
【分析】把原点坐标代入二次函数解析式，计算即可．
【详解】解：把原点代入解析式，得，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的点的坐标满足解析式．
28．或
【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果．
【详解】解：设这条抛物线的解析式为：，
∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同，
∴，，
又∵这条抛物线与抛物线形状相同，
∴，即，
∴这条抛物线的解析式为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键．
29．C
【分析】根据解析式可得抛物线顶点为，进而根据当时，一次函数经过一三四象限，即可求解．
【详解】解：∵的顶点为，
∴只有A，C选项符合题意，
当时，一次函数经过一三四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
30．C
【分析】根据图象可得，，以此可得到抛物线的顶点坐标在第三象限，再根据二次函数的二次系数即可判断函数图象经过的象限．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，
，，
，
二次函数的图象的顶点在第三象限，
二次函数的二次项系数小于，
二次函数的图象开口朝下，
二次函数的图象经过第三、四象限．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，根据一次函数的图象得出、的大小，以此确定出抛物线的顶点坐标所在象限是解题关键．
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